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1、信息论与编码作业答案(新)超全 篇一:信息论与编码姜丹第三版 信息论与编码习题参考答案 第一章 单符号离散信源 信息论与编码作业是74页,1.1的(1)(5),1.3,1.4,1.6,1.13,1.14还有证明熵函数的连续性、扩展性、可加性 1.1同时掷一对均匀的子,试求: (1)“2和6同时出现”这一事件的自信息量; (2)“两个5同时出现”这一事件的自信息量; (3)两个点数的各种组合的熵; (4)两个点数之和的熵; (5)“两个点数中至少有一个是1”的自信息量。 解: 11 样本空间:n?c6c6?6?6?36 n12 n36(1)p1? (3)信源空间: ?log?6?log36?4.
2、32bit 36236 ?h(x)?15? 2436636836 ?log36?log?log?log36362363364 1036636 365366n1136 n3611 ?h(x)? 1.2如有6行、8列的棋型方格,假设有两个质点a和b,分别以等概落入任一方格内,且它们的坐标分别为(xa,ya), (xb,yb),但a,b不能同时落入同一方格内。 (1) 假设仅有质点a,求a落入任一方格的平均信息量; (2) 假设已经明白a已落入,求b落入的平均信息量; (3) 假设a,b是可识别的,求a,b落入的平均信息量。 解: 1 (1)?a落入任一格的概率:p(ai)?i(ai)?logp(a
3、i)?log48 48 i?1 48 (2)?在已经明白a落入任一格的情况下,b落入任一格的概率是:p(bi)?i(bi)?logp(bi)?log47 i?148 1 47 (3)ab同时落入某两格的概率是p(abi)?i(abi)?logp(abi) 48?47i?1 11?4847 1.3从大量统计材料明白,男性中红绿色盲的发病率为7%,女性发病率为0.5%.假设你征询一位男士:“你是否是红绿色盲?”他的答复可能是:“是”,也可能“不是”。征询这两个答复中各含有多少信息量?平均每个答复中各含有多少信息量?假设你征询一位女士,那么她的答案中含有多少平均信息量? 解: 关于男士: 答复“是”
4、的信息量:i(my)?logp(my)?log7%?3.84bit答复“不是”的信息量:i(mn)?logp(mn)?log93%?0.105bit平均每个答复信息量:h(m)?p(my)?logp(my)?p(mn)?logp(mn) ?-7%?log7%-93%?log93%?0.366bit关于女: 答复“是”的信息量:i(wy)?logp(wy)?log0.5%答复“不是”的信息量:i(mn)?logp(mn)?log99.5% 1.4某一无经历信源的符号集为0,1,已经明白p0? 13 ,p1? 23 。 (1) 求符号的平均信息量; (2) 由1000个符号构成的序列,求某一特定序
5、列(例如有m个“0”,(1000-m)个“1”) 的自信量的表达式; (3) 计算(2)中序列的熵。 解: 1122 3333 12 (2)i(a)?mlogp0?(1000?m)logp?mlog?(1000?m)logbit 33 (3)h(a)?1000h(x)?1000?0.918?918bit/sequence h(a)?p0logp0? i?1m 1000?m ? i?1 p1logp1? m12(1000?m)2 log?log3333 1.5设信源x的信源空间为: a1 a2a3a4a5 a6?x: x?p:? 求信源熵,并解释为什么h(x)log6,不满足信源熵的极值性。 解
6、: h(x)?p(ai)logp(ai) i?1 6 ?0.17log0.17?0.19log0.19?2?0.18log0.18?0.16log0.16?0.3log0.3 ?2.725 bit/symble 可见h(x)?2.725?log6?2.585 不满足信源熵的极值性, 这是由于信源熵的最大值是在?pi?1的约束条件下求得的,但是此题中 i?1r ?p i?1 6 i ?1.18不满足信源熵最大值成立的约束条件,因此h(x)?log6。 1.6为了使电视图象获得良好的明晰度和规定的比照度,需要用5×105个像素和10个不同的亮度电平,并设每秒要传送30帧图象,所有的像素是
7、独立的,且所有亮度电平等概出现。求传输此图象所需要的信息率(bit/s)。 解: 由于亮度电平等概出现,由熵的极值性: i?110 每帧图像的熵是: h(x)?5?105?h(x0)?5?105?3.322?1.661?106 bit/frame ?所需信息速率为:r?r(frame/s)?h(x)(bit/frame)?30?1.661?106?4.983?107 bit/s 1.7设某彩电系统,除了满足关于黑白电视系统的上述要求外,还必须有30个不同的色彩度。试证明传输这种彩电系统的信息率要比黑白系统的信息率大2.5倍左右。 证: 增加30个不同色彩度,在满足黑白电视系统要求下,每个色彩度
8、需要10个亮度,因此每个像素需要用30?10?300bit量化 ?每个像素的熵是: h(x1)?p(bi)logp(bi)?log300bit/pels i?1300 ? h(x1)log300 ?2.477?2.5h(x0)log10 ?彩色电视系统每个像素信息量比黑白电视系统大2.5倍作用,因此传输一样的图形,彩色电视系统信息率要比黑白电视系统高2.5倍左右. 1.8每帧电视图像能够认为是由3×105个像素组成,因此像素均是独立变化,且每像素又取128个不同的亮度电平,并设亮度电平是等概出现。征询每帧图像含有多少信息量?假设如今有一个广播员,在约10000个汉字中选1000个字来
9、口述这一电视图像,试征询假设要恰当地描绘此图像,广播员在口述中至少需要多少汉字? 解: 每帧图象所含信息量: h(x)?3?105?h(x)?3?105?log128?2.1?106bit/symble1000 ?每个汉字所包含信息量:h(c)?logp每个汉字所出现概率p? 描绘一帧图像需要汉字数n,h(x)?nh(c)h(x)2.1?106n?6.322?105/frame h(c)?log0.1?最少需要6.322?105个汉字 1.9给定一个概率分布(p1,p2,.,pn)和一个整数m,0?m?n。定义qm?1? ?p,证明: ii?1 m h(p1,p2,.,pn)?h(p1,p2,
10、.,pm,qm)?qmlog(n?m)。并说明等式何时成立? 证: 先证明f(x)?xlogx(x?0)为凸函数,如下: loge 又x?0x loge ?f?(x)?(?xlogx)?0 即f(x)?xlogx(x?0)为凸函数。 x?f?(x)?(?xlogx)? 又?h(p1,p2,.,pn)?pilogpi? i?1m i?m?1 ?plogp i n i由凸函数的性质,变量函数的平均值小于变量的算术平均值的函数,可得: ? i?m?1 ?pilogpi?(n?m) i?m?1 n i?m?1 ?f(p) i n n?m ?(n?m)f( i?m?1 ?p n i n?m )?(n?m
11、) i?m?1 ?p n i n?m log i?m?1 ?p n i n?m ?qmlog qmn?m 即? ?plogp i n i ?qmlogqm?qmlog(n?m) 当且仅当pm?1?pm?2?.?pn时等式成立。?h(p1,p2,.,pn)?pilogpi? m ?plogp i n i ?pilogpi?qmlogqm?qmlog(n?m) m i?1 i?m?1 i?1 m?h(p1,p2,.,pm,qm)?pilogpi?qmlogqm i?1 ?h(p1,p2,.,pn)?h(p1,p2,.,pm,qm)?qmlog(n?m)当且仅当pm?1?pm?2?.?pn时等式成立。 1.10找出两种特别分布: p1p2p3pn,p1p2p3pm,使h(p1,p2,p3,pn)=h(p1,p2,p3,pm)。解:n m h(p1,p2,.,pn)?pilogpi?h(q1,q2,.,qm)?qilogqi i?1 i?1篇二:信息论与编码课程大作业 信息论与编码课程大作业 1、 以下面方向为题,写一份:(标题能够本人定义,只要内容在以 下范围之内) a) 信息理论方法的应用 b) 信息率失真函数与有损数据压缩技术 c) 信源编码及其开展动态 d) 论信源编码
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