毕业论文--浅谈数学教学中的反证法

1、宁夏师范学院ningxiashifanxueyuan毕业论文题目：浅谈数学教学中的反证法院（系）:专业年级：09级数学教育一班 姓 名：孙茜茹学 号：200907120129指导教师：矍昌權浅谈数学教学中的反证法摘 要在数学教学中，解题是一个必不可少的环节，同样解题的方法有 很多，但本文所要探究的是，在数学教学活动中的一种数学教学中的 一种解题方法“反证法”。有个很著名的“道旁苦李”的故事：从前 有个名叫王戎的小孩，一天，他和小朋友发现路边的一棵树上结满了 李子，小朋友一哄而上，去摘，尝了之后才知是苦的，独有王戎没动, 王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了 李子，所以李

2、了一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法, 从反面论述了李子为什么不甜，不好吃。这种间接的证法就是我们这 篇论文所要讨论的反证法，反证法是数学中常用的间接证明方法之 一。本文重点阐明反证法的概念，反证法的种类，反证法证明的一般 步骤（反设、归谬、结论）等。通过生活以及学习的实践告诉我们: 下面儿种命题一般用反证法来证比较方便，否定性命题、限定式命题、 无穷性命题、逆命题、某些存在性命题、全称肯定性命题、一些不等 量命题的证明、基本命题。运用反证法应该注意的问题，必须正确否 定结论、必须明确推理特点、了解矛盾种类。反证法的逻辑基础是形 式逻辑基本规律中的排中律。通常反证法是从待证命题的结

3、论的反面 入手进行正确推理，推出矛盾，从而得出原结论的反面不真，由此肯定 原结论为真。中学代数中，一些起始性命题、否定性命题、唯一性命 题、必然性命题、结论以“至多”或“至少”的形式出现的 命题、“无限性”的命题、一些不等式的证明等用反证法来证明可收 到较好的效果。假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题 判断”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临 时假定相矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立， 即证明了命题的结论一定是正确的，当命题由已知不易直接证明吋, 改证它的逆命题的证明方法就是本文所探究的反证法。关键词：反证法证明假设矛盾结论一绪论5二反证法的概念

4、62. 1反证法定义的证明 62.2反证法概念的探究 8三运用反证法的步骤11四反证法的种类14五反证法的适用范围155. 1反证法适用范围及证明 155. 2正确使用反证法 20六英文简介24七感谢信 25八参考文献26英国近代数学家哈代曾经这样称赞它：“反证法是数学家最有 力的一件武器，比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的让棋法，它还 要高明。象棋对弈者不外牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把全局拱 手让予对方！ ”有时候，人们用正向思维解答不了的问题，用逆向思维往往可 以轻而易举地解决。数学证明也有相同的情形，靠一般方法难以奏效 时，反证法会助人一臂之力。在现代数学中，反证法已成为最常用和 最

5、有效的解决问题的方法之一。本文通过一个小故事说明反证法在生活屮的普遍性以及由此故事 衍射出反证法的定义，性质和应用在解题中的时的思维方式。再接着 用科学的方法具体阐述以上几点，通过图表，分类解说和详尽的例题 例子，全面充分地考察了反证法在数学中的应用。然而反证法的作用不止于数学应用和解题研究，它在生活中，在 别的领域中也有i分广泛的应用，例如“抽屉原理”，“鸽笼原理”， 某些物理，化学研究等等，这就需要我们进一步去研究考察。反证法 在初中高中数学学习中有很多运用，乃至大学或更高的学习都会用到 反证法，它不仅是一种解题方法，更是锻炼学生逆向思维的一种手段。 反证法不但在初等数学中有着广泛的应用，

6、而且在高等数学中也具有 特殊作用。数学中的一些重要结论，从最基木的性质、定理，到某些 难度较大的世界名题，往往是用反证法证明的。反证法的概念对反证法的认知，可以从一个小故事谈起：在古希腊时，有三个哲学家，由于争论和天气的炎热感到疲倦，于是在花园里的一棵大树 下躺下休息而睡着了。这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前 额，三人醒过来后，彼此相看而笑，每人都以为其他两人在取笑，而 没想到自己脸上也被抹黑。隔了一会其屮有一个人突然不笑了，因为 他发觉自己的脸上也被涂黑了。他是怎样觉察到的呢？实际上，发现 自己脸上被涂黑者，并非直接看到，而是据他观察另外两人的表情进 行分析、思考后，从反面说明自己脸上

7、被涂黑了的，这是一种间接的 证明方法，即反证的方法§2.1反证法定义的证明反证法在数学中经常运用。当论题从正面不容易或不能得到证明 时，就需要运用反证法。有的数学问题不易直接从问题结论的正面去 考虑，这时从问题结论的反面着手却比较容易解决，这种论证方法叫 做间接证法，反证法就是一种间接证法,它从否定结论出发，经过正 确、严格的推理，得到与已知（假设）或已成立的数学命题相矛盾 的结果，原因是开始时否定结论所导致，固而原命题的结论是不容否 定的正确结论。定义：证明定理的一种方法，先提出和定理中的结论相反的假定, 然后从这个假定中得出和已知条件相矛盾的结果来，这样就否定了原 来的假定而肯定

8、了定理。也叫归谬法。反证法是一种间接证法，它不直接证明论题“若a则b"(即 a->b)为真，而是从反面去证明它的否定命题“既a且b” (aprb = a*b)为假，从而肯定“若a则b”为真的证明方法。适用范围：证明一些命题，且正面证明有困难，情况多或复杂，而否 定则比较浅显。例1如果4是大于1的整数，而所有不大于需的素数都不能整除 a,则a是素数。证明：假设a是合数，记a二be (b、c (属于)z,且b, c >1),由于a不能被人于1且不人于需的素数整除，所以b> y/a , c> yla ,从iflj bc>a,这与假设a二be矛盾，故a 是索数。

9、假设命题判断的反面成立，在已知条件和“否定命题判断”这 个新条件下，通过逻辑推理，得出与公理、定理、题设、临时假定相 矛盾的结论或自相矛盾，从而断定命题判断的反面不成立，即证明了 命题的结论一定是止确的，当命题由已知不易直接证明时，改证它的 逆命题的证明方法也叫反证法。用框图表示如下：题断反面与临吋假设违背前此定理或与前此定理不容本题题设矛盾的结果为：或与本题题设冲突前此公理或与公理抵触前此定义或自相矛盾§ 2. 2反证法概念的探究反证法的理论依据是形式逻辑中的两个基本规律矛盾律和 排中律。所谓“矛盾律”是说：在同一论证过程中两个互相反对或互 相否定的论断，其中至少有一个是假的。而所

10、谓“排中律”则是说： 任何一个判断或者为真或者为假，二者必居其一。也就是说结论“p 真”与“非p真”中有且只有一个是正确的。反证法与证逆否命题是 不同的：真命题与逆否命题同真假，逆定理与否定理同真假。从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定,是“p且非q”,由此 进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若p 则q”为真。像这样证明“若p则q”为真的证明方法，叫做反证法。 如上所述，用反证法证明命题“若p则q”，是把“p且非作为假 设，利用正确的推理推出矛盾，得出“p且非q”为假，从而得出“若 p则q”为真；而证明命题“若p则q”的逆否命题“若非q则非p ”, 是将非q作为条件，用正

11、确的推理推出非p成立，根据“若p则q” 和“若非q则非p ”的等价性得出“若p则q”成立。比较可知，不 论从思路方而还是从方法方面来讲，反证法与证逆否命题是有着本质 的不同的。因而“反证法就是证逆否命题”这一说法的不妥之处便是 非常清楚的了。运用反证法证题时常见的矛盾形式用反证法证明命题“若p则吋，可能出现以下三种情况：导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾；导出一个恒假命题。例2求证两条直线如果有公共点，最多只有一个。证明：假设它们有两个公共点a, b,这两点直分别是a, b那么a, b都属于a, a, b也都属于b,因为两点决定一条直线，所以a, b重合所

12、以命题不成立，原命题正确，公共点证明：假设在昇虑内存在一点只使得过p点的任一条直线把的面积分成相等的两部 分。连接、bp、少并分别延长交对边于从e、f (如图)。由假设, saabd=saadc,于是为的中点，同理代尸分别是力g 肋的 中点，从而戶是的重心。过"作的平行线分别交力、应?于 m、n,则,这与假设过p点的任一条直线把的面积分成相等 的两部分矛盾。例4已知函数f(x)是单调函数，则方程f (x)=0最多只有一个实数根。 证明：假设方程至少有两个根x, x?且x不等于x2， 则有 f(xj=f(x2) (x不等t x2) 这与函数单调的定义显然孑盾，故命题成立。例5平面上有六

13、个圆，每个圆圆心都在其余各圆外部，则平面上 任一点不会同时在这六个圆上。证明：题意即这六个圆没有共同的交点。如果这六个圆至少有一个共同的交点，则连接这交点与 每个圆的圆心的线段中，总有两条线段所成的角不超过60。o这时，这两条线段所连接的圆如果半径相等，那么两圆 圆心在对方圆内；否则，较小的圆圆心在较大的圆之内，这都与已知矛盾。例6求证方程22+x=6仅有唯一实根2o证明：假设方程22+x=6有一个非2的实根a o则有2a +a =6，与2二6相减,得2a -2匚2-a o ci h 2,故a > 2或u < 2o当a > 2吋，2a -22>0 ,而2-a <

14、0 ,相矛盾。当a < 2时，2a -22<0 ,而2-a > 0 ,也矛盾。假设方程有一个非2实根是错误的，则原命题成立。三.运用反证法的步骤反证法是数学中常用的间接证明方法之一，是从反面的角度思 考问题的证明方法，属于“间接证明”的一类，即肯定题设而否定结 论，从而导出矛盾，推理而得。反证法是数学屮一种重要的证明方法, 是“数学家的最精良的武器之一”，在许多方面都有着不可替代的作 用.它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和 创造性思维有着重大的意义。反证法不仅可以单独使用，也可以与其 他方法结合使用，并且可以在论证一道命题中多次使用，只要我们止 确熟练运用

15、，就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨, 提高数学解题能力.例1求证：素数有无穷多个。证明：假设素数只有n个：p】、p2pn,取整数 n二prdpn+1,显然n不能被这儿个数中的任何一个整除。因此, 或者n本身就是素数（显然n不等于“pl、p2、pn中任何一个）, 或者n含有除这n个素数以外的素数r,这些都与素数只有n个的假 定相矛盾，故素数个数不可能是有限的，即为无限的。从以上例题可以归纳出：反证法步骤（1）反设：假设所要证明的结论不成立，而设结论的反面成立;（2）归谬：由“反设”出发，以通过正确的推理，导出矛盾一 与已知条件、已知的公理、定理、定义、反设及明显的事实矛盾 或自

16、相矛盾；（3）结论：因为推理正确，产生矛盾的原因在于“反设”的谬 误，既然结论的反面不成立，从而肯定了结论成立。例2求证：大于1的任何整数一定有质因数。证明：反设：假设至少有一个大于1的整数刃没有质因数,即n大于1且不是质数（因为质数本身是质因数），贝必为合数。归谬：料必有一个不等于”的真因数®,故n人于nl, n2,这里勺也必不是质数（否则，有质因数）；同理，佝也有一个质 因数2,使"大于n2, n3, n2也必不是质数。依次类推，可得n大 于nl, n2, n3这表明，在巾与1之间有无限多个不同的整数结论：这与一个确定的整数"与1之间只能有有限个 不同的整数有

17、矛盾。例3已知：求证：直线m和，是异面直线。a4证明：【提出假设】假设直线肋和二在同一平面内，那么这个平面一 定经过点云和直线盗。【推出矛盾】""，经过点三和直线二只能有一个平面二所以：直线与二应在平而二内aea,这与已知ata矛盾。【肯定结论】直线m和，是异面直线。设*、上都是正数，求证:证明：反设afa -不成立，便有*>,由对称性知:相加:正确，从而b b这一矛盾说明交换二、丄位置:d a合并得:反证法是数学证明中的一种重耍方法。牛顿曾经说过：“反 证法是数学家最精当的武器之一” o它是从否定命题的结论出发，通 过正确的逻辑推理导出矛盾，从而证明了原命题的正确性

18、的一种重要 方法。反证法之所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的 条件，这对发现正确的解题思路是有帮助的。对于具体、简单的命题; 或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反 面思考，问题可能解决得i分干脆。在现代数学中，反证法已成为最 常用和最有效的解决问题的方法之一。四反证法的种类在运用反证法证题时，必须认真考察原命题的结论，并找出结 论反面的所有情况，因为结论的反面可能只有一种情况，也可能有多 种情况。因此，反证法分为归谬法和穷举法两种。归谬法：当结论的反面只有一种情况时，只要否定这一情况就 能证明原命题结论的正确，这种反证法叫归谬法。穷举法：当结论的反面有多种情

19、况时，必须一一予以否定才能 证明原命题的正确，这种反证法叫穷举法。例1:已知：求证：卩+ 22。分析：此题的结论的否定只有一种情况,因此用反证法证明 时，只耍否定了这种情况，就能肯定卩竹*2的这种情况了。证明：假设”>2,则2-p-p1 +7，>8-12p+63 = v 2? + 1+3)=2+60>-1)1由此可知：这与已知矛盾。： +s2只有把这两种情况都否定了，才能肯定？与二相交。五.反证法的种类§ 5.1反证法适用范围及证明反证法虽然是在平面几何教材屮出现的，但对数学的其它各部分 内容，如代数、三角、立体几何、解析几何中都可应用。那么，究竟 什么样的命题可以

20、用反证法来证呢？当然没有绝对的标准，但证题的 实践告诉我们：下面几种命题一般用反证法来证比较方便。(1) 否定性命题即结论以“没有” “不是” “不能”等形式出 现的命题，直接证法一般不易入手，而反证法有希望成功。例1求证：在一个三角形中，不能有两个角是钝角。已知：za, zb, zc是三角形abc的三个内角。求证：za, zb, zc中不能有两 个钝角。证明：假如za, zb, zc中有两个钝角，不妨设za>90°,且z b>90°,则za+zb+zc>180°o这与“三角形内角和为180°”这一定 理相矛盾。故za, zb均大于90

21、°不成立。所以，一个三角形不可 能有两个钝角。(2) 限定式命题即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等 词语的命题。例2.设心沐c0,求证：甘十喘1),tg+if+i) 三个数中至少有一个不人于8 .证明：假设三个数都大于二则丙孑莎刁莎刁71>?另一方面，根据平均值不等2a(a-1 罠x-1尸 1 时匚时e同理:于是:(3) 无穷性命题即涉及各种“无限”结论的命题。例3求证：形如4n+3的整数不能化为两整数的平方和。证明：假设p是心+3型的整数，且p能化成两个整数的平 方和，bp p=a +b ,则由p是奇数得a、b必为一奇一偶。不妨设a二2s+l, b二2t,

22、其中s、t为整数， p二a+b二(2s+l) + (2t)二4 (s+s+t) +1,这与 p 是 4n+3 型的整数矛盾。例4求证：素数有无穷多个。证明：假设素数只有n个:pi、p2pn,取整数n二pp2 pn+1,显然n不能被这几个数中的任何一个整除。因此，或者n木身 就是素数(显然n不等于“pl、p2、pn中任何一个)，或者n含 有除这n个素数以外的素数这些都与素数只有n个的假定相矛盾, 故素数个数不可能是有限的，即为无限的。(4)逆命题某些命题的逆命题，用反证法证明时可利用原命题的结论,从而带來方便。例5.正命题：若四边形有一个内切圆，则对边z和必相等。逆命题：若四边形对边之和相等，则

23、它必有一个内切圆。逆命题的证明：如图，若ab+cd=ad+bc(1),设四边形abcd 不能有一个内切圆，则可作与其三边ad、dc、ab相切，而bc与 00相离或相交，过c作。0的切线交ab或延长线于点e,由止命题 知:ae+cd=ad+ce(2) 当 bc 与00 相离时,(1)-(2)得 ab-ae = bc ce, bc = ce+be,这与三角形两边之和人于第三边相矛盾；当 bc 与。0 相交时，(2)-(1)得 ae-ab = ce-bc, bc = ce+be,同样 推出矛盾，则bc与00不能相交或离，bc与必相切，故四边形 必有一个内切圆。(5) 某些存在性命题例6求证：两条直线

24、如果有公共点，最多只有一个。证明：假设它们有两个公共点a, b,这两点直分别是a, b那么a, b都属于a, a, b也都属于b,因为两点决定一条直线，所以e b重合所以命题不成立，原命题正确，公共点最 多只有一个。(6) 全称肯定性命题即结论以“总是”、“都”、“全"等出 现的，这类肯定性命题可以用反证法试试。例7.求证方程2?+x二6仅有唯一实根2o证明：假设方程22+x=6有一个非2的实根a o则有2a +a =6，与2=6相减,得2a -2冬2-a oi a h 2,故a > 2或a <2o当a > 2时，2a -2?>0 ,而2-a < 0 ,

25、相矛盾。当a < 2时，2a -才<0 ,而2-a > 0 ,也矛盾。假设方程有一个非2的实根是错误的。不存在非2的实根a,即方程仅有唯一实根2o(7) 一些不等量命题的证明女口：不等式，反证法是证明它的一种重要方法，但当结论反面有 无穷多种情况时，一般不宜用反证法。例& 已知 a、b、c、d£r,且 ad-bc = l,求证:a2+b2+c2+d2+ab+cd hi。证明:假设 a2+b2+c2+d2+ab+cd= 1,把 adbc = l 代入 前式得：a2+b2+c2+d2+ab+bcad+cd = 0 即(a+b) 2+ (b+c) 2+ (c+d)

26、 2+ (ad) 2 = 0 va> b、c、der/a+b = b+c = c+d = a-d = 0 va=b = c = d,从而ad-bc = 0与ad-bc = l矛盾.故假设不成立，原命题成 立.例 9： 在zxabc 中，zozb,求证：ab>ac分析：此题看似简单，不用反证法，用平面儿何的知识 也能解决，也可以用反证法加以证明。证明：假设ab不大于ac,即abwac,下面就ab<ac或aab=ac两种情况加以证明，若说明这两种情况都不成立, 则假设错误，即原命题成立.(1)若ab=ac,则aabc为等腰三角形，azb=zc,与已知zozb矛盾.(2)若ab&l

27、t;ac,在ab延长线上取一点d,使得ad二ac, 连接dc. tad二ac adc为等腰三角形 a zadc= zacd,又 v zabc 为 aabd 的一个外角 a zabc> zbdc= zacd 而 z acd>zacb=zc azabozc 即zb>zc,与已知矛盾.z. 假设不成立，原命题成立.(8)基本命题即学科中的起始性命题，此类命题由于已知条件及能够应用的定 理、公式、法则较少，或由题设条件所能推出的结论很少，因而直接 证明入手较难，此时应用反证法容易奏效。女lh平面几何在按照公理 化方法建立起它的科学体系吋，最初只是提出少量的定义、公理。因 此，起始阶段

28、的一些性质和定理很难直接推证，它们 a c 多数宜用反证法来证明。例10. 已知：如图ab丄ef于m°cd丄ef于n。1求证：ab/cd只d证明：假设ab, cd不平行，即ab, cd交于点p ,则过p点有ab丄ef ,且cd丄ef,与“过直线外一点，有且只有一条 直线垂直于已知直线”矛盾。假设错误，则abcdo例11求证：两条相交直线只有一个交点。已 知：如图，直线a、b相交于点p,求证：a> b只有一 个交点。证明：假定a, b相交不只有一个交点p,那么a,b至少有两个交点p、qo于是直线a是由p、q两点确定的直线，直线b也是由p、q两点确定的直线，即由p、q两点确定了两条

29、直线a, bo与已知公理“两点只确定一条直线”相矛盾，则a, b不可能 有两个交点，于是两条相交直线只有一个交点。反证法的原理是：假设命题不真，也就是说，我们附加一个与要 证明的结论完全相反的假设条件(反正假设)到已知条件中去，利用 一系列的推理，得到矛盾的结论(与已知条件矛盾，与已证明过的数 学命题矛盾，与刚提岀的反证假设矛盾，或是导出两个自相矛盾的结 论)，依据排屮律，附加的条件不真，从而，证得原命题成立。反证法的基本思想是：将否定结论作为条件就会导致矛盾。这种基本 思想可以用下面的公式来表示：“否定>推理矛盾肯定”“否定”假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成立。 即首先否定结论

30、。“推理”一一从原条件和新作的假设出发，引用一系列的论据 进行推理。“矛盾”通过推理，导致矛盾，即得出与已知条件、定义、 公理、定理或明显的事实相矛盾的结果。“肯定”由于推理过程正确，矛盾产生的原因是由假设所 引起，因此假设是错的，从而肯定原结论的正确。§ 5. 2反证法的正确使用任何方法都有它成立的条件，都有它适用的范围。离开了条件 超越了范围就会犯错误，同样，也会影响解题的成功率。因此，我们 应该学会正确使用反证法来解题。注意其适用范围。虽然反证法是一 种很积极的证明方法，而且用反证法证题还有很多优点：如适用范围 广、思想选择的余地人、推理方便等。但是并不是每一道题都能用反 证法

31、来解的(1)必须正确否定结论正确否定结论是运用反证法的首要问题。如：命题“一个三角形中，至多有一个内角是直角”。“至多有一个”指'只 有一个”或“没有一个”，其反而是“有两个直角”或“三个内角都是直角”，即 “至少有两个是直角”。(2)必须明确推理特点否定结论导出才盾是反证法的任务，但何时出现矛盾，出现什么样的矛盾是 不能预测的，也没有一个机械的标准，有的甚至是捉摸不定的.一般总是在命题 的相关领域里考虑(例如，平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等), 这正是反证法推理的特点。因此，在推理前不必耍也不可能事先规定耍得岀什么 样的才盾。只需正确否定结论，严格遵守推理规则，进行步

32、步有据的推理，矛盾 一经出现，证明即告结束。(3) 了解矛盾种类反证法推理过程小出现的才盾是多种多样的，推理导出的结果可能与题设或 部分题设才盾，可能与已知真命题(定义或公理、或定理、或性质)相矛盾，可 能与临时假设孑盾，或推出一对相互孑盾的结果等。反证法是数学小一种重要的证明方法，是“数学家的最精良的武器， 在许多方面都有着不可替代的作用.它以其独特的证明方法和思维方式对培养 学生逻辑思维能力和创造性思维有着重人的意义。反证法不仅可以单独使用，也 可以与其他方法结合使用，并且可以在论证一道命题中多次使用，只要我们止确 熟练运用，就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨，提高数学解

33、题能力.宜用反证法证明的命题述有很多，对此我们以后述可以继续探究。例1 如果对任何止数厂 二次方程的两个根是止 实数，则系数戌0,试证之。证明：假设=>0,则二次函数>=+c + p的图象是开口 向上的抛物线，显然可见，当m增大时，抛物线就沿丁轴向上平移， 而当二值增大到相当大的正数时，抛物线就上开到与工轴没有交点， 则对这样的一些，值，二次方程的实数根就不存在。因此，二>0,这 一假设与已知矛盾。同理，&v0,也不合题意。综上所述，当q>0和丈vo时均不合题意。因此， = 0 分析：看了本题的证明过程似乎很合理，但其实第三步，即肯定原结 论成立的论证错了。因为

34、，本题的题设条件为对任意正数" = °有 两个正实数根，结论是« = 但本题的题设条件与结论是矛盾的； 当<1=0时，二次方程就变成了一次方程ax+c+p = o,此一次方程在 0时，对于任何正数二，它只有一个根；在"0时，仅当p = p>0 的条件下，它有无数个根，否则无根，但总之不会有两个根。题设条 件和结论矛盾。因此，本题不能反证法来处理。若原题改为“如果对于任何正数占，只存在正实根，则系数a=0 就 能用反证法证明了。因此，对于下列命题，较适用反证法来解决。1. 对于结论是否定形式的命题；2. 对于结论是以“至多二“至少，或“无限,啲

35、形式出现的命题；3. 对于结论是以“唯一”或“必然'，的形式出现的命题；4. 对于可利用的公理定理较少或者较以与已知条件和沟通的命题。5. 提出假设时，要分清结论反血的全部情况，即不能多，也不能少。例2:求证：五个连续自然数的平方和不可能是一个完全平方数。证明：设五个连续自然数是"-1,芝，»+1, + 2则3-呼4伽-疔+*1吃+(«+2)a = 5m1 +10是一个关于包的二次三项 式，若其为一个完全平方数，即二次三项式+10有两个相等的实根, 于是有a =1)2-4x5x10 =-200*q 与a = 0 矛盾。即五个连续自然数的平方和不是一个完全平

36、方数。分析：本题的证明过程似乎也合理，但其实它的假设发生了错误。原 结论是对于任何大于2的自然数一弘'+10不是完全平方数，所以结 论的反血应是至少存在一个大于2的自然数刃使弘 +10是一个完全平 方数，而不是对所有的,;，542是一个完全平方数，于是不能推出a = 0 o例如：+14 当"=5时是一个完全平方数，但是ao推出矛盾时，一般说来，根据条件和假设，通过推理导出与下列 孑盾之一即可：1与题设矛盾；2与定义相矛盾；3与定理相矛盾；4与公理相矛盾；5与客观事实相孑盾；6自和矛盾；反证法是数学证明中的一种重要方法。牛顿曾经说过：“反证法 是数学家最精当的武器之一”。它是从

37、否定命题的结论出发，通过正 确的逻辑推理导出矛盾，从而证明了原命题的止确性的一种重要方 法。反证法z所以有效是因为它对结论的否定实际上增加了论证的条 件，这对发现疋确的解题思路是有帮助的。对丁具体、简单的命题； 或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反 面思考，问题可能解决得十分干脆。在现代数学屮，反证法已成为最 常用和最有效的解决问题的方法之一。反证法是数学证明中的一种重 要方法。牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器。它 是从否定命题的结论出发，通过止确的逻辑推理导出矛盾，从而证明 了原命题的正确性的一种重要方法。反证法之所以有效是因为它对结 论的否定实际上增加了论

38、证的条件，这对发现正确的解题思路是有帮 助的。对于具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变 其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 在现代数学中，反证法已成为最常用和最有效的解决问题的方法之 o去掉大米中的砂粒，有两种方法。一种是直接从大米中把砂粒一 粒一粒地捡出来；一种是用间接的方法淘洗法，把砂粒残留下来。 这两种方法虽然形式不同，但结果却是一样的，都能达到去掉砂粒的 目的。但直接方法困难得很，间接方法却容易的多。在数学解题中， 也常用间接的方法（即有些命题不易用直接的方法去证明，这时可通 过证明它的等价命题真，从而断定原命题真的证明方法）来证题。paper

39、abstract: certification is a form of indirect reduction to absurdity, it does not directly prove that the subject hif a then bn (a -> b) are true, but from the negative side to prove its negative proposition "both a and bn to be false, thereby affirming "if a while b nto really prove that methodbased on the law on anyway and thinking, the r