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文档简介
1、椭圆存在性问题探究1已知椭圆的离心率为,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B (1)求椭圆C的方程;(2)设 P为椭圆上一点,且满足(O 为坐标原点),当 时,求实数t的值2点P是椭圆+=1外的任意一点,过点P的直线PA、PB分别与椭圆相切于A、B两点(1)若点P的坐标为(1,2),求直线AB的方程(2)设椭圆的左焦点为F,请问:当点P运动时,PFA与PFB是否总是相等?若是,请给出证明3如图,已知F(2,0)为椭圆(ab0)的右焦点,AB为椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦),线段OF的垂直平分线与椭圆相交于两点C、D,且CAD=90&
2、#176;(I)求椭圆的方程;(II)设过点F斜率为k(k0)的直线l与椭圆相交于两点P、Q若存在一定点E(m,0),使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EP、EQ的距离相等,求m的值4椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,F1PF2=60°,设(I)当=2时,求椭圆离心率e;(II)当椭圆离心率最小时,PQ为过椭圆右焦点F2的弦,且|PQ|=,求椭圆的方程5椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设F1PF2的角平分线PM交C的长
3、轴于点M(m,0),求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k0,试证明为定值,并求出这个定值6已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率(1)求椭圆E的方程;(2)求F1AF2的平分线所在直线l的方程;(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由7如图,点F是椭圆W:的左焦点,A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点,椭圆的离心率为,三角形ABF的面积为,()求椭圆W的方程;()对于x轴上的点P(t,0),椭圆W上存在点Q
4、,使得PQAQ,求实数t的取值范围;()直线l:y=kx+m(k0)与椭圆W交于不同的两点M、N (M、N异于椭圆的左右顶点),若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标8设椭圆T:(ab0),直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合,l与椭圆交于P、Q,当l与x轴垂直时,|PQ|=,F2为椭圆的右焦点,M为椭圆T上任意一点,若F1MF2面积的最大值为(1)求椭圆T的方程;(2)直线l绕F1旋转,与圆O:x2+y2=5交于A、B两点,若|AB|(4,),求F2PQ的面积S的取值范围9已知椭圆的离心率为,椭圆上的点到右焦点F的最大距离为5;(1)求椭圆的方程;(2)
5、设过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点,且线段AB的中点M在直线l:x=t(t2)上的射影为N,若,求t的取值范围10在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为(I)求椭圆C的方程(II)A,B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设,求实数t的值11设F1F2别是椭圆D:的左、右焦点,过F2斜角为的直线交椭圆D于A、B点,F1到直线AB的距离为3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4()求椭圆D的方程;()作直线l与椭圆D交于不同的两点P,Q,其中P点的坐标为(A,0),若点N(0,t)是线段PQ垂直
6、平分线的一点,且满足,求实数t的值12已知A、D分别为椭圆E:=1(ab0)的左顶点与上顶点,椭圆的离心率e=,F1、F2为椭圆的左、右焦点,点P是线段AD上的任一点,且的最大值为1(1)求椭圆E的方程(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原点),若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由(3)设直线l与圆C:x2+y2=R2(1R2)相切于A1,且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取最大值?并求最大值13椭圆C:(ab0)的一个焦点F1(2,0),右准线方程x=8(1)求椭圆C的方程;(2)若M为右准线
7、上一点,A为椭圆C的左顶点,连接AM交椭圆于点P,求的取值范围;(3)设圆Q:(xt)2+y2=1(t4)与椭圆C有且只有一个公共点,过椭圆C上一点B作圆Q的切线BS、BT,切点为S,T,求的最大值14已知离心率为的椭圆E:+=1(ab0)的焦距为4(1)求椭圆E的方程;(2)若某圆的圆心为坐标原点O,该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,求该圆的方程,并求|AB|的最大值15已知椭圆C的方程为+=1(ab0),离心率e=,上焦点到直线y=的距离为,直线l与y轴交于一点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B且=t(1)求椭圆C的方程;(2)若+t=4,求m的取值范围16已知直线,
8、圆O:x2+y2=5,椭圆的离心率,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等()求椭圆C的方程;()过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C交于A,B两点(1)若=2求直线l的方程;(2)若动点P满足=+,问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由17已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,在椭圆C的右准线上的点,满足线段PF1的中垂线过点F2直线l:y=kx+m为动直线,且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B()求椭圆C的方程;()若在椭圆C上存在点Q,满足(O为坐标原点),求实数的取值范围;()在()的条件下,当取何值时,ABO
9、的面积最大,并求出这个最大值18已知椭圆C:+=1(ab0)上的动点到焦点距离的最小值为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+=0相切()求椭圆C的方程;()若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,P为椭圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点)当|AB|= 时,求实数t的值19已知直线l与椭圆C:交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且OPQ的面积SOPQ=,其中O为坐标原点()证明x12+x22和y12+y22均为定值;()设线段PQ的中点为M,求|OM|PQ|的最大值;()椭圆C上是否存在点D,E,G,使得SODE=SODG=SOEG=?若存在,判断DEG的形
10、状;若不存在,请说明理由20椭圆C:=1(ab0)的离心率,a+b=3(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2mk为定值21设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且离心率且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l,使得若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MNAB,求证:为定值22已知椭圆经过(1,1)与两点,过原点的直线l与椭圆C交于A,B两
11、点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|(1)求椭圆C的方程;(2)求证:为定值;(3)是否存在定圆,使得直线l绕原点转动时,AM恒与该定圆相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由23已知椭圆C:,点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点,直线AB与圆G:(c是椭圆的焦半距)相离,P是直线AB上一动点,过点P作圆G的两切线,切点分别为M、N(1)若椭圆C经过两点、,求椭圆C的方程;(2)当c为定值时,求证:直线MN经过一定点E,并求的值(O是坐标原点);(3)若存在点P使得PMN为正三角形,试求椭圆离心率的取值范围24已知椭圆c:+=1(a)的右焦点F在圆D:(x2)2+y2=1上,直线l
12、:x=my+3(m0交椭圆于M、N两点()求椭圆C的方程;()若(O为坐标原点),求m的值;()设点N关于x轴的对称点为N1(N1与点M不重合),且直线N1M与x轴交于点P,试问PMN的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由25如图,设抛物线方程为x2=2py(p0),M为直线y=2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B()求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列;()已知当M点的坐标为(2,2p)时,求此时抛物线的方程;()是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py(p0)上,其中,点C满足(O为坐标原点)若存在,求出所有适合题意的点
13、M的坐标;若不存在,请说明理由26已知椭圆C的中心在原点,一个焦点为,离心率为,点P为第一象限内横坐标为1的椭圆C上的点,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA、PB分别交椭圆C于两点A、B(1)求椭圆C的方程;(2)求PAB面积的最大值27如图,椭圆与一等轴双曲线相交,M是其中一个交点,并且双曲线在左、右顶点分别是该椭圆的左、右焦点F1、F2,双曲线的左、右焦点分别是椭圆左、右顶点,MF1F2的周长为(4),设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A,B和C,D(1)求椭圆和双曲线的标准方程;(2)设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,求证:k1k2=1;
14、(3)是否存在常数,使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由28如图,已知椭圆内有一点M,过M作两条动直线AC、BD分别交椭圆于A、C和B、D两点,若(1)证明:ACBD;(2)若M点恰好为椭圆中心O(i)四边形ABCD是否存在内切圆?若存在,求其内切圆方程;若不存在,请说明理由(ii)求弦AB长的最小值29已知椭圆G:+=1(ab0)的离心率为,右焦点F(1,0)过点F作斜率为k(k0)的直线l,交椭圆G于A、B两点,M(2,0)是一个定点如图所示,连AM、BM,分别交椭圆G于C、D两点(不同于A、B),记直线CD的斜率为k1()求椭圆G的方程;()
15、在直线l的斜率k变化的过程中,是否存在一个常数,使得k1=k恒成立?若存在,求出这个常数;若不存在,请说明理由30如图,在平面直角坐标系xoy中,已知F1,F2分别是椭圆E:的左、右焦点,A,B分别是椭圆E的左、右顶点,且(1)求椭圆E的离心率;(2)已知点D(1,0)为线段OF2的中点,M 为椭圆E上的动点(异于点A、B),连接MF1并延长交椭圆E于点N,连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q,连接PQ,设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2,试问是否存在常数,使得k1+k2=0恒成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由参考答案与试题解析1已知椭圆的离心率为,过焦点且垂直于长轴的
16、直线被椭圆截得的弦长为1,过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于两点A,B (1)求椭圆C的方程;(2)设 P为椭圆上一点,且满足(O 为坐标原点),当 时,求实数t的值解:(1)由已知e=,所以,又c2=a2b2,所以a2=4b2,c2=3b2,所以椭圆方程为又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为所以b=1所以椭圆C的方程为;(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y)设AB:y=k(x3),与椭圆联立得,整理得(1+4k2)x224k2x+36k24=0,由=242k416(9k21)(1+4k2)0,得,由,得,所以 ,由点P在椭圆上得,整理得36k2=t2(1+4k2
17、)又由,所以|AB|=所以(1+k2)(x1x2)2=3,(1+k2)(x1+x2)24x1x2=3,整理得:(8k21)(16k2+13)=0所以8k21=0,由36k2=t2(1+4k2),得所以则t=2点P是椭圆+=1外的任意一点,过点P的直线PA、PB分别与椭圆相切于A、B两点(1)若点P的坐标为(1,2),求直线AB的方程(2)设椭圆的左焦点为F,请问:当点P运动时,PFA与PFB是否总是相等?若是,请给出证明解:(1)设点A的坐标为(x1,y1),当y0时,由+=1得,y=,则过点A的切线斜率k=y=,过点A的切线方程为:yy1=,又,则切线方程可整理为:,当y0时,同理可得切线方
18、程为:,综上,过点A的切线方程为:,点P(1,2)在切线上,设点B的坐标为(x2,y2),同理可得,故由可得直线AB的方程为;(2)当点P运动时,PFA与PFB总是相等的,F(1,0),设点P的坐标为(m,n),则由(1)知,|AF|=2+,=(x1+1,y1)(m+1,n)=(m+1)(x1+1)+ny1=(m+1)(x1+1)+3(1)=,cosPFA=,同理,cos,cosPFA=cosPFB,PFA=PFB3如图,已知F(2,0)为椭圆(ab0)的右焦点,AB为椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦),线段OF的垂直平分线与椭圆相交于两点C、D,且CAD=90°(I)求椭圆的方程
19、;(II)设过点F斜率为k(k0)的直线l与椭圆相交于两点P、Q若存在一定点E(m,0),使得x轴上的任意一点(异于点E、F)到直线EP、EQ的距离相等,求m的值解:()F(2,0),则,其中所以因为CAD=90°,所以所以,即,联立a2=b2+4解得a2=6,所以b2=2可得椭圆方程为;()设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为y=k(x2)(k0)由,得(1+3k2)x212k2x+12k26=0所以根据题意,x轴平分PEQ,则直线EP,EQ的倾斜角互补,即kEP+kEQ=0设E(m,0),则有(当x1=m或x2=m时不合题意)将y1=k(x12),y2=k(x22
20、)代入上式,得又k0,所以即即,2x1x2(m+2)(x1+x2)+4m=0将代入,解得m=34椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,点P在椭圆上,F1PF2=60°,设(I)当=2时,求椭圆离心率e;(II)当椭圆离心率最小时,PQ为过椭圆右焦点F2的弦,且|PQ|=,求椭圆的方程(I)解:,|PF1|=2|PF2|,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=,cosF1PF2=,(II)解:,cosF1PF2=,取等号时,p(0,b),5x28cx=0,c=1,5椭圆C:的左右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1(1)求椭圆C的方程;(2)
21、点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k0,试证明为定值,并求出这个定值解:(1)把c代入椭圆方程得,解得,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1,又,联立得解得,椭圆C的方程为(2)如图所示,设|PF1|=t,|PF2|=n,由角平分线的性质可得,又t+n=2a=4,消去t得到,化为,acna+c,即,也即,解得m的取值范围;(3)证明:设P(x0,y0),不妨设y0
22、0,由椭圆方程,取,则=,k=,=,=8为定值6已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率(1)求椭圆E的方程;(2)求F1AF2的平分线所在直线l的方程;(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由解:(1)设椭圆方程为椭圆E经过点A(2,3),离心率,a2=16,b2=12椭圆方程E为:;(2)F1(2,0),F2(2,0),A(2,3),AF1方程为:3x4y+6=0,AF2方程为:x=2设角平分线上任意一点为P(x,y),则 得2xy1=0或x+2y8=0斜率为正,直线方程为2xy1=0;(3)假设存在B(x1,
23、y1)C(x2,y2)两点关于直线l对称,直线BC方程为代人得x2mx+m212=0,BC中点为代入直线2xy1=0上,得m=4 BC中点为(2,3)与A重合,不成立,所以不存在满足题设条件的相异的两点7如图,点F是椭圆W:的左焦点,A、B分别是椭圆的右顶点与上顶点,椭圆的离心率为,三角形ABF的面积为,()求椭圆W的方程;()对于x轴上的点P(t,0),椭圆W上存在点Q,使得PQAQ,求实数t的取值范围;()直线l:y=kx+m(k0)与椭圆W交于不同的两点M、N (M、N异于椭圆的左右顶点),若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标()解:由,即a=2c
24、,得,解得c2=1,a2=4c2=4,b2=a2c2=3,椭圆W的方程为;(3分)()解:A(2,0),P(t,0),设Q(x,y),则,(xt)(x2)+y2=0,(5分)2x2,即;(7分)()证明:联立消y得:(3+4k2)x2+8kmx+4m212=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),=(8km)24(3+4k2)(4m212)0,即m23+4k2,(9分),若以MN为直径的圆过椭圆W的右顶点A,则,即(x12)(x22)+(kx1+m)(kx2+m)=0,(11分)展开整理得:,即,通分化简得,即7m2+16km+4k2=0,分解得(7m+2k)(m+2k)=0,得7m+2k=
25、0或m+2k=0,即或m=2k,当时,直线,即直线过定点当m=2k时,直线y=kx+m=k(x2),即直线过定点(2,0),但与右顶点A重合,舍去,综合知:直线l过定点,该定点的坐标为(14分)8设椭圆T:(ab0),直线l过椭圆左焦点F1且不与x轴重合,l与椭圆交于P、Q,当l与x轴垂直时,|PQ|=,F2为椭圆的右焦点,M为椭圆T上任意一点,若F1MF2面积的最大值为(1)求椭圆T的方程;(2)直线l绕着F1旋转,与圆O:x2+y2=5交于A、B两点,若|AB|(4,),求F2PQ的面积S的取值范围解:(1)由题意可将x=c代入椭圆方程可得,c=即y=|PQ|=由已知可得=联立可得a2=3
26、,b2=2椭圆的方程为(2)设直线L:x=my1即xmy+1=0,圆心O到直线L的距离d=由圆的性质可知AB=2=又,则m23联立方程组消去x可得(2m2+3)y24my4=0设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=(令t=m2+11,4)设f(t)=(t1,4)则对一切t1,4恒成立f(t)=4t+在1,4上单调递增,4t+9已知椭圆的离心率为,椭圆上的点到右焦点F的最大距离为5;(1)求椭圆的方程;(2)设过右焦点F的直线与椭圆交于A、B两点,且线段AB的中点M在直线l:x=t(t2)上的射影为N,若,求t的取值范围解:(1)依题意,得,解得,a=3,c=2,由b2=a2c2,得b=,椭
27、圆方程为(2)设直线AB方程为y=k(x2),代入椭圆中,得(9k2+5)x236k2x+36k245=0直线与椭圆交于A、B两点,有(36k2)24(9k2+5)(36k245)=25×36(k2+1)0|AB|=又由|MN|=t=t,又RtABN中,M为斜边AB的中点,|AB|=2|MN|,即=2t解得,t=k20,t的取值范围为3,)10在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离心率为(I)求椭圆C的方程(II)A,B为椭圆C上满足AOB的面积为的任意两点,E为线段AB的中点,射线OE交椭圆C与点P,设,求实数t的值解:(I)由题意设椭圆的
28、标准方程为,焦距为2c则,解得,椭圆的方程为(II)由题意设直线AB的方程为x=my+n,代入椭圆方程x2+2y2=2,化为(m2+2)y2+2mny+n22=0,则=4m2n24(m2+2)(n22)=4(2m2+42n2)0,(*),|AB|=原点O到直线AB的距离d=,=,化为(*)另一方面,=,xE=myE+n=,即E,代入椭圆方程得,化为n2t2=m2+2,代入(*)得,化为3t416t2+16=0,解得t0,经验证满足(*)11设F1F2别是椭圆D:的左、右焦点,过F2斜角为的直线交椭圆D于A、B点,F1到直线AB的距离为3,连接椭圆D的四个顶点得到的菱形面积为4()求椭圆D的方程
29、;()作直线l与椭圆D交于不同的两点P,Q,其中P点的坐标为(A,0),若点N(0,t)是线段PQ垂直平分线的一点,且满足,求实数t的值解:()设F1,F2的坐标分别为(c,0),(c,0),其中c0,由题意得AB的方程为:y=(xc),因F1到直线AB的距离为3,所以有=3,解得c=,所以有a2b2=c2=3,由题意知:,即ab=2,联立解得:a=2,b=1,所求椭圆D的方程为()由()知:P(2,0),设Q(x1,y1),根据题意可知直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),把它代入椭圆D的方程,消去y,整理得:(1+4k2)x2+16k2x+(16k24)=0,由韦达定理得2+
30、x1=,则,所以线段PQ的中点坐标为,(1)当k=0时,则有Q(2,0),线段PQ垂直平分线为y轴,于是,由=4,解得:t=;(2)当k0时,则线段PQ垂直平分线的方程为y=,因为点N(0,t)是线段PQ垂直平分线上的一点,令x=0,得:t=,于是,由=4,解得:k=,代入t=,解得:t=,综上,满足条件的实数t的值为t=或t=12已知A、D分别为椭圆E:=1(ab0)的左顶点与上顶点,椭圆的离心率e=,F1、F2为椭圆的左、右焦点,点P是线段AD上的任一点,且的最大值为1(1)求椭圆E的方程(2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB(O为坐标原
31、点),若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由(3)设直线l与圆C:x2+y2=R2(1R2)相切于A1,且l与椭圆E有且仅有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取最大值?并求最大值解:(1)设P(x,y),F1(c,0),F2(c,0),其中c2=a2b2,c0则=(cx,y),=(cx,y)=x2+y2c2P在AD上,x2+y2看作线段AD上的点P(x,y)到原点距离的平方,P在A点,x2+y2最大,a2c2=1,又e=,a2=4,b2=1,c2=3,椭圆方程+y2=1(2)由(1)知椭圆方程为+y2=1,设圆心在原点的圆的一条切线为y=kx+t,A(x1,y1),B(x2,y2
32、)解方程组得x2+4(kx+t)2=4,即(1+4k)2x2+8ktx+4t24=0,要使切线与椭圆恒有两个交点A,B,则使=64k2t216(1+4k2)(t21)=16(4k2t2+1)0即4k2t2+10,即t24k2+1,且,y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=+t2=,要使,需使x1x2+y1y2=0,即+=0,所以5t24k24=0,即5t2=4k2+4且t24k2+1,即4k2+420k2+5恒成立又因为直线y=kx+t为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为r=,r2=,所求的圆为x2+y2=当切线的斜率不存在时,切线为x=
33、7;,与+y2=1交于点(,±)或(,±)满足综上,存在圆心在原点的圆x2+y2=,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B(3)设直线l的方程为y=mx+n,因为直线l与圆C:x2+y2=R2(1R2)相切于A1,由(2)知R=,即n2=R2(1+m2),因为l与椭圆只有一个公共点B1,由(2)知得x2+4(mx+n)2=4,即(1+4m2)x2+8mx+4n24=0有唯一解,则=64m2n216(1+4m2)(n21)=16(4m2n2+1)=0,即4m2n2+1=0,由得此时A,B重合为B1(x1,y1)点,由中x1=x2,所以x12=,B1(x1,y1)点在
34、椭圆上,所以y12=1x12=|OB1|2=x12+y12=5,在直角三角形OA1B1中,|A1B1|2=|OB1|2|OA1|2=5R2=5(+R2)因为(+R2)4当且仅当R=(1,2)时取等号,所以|A1B1|254=1即当R=(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为113椭圆C:(ab0)的一个焦点F1(2,0),右准线方程x=8(1)求椭圆C的方程;(2)若M为右准线上一点,A为椭圆C的左顶点,连接AM交椭圆于点P,求的取值范围;(3)设圆Q:(xt)2+y2=1(t4)与椭圆C有且只有一个公共点,过椭圆C上一点B作圆Q的切线BS、BT,切点为S,T,求的最大值解:(1)由题意得
35、,c=2,得,a2=16,b2=12,所求椭圆方程为;(4分)(2)设P点横坐标为x0,则,4x04,的取值范围是;(9分)(3)由题意得,t=5,即圆心Q为(5,0),设BQ=x,则=,1BQ9,即1x9,1x281,易得函数y=在上单调递减,在上单调递增,x2=81时,(14分)14已知离心率为的椭圆E:+=1(ab0)的焦距为4(1)求椭圆E的方程;(2)若某圆的圆心为坐标原点O,该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,求该圆的方程,并求|AB|的最大值解:(1)由题意,2c=4,c=2,a=2b2=a2c2=4,椭圆E的方程为=1;(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意
36、一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2)由,可得(1+2k2)x2+4kmx+2m28=0,则=8(8k2m2+4)0,8k2m2+40x1+x2=,x1x2=,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=要使,只需x1x2+y1y2=0,即,所以3m28k28=0,所以k2=0又8k2m2+40,所以,所以,即或,因为直线y=kx+m为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所以所求的圆为,此时圆的切线y=kx+m都满足或;当切线的斜率不存在时切线为x=±与椭圆=1的两个交点为(
37、,±)或(,±)满足,综上,存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且因为x1+x2=,x1x2=,所以|AB|=|x1x2|=,当k0时,|AB|=因为8,所以,所以当k=0时,或斜率不存在时,计算得|AB|=综上可得15已知椭圆C的方程为+=1(ab0),离心率e=,上焦点到直线y=的距离为,直线l与y轴交于一点P(0,m),与椭圆C交于相异两点A,B且=t(1)求椭圆C的方程;(2)若+t=4,求m的取值范围解:(1)椭圆离心率e=,焦点到直线y=的距离为,a=1,c=椭圆C的方程为;(2)=t,(1+t)=+t+t=4,1+t=4,t=
38、3设直线l与椭圆交点A(x1,y1),B(x2,y2),将直线y=kx+m代入椭圆方程,消去y可得(k2+2)x2+2kmx+(m21)=0=(2km)24(k2+2)(m21)=4(k22m2+2)0,x1+x2=,x1x2=3,x1=3x2,x1+x2=2x2,x1x2=33(x1+x2)2+4x1x2=03()2+4×=04k2m2+2m2k22=0时,上述式子不成立,时,t=3,k0,或经检验符合式即所求m的取值范围为(1,)(,1)16已知直线,圆O:x2+y2=5,椭圆的离心率,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等()求椭圆C的方程;()过椭圆右焦点F的直线l与椭圆C
39、交于A,B两点(1)若=2求直线l的方程;(2)若动点P满足=+,问动点P的轨迹能否与椭圆C存在公共点?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由解:()设椭圆的半焦距为c,圆心O到直线l的距离为,由题意得 ,解得a2=3,b2=2故椭圆C的方程为()(1)当直线l的斜率为0时,检验知设A(x1,y1),B(x2,y2),由,得(1x1,y1)=2(x21,y2),则有y1=2y2,设直线l:x=my+1,联立消去x,整理得(2m2+3)y2+4my4=0结合,得代入,得×,即,解得,故直线l的方程是(2)问题等价于在椭圆上是否存在点P,使得成立当直线l的斜率为0时,可以验证不存在
40、这样的点,故设直线l的方程为x=my+1,用(1)的设法,可得P(x1+x2,y1+y2)若点P在椭圆C上,则,即又点A,B在椭圆上,有,则,即2x1x2+3y1y2+3=0,由(1)知x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=,代入式得,解得,即当时,;当时,故椭圆C上存在点P,使得成立,即动点P的轨迹与椭圆C存在公共点,公共点的坐标是17已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,在椭圆C的右准线上的点,满足线段PF1的中垂线过点F2直线l:y=kx+m为动直线,且直线l与椭圆C交于不同的两点A、B()求椭圆C的方程;()若在
41、椭圆C上存在点Q,满足(O为坐标原点),求实数的取值范围;()在()的条件下,当取何值时,ABO的面积最大,并求出这个最大值解:()设椭圆C的方程为,半焦距为c,依题意有解得b=1所求椭圆方程为 3分()由,得(1+2k2)x2+4kmx+2m22=0设点A、B的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则5分(1)当m=0时,点A、B关于原点对称,则=0(2)当m0时,点A、B不关于原点对称,则0,由,得即点Q在椭圆上,有,化简,得4m2(1+2k2)=2(1+2k2)21+2k20,有4m2=2(1+2k2)7分又=16k2m24(1+2k2)(2m22)=8(1+2k2m2),由0,
42、得1+2k2m28分将、两式,得(x)=2elnx(em0,24,则22且0综合(1)、(2)两种情况,得实数的取值范围是22 9分注:此题可根据图形得出当m=0时=0,当A、B两点重合时=±2如果学生由此得出的取值范围是22可酌情给分(),点O到直线AB的距离,AOB的面积= 12分由有,代入上式并化简,得, 13分当且仅当2=42,即时,等号成立当时,ABO的面积最大,最大值为 14分18已知椭圆C:+=1(ab0)上的动点到焦点距离的最小值为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy+=0相切()求椭圆C的方程;()若过点M(2,0)的直线与椭圆C相交于A,B两点,P为椭
43、圆上一点,且满足+=t(O为坐标原点)当|AB|= 时,求实数t的值解:()由题意知ac=1; (2分)又因为b=1,所以a2=2,b2=1 (4分)故椭圆C的方程为+y2=1 (5分)()设直线AB的方程为y=k(x2),A(x1,y1),B(x2,y2),P(x,y),由得(1+2k2)x28k2x+8k22=0 (7分)=64k44(2k2+1)(8k22)0,k2 (9分)x1+x2=,x1x2=又由|AB|=,得|x1x2|=,即 = (11分)可得 (12分)又由+=t,得(x1+x2,y1+y2)=t(x,y),则=,= (13分)故,即16k2=t2(1+2k2) (14分)得
44、,t2=,即t=± (15分)19已知直线l与椭圆C:交于P(x1,y1),Q(x2,y2)两不同点,且OPQ的面积SOPQ=,其中O为坐标原点()证明x12+x22和y12+y22均为定值;()设线段PQ的中点为M,求|OM|PQ|的最大值;()椭圆C上是否存在点D,E,G,使得SODE=SODG=SOEG=?若存在,判断DEG的形状;若不存在,请说明理由解:()1°当直线l的斜率不存在时,P,Q两点关于x轴对称,所以x1=x2,y1=y2,P(x1,y1)在椭圆上, 又SOPQ=,|x1|y1|= 由得|x1|=,|y1|=1此时x12+x22=3,y12+y22=2;
45、2°当直线l的斜率存在时,是直线l的方程为y=kx+m(m0),将其代入得(3k2+2)x2+6kmx+3(m22)=0,=36k2m212(3k2+2)(m22)0即3k2+2m2,又x1+x2=,x1x2=,|PQ|=,点O到直线l的距离为d=,SOPQ=,又SOPQ=,整理得3k2+2=2m2,此时x12+x22=(x1+x2)22x1x2=()22=3,y12+y22=(3x12)+(3x22)=4(x12+x22)=2;综上所述x12+x22=3,y12+y22=2结论成立()1°当直线l的斜率不存在时,由()知|OM|=|x1|=,|PQ|=2|y1|=2,因此
46、|OM|PQ|=2°当直线l的斜率存在时,由()知 =,=k+m=|OM|2=()2+()2=,|PQ|2=(1+k2)=2(2+),所以|OM|2|PQ|2=×=(3)(2+)=|OM|PQ|当且仅当=2+,即m=±时,等号成立综合1°2°得|OM|PQ|的最大值为;()椭圆C上不存在三点D,E,G,使得SODE=SODG=SOEG=,证明:假设存在D(u,v),E(x1,y1),G(x2,y2),使得SODE=SODG=SOEG=由()得u2+x12=3,u2+x22=3,x12+x22=3;v2+y12=2,v2+y22=2,y12+y2
47、2=2解得u2=x12=x22=;v2=y12=y22=1因此u,x1,x2只能从±中选取,v,y1,y2只能从±1中选取,因此点D,E,G,只能在(±,±1)这四点中选取三个不同点,而这三点的两两连线中必有一条过原点,与SODE=SODG=SOEG=矛盾所以椭圆C上不存在满足条件的三点D,E,G20椭圆C:=1(ab0)的离心率,a+b=3(1)求椭圆C的方程;(2)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2mk为定值(1)解:因为,所以,即a2=4b
48、2,a=2b又a+b=3,得a=2,b=1所以椭圆C的方程为;(2)证明:因为B(2,0),P不为椭圆顶点,则可设直线BP的方程为联立,得(4k2+1)x216k2x+16k24=0所以,则所以P()又直线AD的方程为联立,解得M()由三点D(0,1),P(),N(x,0)共线,得,所以N()所以MN的斜率为=则所以2mk为定值21设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,且离心率且过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l,使得若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦,MNAB,求
49、证:为定值(1)解:抛物线的焦点为椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合椭圆的一个顶点为,即,a=2,椭圆的标准方程为(3分)(2)解:由题可知,椭圆的右焦点为(1,0),直线l与椭圆必相交当直线斜率不存在时,M(1,),N(1,),不合题意设存在直线l为y=k(x1)(k0),且M(x1,y1),N(x2,y2)由得(3+4k2)x28k2x+4k212=0,=所以,故直线l的方程为或(8分)(3)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4)由(2)可得:|MN|=由消去y,并整理得:,|AB|=,为定值 (13分)22已知椭圆经过(1,1)与两点,过原点的直线l
50、与椭圆C交于A,B两点,椭圆C上一点M满足|MA|=|MB|(1)求椭圆C的方程;(2)求证:为定值;(3)是否存在定圆,使得直线l绕原点转动时,AM恒与该定圆相切?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由解:(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1,把点(1,1)与代入椭圆方程可得,解得故椭圆方程为(2)根据条件|MA|=|MB|,可知M在线段AB的垂直平分线上,同时A,B关于原点对称若A,B在椭圆的短轴顶点上,则点M在椭圆的长轴顶点上这时=2若A,B,M不是椭圆的顶点,不妨设,代入椭圆方程得,解得,所以同时可得|OM|2=,=2综上可知:不论A,B位置如何,总有=2(3)根据对称性,如果圆存在,则圆心在坐标原点,根据(2)当A,B,M不在椭圆的顶点上时,不妨设,则直线AM的方程为,化为一般式为,原点O到直线AM的距离为由(2)可得,代入上式化简可得d=1又A,B,M落在椭圆的顶点上时,可得原点到AM的距离综上,不论直线l如何转动,原点到直线AM的距离始终为1,存在定圆x2+y2=1,使得直线l绕原点转动时,AM恒与该圆相切23已知椭圆C:,点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点,直线AB
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