教学设计平面向量数系的扩充与复数的引入_3499

1、学习好资料欢迎下载【教学设计 】遂宁中学罗辉内容 平面向量、数系的扩充与复数的引入辅助工具多媒体课件第一节平面向量的概念及其线性运算基础盘查一向量的有关概念( 一)循纲忆知1 了解向量的实际背景；2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；3理解向量的几何表示( 二)小题查验1判断正误(1) 向量 AB 与向量 BA 是相等向量 ()(2) 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小()(3) 向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(4)| a|与 |b|是否相等与答案： (1)×(2) a，b 的方向无关(3)×(4) ()2.( 人教 A 版教材例题改

2、编 )如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中与 OA ， OB ， OC 相等的向量解： OA CBDO ；OB DC EO；OC ABEDFO.基础盘查二向量的线性运算( 一)循纲忆知1 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；2掌握向量数乘的运算及其几何意义；3了解向量线性运算的性质及其几何意义( 二)小题查验1判断正误(1) 两个向量的差仍是一个向量()(2) BA OAOB()学习好资料欢迎下载(3) 向量 a b 与 b a 是相反向量 ()(4) 两个向量相加就是两个向量的模相加()答案： (1)(2) (3)(4) ×2 (人教 A 版教材习题

3、改编) 化简：(1)( AB MB ) BO OM _.(2) NQ QP MN MP _.答案：(1) AB(2)0基础盘查三共线向量定理( 一)循纲忆知理解两个向量共线的含义，掌握向量的共线定理及应用( 二)小题查验1判断正误(1)若向量 a， b 共线，则向量a， b 的方向相同 ()(2)若 ab， b c，则 a c()(3)向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 A，B， C， D 四点在一条直线上 ()(4)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反之成立 ()答案： (1)× (2) × (3)× (4) 2已知 a 与 b 是两个不共

4、线的向量，且向量a b 与 (b 3a)共线，则 _.答案： 13考点一向量的有关概念| (基础送分型考点 自主练透 ) 必备知识 (1) 向量：既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模(2) 零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的(3) 单位向量：长度等于 1 个单位的向量(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0 与任一向量共线(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量(6) 相反向量：长度相等且方向相反的向量 题组练透 1给出下列命题：若 |a| |b|，则 a b；若 A，B， C， D 是不共线的四点，则AB DC 是四边形ABCD 为平行四边

5、形的充要学习好资料欢迎下载条件；若 a b， b c，则 a c； a b 的充要条件是 |a| |b|且 a b；若 a b， b c，则 a c.其中正确命题的序号是()A BCD解析： 选 A不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同正确 AB DC ，| AB | | DC |且 AB DC ，又 A， B， C， D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形；反之，若四边形 ABCD 为平行四边形，则 AB DC 且| AB |DC |，因此， AB DC .正确 a b，a， b 的长度相等且方向相同，又 b c，b， c 的长度相等且方向相同，a， c 的长度相等且方

6、向相同，故 a c.不正确 当 ab 且方向相反时，既使|a| |b|，也不能得到a b，故 |a| |b|且 ab 不是 a b 的充要条件，而是必要不充分条件不正确考虑 b0 这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是.故选 A.2设 a0为单位向量，下列命题中：若a 为平面内的某个向量，则a |a| ·a；若 a0与 a0 平行，则a |a|a0；若 a 与 a0 平行且 |a| 1，则 a a0.假命题的个数是 ()A 0B 1C 2D 3解析： 选 D 向量是既有大小又有方向的量，a 与 |a|a0 的模相同，但方向不一定相同，故 是假命题；若a 与 a0 平行，则a 与 a0

7、 的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时 a |a|a0，故 也是假命题综上所述，假命题的个数是3. 类题通法 学习好资料欢迎下载平面向量有关概念的核心(1) 向量定义的核心是方向和长度(2) 非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制(3) 相等向量的核心是方向相同且长度相等(4) 单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度(5) 零向量的核心是方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线考点二向量的线性运算| (重点保分型考点 师生共研 ) 必备知识 1 向量的加法定义：求两个向量和的运算运算法则 (几何意义 )：如图运算律： (1)交换律： a b b a；(2

8、) 结合律： (a b) ca (b c)2 向量的减法定义：向量a 加上向量b 的相反向量，叫做差的运算叫做向量的减法运算法则 (几何意义 )：如图a 与b 的差，即a ( b) a b.求两个向量3 向量的数乘定义：实数与向量 a 的积运算，即a.运算法则 (几何意义 )：如图， a 的长度与方向规定如下：(1)| a| |·|a|.(2) 当 0 时， a 与 a 的方向相同；当 0 时， a 与 a 的方向相反；当 0 时， a 0.运算律： (a)( )a；( )a a a；(a b) a b.学习好资料欢迎下载 提醒 (1) 实数和向量可以求积，但不能求和或求差；(2)

9、0 或 a 0? a 0. 典题例析 1(2014 新·课标全国卷 )设 D，E，F 分别为 ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点， 则 EBFC()1A ADB.2 AD1C BCD.2 BC11解析：选AEBFC 2(ABCB) 2(ACBC)12( AB AC ) AD ，故选 A.122 (2013 江·苏高考 )设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD 2AB ，BE 3BC.若 DE AC，为实数 )，则 的值为 _1 AB 2(1212解析： DEDBBE12BC12AC12AC12AB32AB 3( BA ) 6AB 3，所以 1

10、， 2，即 1623122.答案： 12 类题通法 1 向量线性运算的解题策略(1) 常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则(2) 找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解2 两个结论1(1) P 为线段 AB 的中点 ? OP 2( OA OB )；(2) G为ABC 的重心 ? GAGB GC 0. 演练冲关 AC b.若点 D 满足 BD 2DC，则AD()1(2015 ·聊城二模 )在 ABC 中，AB c，2152A. 3b3cB. 3c3

11、b学习好资料欢迎下载2112C.3b3cD. 3b3c解析：选A2如图，可知 ADABBDAB3( AC AB ) c2213(b c)3b3c.故选 A.2若典例2 条件变为：若AD 2DB ，CD1 CACB，则 3 _.解析： CDCA AD，CDCBBD，2CDCA CBAD BD.又AD 2 DB ，12CD CA CB 3AB CA CB13(CB CA)24 3CA3CB.1CD 3CA23 CB2，即 3.答案： 23考点三共线向量定理的应用| (题点多变型考点 全面发掘 ) 必备知识 共线向量定理向量 a(a 0)与 b 共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得 ba.提醒 限定

12、 a0 的目的是保证实数的存在性和唯一性 一题多变 典型母题 设两个非零向量 e1 和 e2 不共线如果AB e1 e2， BC 2e1 3e2， AF 3e1ke2 ，且A，C， F 三点共线，求 k 的值解 1 e2， BC 2e1 3e2，AB eAC AB BC 3e1 2e2.学习好资料欢迎下载A， C， F 三点共线，AC AF ，从而存在实数，使得 AC AF .3e1 2e2 3e1 ke2，又 e1， e2 是不共线的非零向量，3 3，因此 k 2.实数 k 的值为 2. 2 k， 题点发散1在本例条件下，试确定实数k，使 ke1 e2 与 e1 ke2 共线解： ke1 e

13、2 与 e1 ke2 共线，存在实数 ，使 ke1 e2 (e1 ke2)，即 ke1 e2 e1 ke2，k ，解得 k ±1.1 k，题点发散2在本例条件下，如果AB 1 e2， BC 3e1 2e2， CD 8e12e2，求e证： A， C， D 三点共线证明： AB e1 2，BC12，e3e2eAC AB BC 4e1 e2，又 CD 8e1 2e2，CD 2 AC ，AC 与 CD 共线又AC 与 CD 有公共点C，A， C， D 三点共线 类题通法 1 共线向量定理及其应用(1) 可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2) 若 a，b 不共线，则

14、 a b 0 的充要条件是 0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2 证明三点共线的方法若 AB AC ，则 A， B，C 三点共线一、选择题学习好资料欢迎下载1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 a 0(为实数 )，则 必为零 ， 为实数，若a b，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为()A 1B 2C 3D 4解析：选C错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a 0 时，不论为何值， a 0.错误，当 0 时， a b 0，此时

15、， a 与 b 可以是任意向量故选C.2已知向量a， b，c 中任意两个都不共线，但a b 与c 共线，且b c 与a 共线，则向量 ab c ()A aC c解析： 选D依题意，设B bD 0ab mc， b cna，则有 ( ab) (b c) mc na，即a c mc na.又a 与c 不共线，于是有m 1，n 1，a b c，a b c0，选D.且3(2015 ·建四地六校联考福2OP 2OA BA ，则 ()已知点O，A，B 不在同一条直线上，点 P 为该平面上一点，A 点B 点C点D 点解析：P在线段 AB上P 在线段 AB 的反向延长线上P 在线段 AB 的延长线上P

16、 不在直线AB 上选 B因为 2OP 2OA BA ，所以2 AP BA ，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B.4设D ，E，F 分别是ABC的三边BC，CA，AB 上的点，且DC2 BD， CE2EA，AF2 FB ，则 A 反向平行C互相垂直ADBECF 与BC(B 同向平行D既不平行也不垂直)学习好资料欢迎下载1解析：选A由题意得 ADABBDABBC，1BE BA AE BA3AC ，1CF CB BF CB3BA，1因此 ADBE CF CB3(BC AC AB)21 CB3BC3BC ，故 AD BECF 与BC反向平行5在平行四边形ABCD 中，点 E 是 AD 的中点

17、， BE 与 AC 相交于点F ，若 EF m AB n ADm的值为 ()(m， nR )，则 n1A2B 21C 2D. 2解析：选A设 AB a， AD b，则 EF manb， BE AE AB 1ba，由向量2EF BE ，即 ma nb1EF 与 BE 共线可知存在实数 ，使得2b a，又 a 与 b 不共线，m ，m则1，所以 n 2.n 26设 O 在 ABC 的内部， D 为 AB 的中点，且 OA OB 2 OC 0，则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比值为 ()A 3B 4C 5D 6解析：选BD 为 AB 的中点，1则 OD 2(OAOB )，又 OA OB 2OC

18、 0，OD OC ，O 为 CD 的中点，又D 为 AB 中点，学习好资料欢迎下载11SAOC 2SADC 4SABC，SABC则 4.SAOC二、填空题7设点 M 是线段 BC 的中点， 点 A 在直线 BC 外， BC 2 16，| AB AC | | AB AC |，则 | AM |_.解析： 由| AB AC | AB AC |可知， AB AC ，则 AM 为 RtABC 斜边 BC 上的中线，1因此， | AM | 2| BC | 2.答案： 28 (2015 ·门模拟江)已知 D 为三角形 ABC 边 BC 的中点，点 P 满足 PA BP CP 0，AP PD ，则实

19、数 的值为 _解析： 如图所示，由AP 且PABP CP 0，则 P 为以PDAB， AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点，因此AP 2 PD ，则 2.答案： 29已知 O 为四边形ABCD 所在平面内一点，且向量OA ， OB ， OC ， OD 满足等式 OA OC OB OD ，则四边形 ABCD 的形状为 _解析： OA OC OB OD ，OA OB OD OC ，BA CD ，BA 綊 CD ，四边形 ABCD 为平行四边形答案： 平行四边形10已知 D， E， F 分别为 ABC 的边 BC，CA，AB 的中点，且BC a， CA b，给出1下列命题：AD 2ab； BE 11

20、1a2b； CF 2a 2b； AD BE CF 0.其中正确命题的个数为_解析： BC a， CA b， AD 112CB AC 2a b，故错；11BE BC 2 CA a 2b，学习好资料欢迎下载故正确；1111CF 2( CB CA ) 2( a b) 2a 2b，故正确；1111AD BE CF b2a a 2b 2b 2a0.正确命题为 .答案： 3三、解答题11已知 a， b 不共线， OA a， OB b， OC c， OD d， OE e，设 t R ，如果 3a c,2b d， e t(a b)，是否存在实数 t 使 C， D， E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t

21、的值，若不存在，请说明理由解： 由题设知， CD d c 2b 3a， CE e c (t 3)a tb，C， D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得 CE k CD ，即 (t 3)a tb 3ka 2kb，整理得 (t 3 3k)a (2k t)b.t 3 3k 0，因为 a， b 不共线，所以有t 2k 0，6解之得 t 5.6故存在实数t 5使 C， D ，E 三点在一条直线上12.如图所示， 在 ABC 中，D，F 分别是 BC，AC 的中点， AE 23 AD ， AB a， AC b.(1) 用 a，b 表示向量 AD ， AE ， AF ， BE ， BF ；(2

22、) 求证： B， E， F 三点共线1解： (1)延长 AD 到 G，使 AD AG ，连接 BG， CG，得到平行四边形ABGC，所以 AG a b，11AD 2 AG 2(a b)，学习好资料欢迎下载21AE 3 AD 3(a b)，11AF 2 AC 2b，11BE AE AB3(a b) a3(b 2a)，11BF AF AB2b a2(b 2a)2(2) 证明：由 (1) 可知 BE 3 BF ，又因为 BE ， BF 有公共点B，所以 B，E， F 三点共线第二节平面向量的基本定理及坐标表示基础盘查一平面向量基本定理( 一)循纲忆知了解平面向量的基本定理及其意义( 二)小题查验1判

23、断正误(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在 ABC 中，向量 AB ， BC 的夹角为 ABC()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)设 a， b 是平面内的一组基底，若实数， ， ， 满足 11221a 1b2a 2b，则 1 ， )212(答案： (1)×(2) × (3)×(4) 2(人教 A 版教材复习题改编)设 M 是 ?ABCD 的对角线的交点， O 为任意一点， 则 OA OB OC OD _ OM.答案： 4基础盘查二平面向量的坐标运算( 一)循纲忆知学习好资料欢迎下载1 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2会用

24、坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算( 二)小题查验1判断正误(1) 两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同()(2) 当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()(3) 已知点A(2,1)， B( 1,3)，则AB ( 3,2)()答案：(1)×(2) (3)2 (人教A 版教材例题改编) 已知a (2,1)， b (3,4)，则3a4b _.答案：( 6,19) 基础盘查三平面向量共线的坐标表示( 一)循纲忆知理解用坐标表示的平面向量共线的条件( 二)小题查验1判断正误(1) 若a(x1，y1)， b( x2， y2)，则a b 的充要条件可表示成x1 y

25、1(x2y2)(2) 已知向量a (4，x)，b ( 4,4)，若a b，则x 的值为4()答案：(1)×(2) 2O 是坐标原点，OA (k,12)， OB (4,5) ， OC (10，k)，当 k_ 时， A，B，C 三点共线？答案： 2 或 11考点一平面向量基本定理及其应用| (基础送分型考点 自主练透 ) 必备知识平面向量基本定理如果e1， e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数， ，使12ae e .1122其中，不共线的向量e1 ，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 题组练透 1如果 e1，e2 是平面 内一组不共

26、线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A e1 与 e1 e2B e1 2e2 与 e1 2e2学习好资料欢迎下载1 e2 与 e1 e21 3e2 与 6e2 2e1C eD e1 ，解析： 选 D 选项 A 中，设 e1 2 1，则无解；ee1 0，选项 B 中，设 e1 2e2 (e12e2 )，则 1，无解； 2 2， 1，选项 C 中，设 e1 e2 (e1 e2)，则无解；1 ，选项 D 中， e1 3e2 1 2 2e1 ，所以两向量是共线向量2(6e)12如图，在梯形 ABCD 中， AD BC，且 AD 3BC， E，F 分别为线段 AD 与

27、BC 的中点设 BA a， BC b，试用 a， b 为基底表示向量EF，DF，CD.解： EFEAABBF1b a1b1b a，623111DFDEEFb a ，6b36baCD CF FD 1122b6ba a3b. 类题通法 (1) 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2) 用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决考点二平面向量的坐标运算| (基础送分型考点 自主练透 ) 必备知识 (1) 若 a(x1，y1)， b( x2， y2)，则 a±b

28、 (x1±x2， y1±y2);(2) 若 A(x1，y1)， B( x2， y2)，则 AB (x2 x1， y2 y1)；(3) 若 a(x， y)，则 a (x，y)； |a|x2 y2 . 题组练透 131已知平面向量a (1,1)， b (1， 1) ，则向量 2a 2b ()学习好资料欢迎下载A (2， 1)B ( 2,1)C ( 1,0)D ( 1,2)解析：选D1113332a2，2，2b2，2，13故 2a 2b( 1,2)2 (2015 ·明一中摸底昆)已知点M(5， 6)和向量a (1， 2)，若 MN 3a，则点N的坐标为 ()A (2,0

29、)B ( 3,6)C (6,2)D ( 2,0)解析：选AMN 3a 3(1， 2) ( 3,6)，设 N(x， y)，则 MN (x 5，y 6) ( 3,6)，x 5 3，x 2，所以即选A.y 66，y 0，3已知 A( 2,4)，B(3， 1)，C( 3， 4)设 AB a， BC b， CA c，且 CM 3c，CN 2b，(1) 求 3a b 3c；(2) 求满足 a mb nc 的实数 m， n；(3) 求 M，N 的坐标及向量 MN 的坐标解： 由已知得a (5， 5)， b ( 6， 3)， c (1,8) (1)3 ab 3c 3(5， 5) ( 6， 3) 3(1,8)

30、(15 6 3， 15 3 24) (6， 42)(2) mb nc( 6m n， 3m 8n)， 6m n 5，m 1，解得 3m 8n 5，n 1.(3) 设 O 为坐标原点， CM OM OC 3c，OM 3c OC (3,24) ( 3， 4) (0,20) M(0,20) 又CN ON OC 2b，学习好资料欢迎下载ON 2b OC (12,6) ( 3， 4) (9,2)，N(9,2)，MN (9， 18) 类题通法 平面向量坐标运算的技巧(1) 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2) 解题过程中，常利用

31、向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组 )来进行求解考点三平面向量共线的坐标表示 | (题点多变型考点 全面发掘 ) 必备知识 设 a (x1， y1)，b (x2， y2)，其中 b0.则 a b? x1 y2 x2y1 0. 一题多变 典型母题 平面内给定三个向量a (3,2)， b ( 1,2)， c (4,1)(1) 求满足 a mb nc 的实数 m， n；(2) 若 (a kc) (2b a)，求实数 k. 解 (1) 由题意得 (3,2) m( 1,2) n(4,1) ，5 m 4n 3，m 9，所以得2m n 2，8n 9.(2) a kc (3 4k,2 k)， 2b

32、a ( 5,2)，由题意得2× (3 4k) ( 5)× (2 k) 0.16k 13. 题点发散1 在本例条件下，若d 满足 (dc) (a b)，且 |d c|5，求 d.解： 设 d(x，y) ，d c (x 4，y 1)， ab (2,4)，由题意得4 x 4 2 y 1 0，x 4 2 y1 2 5，x 3，x 5，得或y 1y 3.学习好资料欢迎下载d (3， 1)或 d (5,3) 题点发散 2在本例条件下，若m的值ma nb 与 a2b 共线，求 n解： ma nb (3m n,2m 2n)，a 2b (5， 2)，由题意得 2(3m n) 5(2m2n)

33、0.m 1n 2. 题点发散3若本例条件变为：已知A(3,2)， B( 1,2)， C(4,1)，判断 A， B， C 三点能否共线解： AB ( 4,0)， AC (1， 1)，4× ( 1) 0× 1 0，AB ， AC 不共线A， B， C 三点不共线 类题通法 1 向量共线的两种表示形式设 a (x1， y1) ， b( x2， y2)： ab? a b(b0) ； a b? x1y2 x2y1 0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的应用.2 两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线 (平行 )，可解决三点共线的问题；另外，利用两向量共

34、线的充要条件可以列出方程 (组 )，求出未知数的值一、选择题1.如图，在平行四边形ABCD中，E 为 DC边的中点，且AB a，AD b，则BE ()1A b2a1B b2a1C a2b1D a2b解析：选ABEBA AD DE11 a b 2a b2a.2已知平行四边形ABCD中，AD (3,7)，AB (2,3)，对角线AC与BD交于点O，则 CO 的坐标为()1A. 2，51B. 2，5学习好资料欢迎下载1， 5D. 1， 5C. 22解析：选DAC AB AD ( 2,3)(3,7) (1,10)11OC 2 AC 2，5 .1CO 2， 5 .故选 D.3在平面直角坐标系xOy 中，

35、四边形 ABCD 的边 AB DC，AD BC.已知 A( 2,0)，B(6,8)，C(8,6)，则 D 点的坐标为 ()A (0， 2)B ( 4,2)C (16,14)D (0,2)解析： 选 A设 D(x， y)，由题意知BD BA BC ，即 (x6， y 8) ( 8， 8) (2， 2) ( 6， 10)，x 6 6，x 0，故选A.y 8 10，y 2.4设向量a (1， 3)， b ( 2,4)， c ( 1， 2)，若表示向量4a,4b 2c,2(ac)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d ()A (2,6)B ( 2,6)C (2， 6)D ( 2， 6)解析： 选

36、 D设 d (x， y)，由题意知4a (4， 12)， 4b2c ( 6,20)， 2(ac) (4， 2)，又 4a 4b 2c 2(a c) d 0，所以 (4， 12) ( 6,20) (4， 2) ( x， y) (0,0)，解得 x 2， y 6，所以 d ( 2， 6)5已知向量OA (1 ， 3)， OB (2， 1) ， OC (k 1， k 2)，若 A，B， C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是()1A k 2B k2C k 1D k 1解析： 选 C若点 A， B， C 不能构成三角形，则向量 AB ， AC 共线，AB OB OA (2， 1) (1， 3) (1,2) ，AC OC OA (k 1， k 2) (1， 3) (k， k 1)，学习好资料欢迎下载1× (k 1) 2k0，解得 k 1.