高中平面向量常考题型

1、平面向量常考题型一、线性运算1、如图，在DABC中，点M为BC的中点，点N在边AC上，且AN =2 NC，AM与BN相交于点P，则AP : PM =.【答案：4】r r uuur r uuur r2、已知向量 a , b 不共线， OA =aa ， OB =bb（实数a ¹0,b¹0）.若点C在直线ABuuur r r 上，且OC =xa +yb（x, y都是实数），则xa+yb=.【答案：1】3、在DABC所在的平面内有一点P满足uuur uuur uuur uuur PA +PB +PC =BC，则DPBC与DABC的面积之比为.【答案：13】4 、点O时DABC内的一

2、点，满足uuur uuur uuur r OA +lOB +( l-1)OC =0，若DOAB的面积与DOAC1的面积的比为 ，则 3l的值为（ ）A.3 1B 2 C .2 3D.12【答案：A】二、数量积uuur uuur1 、（2012 浙江卷 15 ）在 DABC 中， M 是 BC 的中点， AM 3 ， BC 10 ，则 AB ×AC _ 【答案】16uuur uuur uuur uuur2、.已知平行四边形 ABCD 中， AB =8 ， AD =5 ， CP =3 PD ，若 AP ×BP =2，则uuur uuurAB ×AD= .【答案 22】

3、3、函数y =tanæçèp pöx - ÷4 2 ø(0<x<4)的图像如图所示， A 为图像与 x 轴的交点，过点 A 的直线l与函数的图像交于 B , C 两点，则 (OB +OC ) ×OA =（ ）A-8B-4C4 D8 【答案 D 】1 / 84、四边形ABCD中，AB BC，AD DC.若uuur| AB |=a，uuur| AD |=b，则uuur uuurAC ×BD =.【答案：b2 -a 2】5、（2012 宁波十校联考.理科 17）在 DABC 中， AC =2 , BC =6

4、.已知点 O 是 DABC 内一点，且满足OA +3OB +4OC =0，则OC ×(BA +2 BC ) =.【答案 40】6 、在矩形 ABCD 中， AB =2, BC =2 ，点 E 为 BC 的中点，点 F 在边 CD 上，若uuur uuur uuur uuuvAB ×AF = 2 ，则 AE ×BF 的值为.【答案2】7 、 如 图 ： 在DABC中 ，AD AB，uuur uuurBC = 3 BD，uuur uuur uuur| AD |=1 ，则 AD ×AC =.【答案： 3 】8、2012 天津理（7）已知ABC 为等边三角形，

5、AB =2 ，设点 P，Q 满足uuur uuurAP = lAB，uuur uuur uuur uuur AQ =(1 -l) AC ， l ÎR ，若 BQ ×CP= -32，则l=（A）12（）1 ± 21（）1 ± 101（）-3±2 2 2【答案】 A .uuur uuuur9 、点 O 是 DABC 的外接圆的圆心， M 是 BC 的中点， AC =3 ，若 AO ×AM =4，则AB= .【答案7】10 、（ 2014 宁 波 十 校 联 考 ） . 已 知a, b, c均 为 单 位 向 量 ， 且 满 足a 

6、5;b=0， 则(a +b +c ) ×(a +c )的最大值是A.2 +2 2B.3 + 2C.2 + 5D.1 +2 3【答案】C.11、边长为 2 的正方形ABCD内有一动点P，满足DPAB , DPBC的面积都不超过1，则PB ×PC的取值范围为.【答案】.( -1,1)12、已知平面向量a, b, e满足，| e |=1，a ×e=1，b ×e=2，| a -b |=2，则a×b的最小值为.【答案：54】2 / 8DAB15、ç13、（2010 全国卷 11）已知圆O的半径为 1，PA, PB为该圆的两条切线，A, B为两切

7、点，那么PA ×PB的最小值为(A)-4 + 2(B)-3 + 2(C)-4 +2 2(D)-3 +2 2【答案 】14、已知DABC的边BC的垂直平分线交BC于Q，交AC于P，若| AB |=1，uuur uuur| AC |=2 ，则 AP ×BC 的值是（ ）A. 3 B.32C .3D.32【答案】B（2013 年浙江高考）设 DABC ，P 是边 上一定点，满足0uuur uuur uuur uuur边上任意一点 P ，恒有 PB ×PC ³P B ×PC ，则（ ）0 0P B =014AB,且对于 ABA. ÐABC =

8、90°B. ÐBAC =90°C . AB =ACD. AC =BC【答案】Dr16、已知向量 a ， b ， c 满足 a ×b=0 ，（c -a ) ×(c-b) =0 ， | a -b |=5 ， | a -c |=3，则 a ×c的最大值是.【解析】如图所示，设OA =a，OB =b，OC =c，则BA =a -b，由（c -a ) ×(c-b) =0 得，点 C 在以 AB 为直径的圆上运动， AC =3, BA =5 ， BC =4 .4a ×c=|OA | ×|OC | cos Ð

9、AOC = | OA | ×|OC |5，设ÐACO =q| OA | | OC | | AC |，在 DAOC 中，由正弦定理， = = =5sin q sin(p-q-ÐAOC ) sin ÐAOC，所以| OA |=5sinq， | OC |=5sin(q+ÐAOC )，r ra ×c=20sinq×sin(q+ÐAOC ) =20sinæ4 3 q sin q+ cosè5 5qö÷ø=8 +10sin(2q+j)£18r r所以 a ×

10、c的最大值是 18.3 / 817 、7p5pr r r已 知 平 面 向 量 a , b, c 满 足 ： r r r r r rác-a, c -bñ= ，则 a ×c的最大值为12r r r r| a -b |=2 ， áa,bñ=12.【答案： 2 3 】，r r | c -a |=6 - 2，三、模长公式uuur uuur uuur uuur1、设点 M 是线段 BC 的中点， BC =4 ，若 | AB +AC |=| AB -AC |uuuur，则 AM =( )A . 8 B . 4 C . 2 D . 1【答案：C】2、已知在

11、平面坐标系中，A( -2，0)， B（1,3），O为原点，且uuuur uuur uuur OM =tOA +(1-t )OB（t为实数），若N (1,0)，则uuuur| MN |的最小值是.【答案：3 22】3、（2012 江西）直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 是线段 CD 的中点，则| PA |2 +| PB | PC | 22=( )A . 2 B . 4 C . 5 D . 10【答案：D】4、（2012 宁波十校联考.9）已知非零向量a , b, c ，满足 | a -b |=1 ，（a -c ) ×(b -c ) =0，设| c |的最大值

12、最小值分别为m, n，则m -n的值为（ ）A.1B.2C.1 1D.2 4【答案 A 】5、已知向量| a |=2 ，| b |=a ×b=1，（a-2c ) ×(b -c ) =0，则| a -c |的最小值是（ ）A.132;B.13 - 32C .7 -1 7D .2 2【答案C】6、已知向量a =(1,0)，b =(0,1)，向量c满足( a +c ) ×(c -b ) =0，则| c |的最大值是（ ）A.2B.12C .2D .22【答案： C 】7、设向量r r r r r r ura, b, c 满足 | a |=|b |=1 , a×

13、b=-12，r r r r a -c, b -cr=60°，则 | c | 的最大值等于.【答案：2】4 / 8r r1| AB | | AC |r r8 、 (2015 年浙江省六校联考 . 理科 6 ）已知向量 a , b 是单位向量，若 r r r r| c - a | + | c - 2 b |= 5 ，则 | c +2a | 的取值范围是( )r ra?b 0，且6 5 6 5A1,3 B 2 2 ,3 C , 2 2 D ,3 【答案： D 】5 5r r r r r r r r r9、已知 a , b 是单位向量，a ×b=0 ，若向量 c 满足 | c -a

14、 -b |=1 ，则| c | 的取值范围是（ ）A. 2 -1, 2 +1B. 2 -1, 2 +2C. 1, 2 +1D. 1, 2 +2v v v v v10、设向量 a =(2,0) ， b =( x , y ) ，若 b 与 b -a 的夹角是p6v，则 | b | 的最大值是（ ）A.2B . 2 3C. 4D . 4 3【答案】Cv v v r r r r r11、已知单位向量 a ， b ， c ， x ，且 a +b +c =0 ，记r r r r r r y =|x -a | +| x -b | +| x -c |，则y的最大值是.【答案 4】12、在VABC中，BC =2

15、，且对于任意实数t，都有uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv|t AB +(1-t ) AC |³|t AB +(1-t ) AC |=3 (t ÎR ) ，则 AB ×AC 的最小值是 ，0 0 0t0为.【答案】 8，12.13、在DABC中，ÐA =120o，BC =2 13，AC =2，AB =，当uuur uuur | CB +lCA |5取到最小值时，则 l = .【答案：6， - 】2r r p uur14、已知向量 a, b 的夹角为 ，| b | =2 ，若对于任意的 x ÎR3r r r r成立，则 |

16、 tb -a | +| tb - a | （ t ÎR ）的最小值为（ ）2，都有r r r r | b +xa |³|a -b |恒A.132B.32C . 1 +3 7D.2 2【答案】D四、向量与三角形的“四心”（一）有关结论：O是平面上一定点，A, B, C是平面上不共线的三点，P为动点，1、OP =OA +læ AB AC öç + ÷ç ÷è ø，lÎ（0，+¥），则P点得轨迹一定通过 DABC 的内心；uuur uuur uuur uuur uuur uuur

17、r | AB | PC +| BC | PA +|CA | PB =0，P为DABC的内心；5 / 8( )11122、OP =OA +l( )AB +AC lÎ（0，+¥）过重心；AP +BP +CP =0 ， P 是重心；uuur uuur OP =OA +luuur uuurAB AC ( uuur + uuur| AB | sin B | AC | sin C) 过重心；uuur uuur uuur uuur PG = PA +PB +PC ，3G为重心；uuur uuur uuur uuur uuur uuur 3、HA ×HB =HB ×HC

18、 =HC ×HAuuur uuur，则 H 是垂心，OP =OA +luuur uuurAB AC ( uuur + uuur| AB | cos B | AC | cos C)lÎ（0，+¥），则P点得轨迹一定通过DABC的垂心；4、 M 是 DABC 的外心， H 是垂心，则uuuur uuur uuur uuuur MH =MA +MB +MC，uuuur uuur uuuuruuuurAM ×AB = | AB |2 ， AM ×AC = | AC |2.2 2（二）考题精选uuur uuur uuur r1、若点 O 是 ABC 的外

19、心，且 OA +OB +CO =0 ，则 ABC 的内角 C 为_（答：120o）O 是 ABC 的外心，且OA +OB +OC =0，则角C为 （答：60°）；2、.已知 DABC 中， AB =5 ， AC =3 ， O , H 分别是 DABC 的外心和垂心，则 OH ×BC = 【答案】 83、在直角坐标系 xoy 中，点 A(0,1) ，B ( -3,4) ，若点 C 在 ÐAOB 的平分线上，且uuur| OC |=2，则uuurOC =.4、已知点 O 是 ABC 所在平面上的一点，若uuur uuur uuur raOA +bOB +cOC =0

20、，则点 O 是 ABC的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心5、若点 O 是 ABC 所在平面上一点，满足 uuur uuur uuuur uuur uuur uuur|OA |2 +| BC |2 =|OB | +| CA |2 =|OC |2 +| AB |2，则若点 O 是 ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心6、已知 ABC 的三个内角A, B, C的对边分别是a, b, c，G是其重心，且满足uuur uuur uuur r aGA +bGB +cGC =0，则 ABC 为（ ）A.等腰三角形B.等腰直角三角形C .等腰三角形D.等边三角形6 / 81

21、17、若 ABC 存在一点P，使得PA2 +PB 2 +PC 2取得最小值，则点P应为 ABC 的（ ）A .内心B .外心C .垂心D .重心8、在DABC中，BC =5，G , M分别是DABC的重心和外心，且uuuur uuur MG ×BC =5，则DABC的形状是 （ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C .直角三角形D.以上三种情况都可能9、在DABC中，AB =1 ， BC =6，CA =2，DABC外接圆的圆心为O，若uuur uuur uuurAO =lAB +mAC ，则 l=，m=.【答案：4 3， 】5 510 、 点 O 是 DABC 的 外 接 圆 的 圆 心

22、 ，AB =2 a ， AC =2 2p， ÐBAC = ， 若 a 3uuur uuur uuurAO =x AB +y AC ，则 3 x +6 y的最小值是.【 6+2 2 】11* 、设点 P 是 DABC 所在平面内的动点，满足uuur uuur uuurCP =lCA +mCB ， 3l+4m=2，l,mÎR，uuur uuuur uuur | PA |=|PB | =|PC |，若| AB |=3，则DABC面积的最大值是四、综合问题1、（2011年高考浙江卷文科15)若平面向量a，b满足uur a =1,|b|£1，且以向量a，b为邻边的平行四边形的面积为12，则a，b的夹角q取值范围是_。 【答案】p 5p , 6 62、已知 ABC ，若对于任意t ÎR，uuur uuuur uuur | BA -tBC | ³| AC |，则 ABC 一定是（ ）A.锐角三角形B.钝角三角形C .直角三角形D.答案不确定3、(2011 年高考天津卷文科 14)已知直角梯形 ABCD 中 AD / / BC ， &#