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文档简介
1、导数极值点偏移大题优练13优选例题例1已知函数(1)若,求的单调区间;(2)若在上有两个极值点, (i)求实数a的取值范围;(ii)求证:【答案】(1)递减区间,递增区间为;(2)(i),(ii)证明见解析【解析】(1),令,因为,所以当时,单调递减;所以当时,单调递增,所以,所以当时,;当时,的单调递减区间为,单调递增区间为(2)(i),要使在上有两个极值点,则在上有两个不同的零点,时,由(1)知,令,故,所以在上为增函数,所以,故,故在上无零点,舍去;当时,则在上单调递减 ,故最多只有一个零点,不合题意,舍去;当时,由(1)知所以在上单调递减,在上单调递增,所以,即要使,解得,综上所述,a
2、的取值范围为(ii)由(i)知,即,故,所以,要证,只要证,就要证,由上可知在上单调递增,所以只要证,而,所以只要证,(*)令,即,所以,故在上单调递增,所以当时,即,即(*)式成立,所以得证例2已知函数,(1)讨论函数的单调性;(2)令,若存在,且时,证明:【答案】(1)答案见解析;(2)证明见解析【解析】(1)的定义域为,当时,当时,由,得;由,得,当时,在上单调递增;当时,在上单调递减,在单调递增(2),由题意知,令,则,在上单调递增,不妨设,令,只需证,只需证,设,则,在递增,即成立,即模拟优练1已知函数,(1)当时,求的最大值;(2)当时,(i)判断函数的零点个数;(ii)求证:有两
3、个极值点,且【答案】(1);(2)两个;证明见解析【解析】定义域为,当时,令,得;令,得,故在上单调递增,在上单调递减(1)当时,在上单调递增,在上单调递减,所以(2)(i)在上单调递增,在上单调递减,至多有两个零点,在上有一个零点;由(1)可证,从而,又,在上有一个零点,综上,函数有两个零点(ii)的定义域为,由(i)知有两个零点,设为,且,且,又在上单调递增,在上单调递减当或时,;当时,在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,故为的两个极值点,同理,欲证,即证,令,即证,即证记,在上单调递增,故,命题得证2已知函数(1)若存在极值点1,求的值;(2)若存在两个不同的零点,求证:【答案】(
4、1);(2)证明见解析【解析】(1),因为存在极值点为1,所以,即,经检验符合题意,所以(2),当时,恒成立,所以在上为增函数,不符合题意;当时,由,得当时,所以为增函数;当时,所为减函数,所以当时,取得极小值,又因为存在两个不同零点,所以,即,整理得,作关于直线的对称曲线,令,所以在上单调递增,不妨设,则,即,又因为,且在上为减函数,故,即,又,易知成立,故3设函数,其中a为实数(1)求的单调区间;(2)若有两个零点,证明:【答案】(1)的单调递增区间为,单调递减区间为;(2)证明见解析【解析】(1)由题设可知,的定义域为,令,解得当时,单调递增;当时,单调递减,所以的单调递增区间为,的单调
5、递减区间为(2)函数有两个零点等价于方程有两个不等实根,也等价于函数与的图象有两个交点由(1)可知,在递增,在递减且当时,;当时,故,所以欲证,只需证,因为,故只需证,又,故只需证明,即证,即,两边取对数可得,即只需证明设,其中,则,所以在递减,又,所以,所以4已知函数(1)若函数在处的切线与直线平行,求实数n的值;(2)若时,函数恰有两个零点,证明:【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)因为,所以(2)当时,由题意知,得,即,令,则,且,又因为,由知,所以,要证,只需证,即证,即,令,则,所以在上单调递增且,所以当时,即5已知(1)求的单调区间;(2)设,为函数的两个零点,求证:【答
6、案】(1)见解析;(2)证明见解析【解析】(1),当时,即的单调递增区间为,无减区间;当时,由,得,时,;时,时,易知的单调递增区间为,单调递减区间为(2)由(1)知的单调递增区间为,单调递减区间为不妨设,由条件知,即,构造函数,与图象两交点的横坐标为,由,可得,而,知在区间上单调递减,在区间上单调递增可知,欲证,只需证,即证,考虑到在上递增,只需证,由知,只需证,令,则,即单增,又,结合,知,即成立,即成立6已知函数,(1)若恒成立,求的取值范围;(2)已知,是函数的两个零点,且,求证:【答案】(1);(2)证明见解析【解析】(1)令,有,当时,;当时,所以在上单调递减,在上单调递增,在处取得最大值,为,若恒成立,则,即(2)方法一:,即,欲证:,只需证明,只需证明,只需证明设,则只需证明,即证
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