八年级竞赛数学培优第数形结合含解析

1、数形结合【思维入门】1. 对坐标平面内不同两点 A(xi, yi), B(X2, y2),用|AB|表示A, B两点间的距离(即线段AB的长度)，用|AB|表示A, B两点间的格距，定义 A, B两点间的格距为|AB|= |xiX2|+ |yi-y2|,那么|AB|与|AB|的大小关系为B. AB|>|AB|C. |AB|< |AB|D. |AB|V |AB|2. 假设等腰三角形的周长是80 cm,贝U能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm) 的函数关系式的图象是图 10-30 - 1A.34.如图10-30-2,将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B 重合，点C落在C

2、处，折痕为EF，假设AB= 1, BC = 2,B. 3C. 1D*4那么厶ABE和厶BC'F的周长之和为 ()C/?CC. 63.如图10-30- 1,将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC 上,折痕为CE, 且D点落在D '处，假设AB = 3, AD = 4,那么ED的长为 ()5甲，乙两辆汽车分别从 A, B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2 h后休息，与甲车相遇后，继续行驶设甲，乙两车与B地的路程分别为y甲(km)，y乙(km)，甲车行驶的时间为x(h)，y 甲, y乙与x之间的函数图象如图10-30-3所示，结 合图象解答以下问题：(1) 乙车

3、休息了h;(2) 求乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围；(3) 当两车相距40 km时，直接写出x的值.图 10-30 - 3【思维拓展】6.如图10-30-4,矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB/ x轴，AD / y轴，且对角线 的交点与原点0重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，假设矩形 ABCD k的周长始终保持不变，那么经过动点 A的反比例函数y=-化工0)中k的值的变化情况是XA .一直增大()B. 一直减小C.先增大后减小D .先减小后增大a + 47.关于x的反比例函数y=的图象如图10 30 5所示,XA，P为该图象上的点，且关于原点成

4、中心对称.RAB 中, PB/ y轴，AB/ x轴，PB 与2AB相交于点B假设 PAB的面积大于12,那么关于x的方程(a- 1)x1 x+4 = 0的根的情况是.1 18. P1(X1, y1), P2(x2, y2)是同一个反比例函数图象上的两点，假设x2 = X1 + 2,且玄=話1+刃那么这个反比例函数的表达式为9. 如图10-30- 6，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点, 且 DF = BE.求证：CE = CF ;(2)如图10- 30-6，在正方形 ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果 / GCE = 45°,请你利用 的结论证明：

5、GE= BE+ GD;运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 10-30-6，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC(BC>AD)，/ B = 90°, AB= BC，E是AB上一点，且/ DCE = 45°，BE = 4，DE= 10,求直角梯形 ABCD的面积. 图 10-30 - 610. 在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室.现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1, a(a> 1)的纸片，先减去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边 形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，以此类推，请画出剪3次后余下的四边形是菱形的裁剪

6、线的各种示意图，并求出a的值.【思维升华】11. 如图10-30- 7, 次函数y= 2x+ 6的图象与x轴，y轴分别相交于点A, B,点P在线段AB 上, OP(O是坐标原点)将厶OAB分成面积为1 : 2的两局部，那么过点P的反比例函数解析式为12. 如图 10-30- 8,在 RtAABC 中，/ B = 90°, AC = 60, AB= 30.D 是 AC 上的动点,过 D 作 DF 丄 BC 于 F，过 F 作 FE/ AC,交 AB 于 E.设 CD = x, DF = y.求y与x的函数关系式；(2)当四边形AEFD为菱形时，求x的值;当厶DEF是直角三角形时，求x的

7、值.EB数形结合【思维入门】1. 对坐标平面内不同两点A(xi,yi),B(X2,y2),用|AB|表示A,B两点间的距离(即线段AB的长度)，用|AB|表示A，B两点间的格距，定义 A，B两点间的格距为|AB|= |xiX2|+ |yi y2|，那么|AB|与|AB|的大小关系为(C )A. AB|> |AB|B. AB|>|AB|C. |AB|< |AB|D. |AB|V |AB|【解析】|AB|, |xi X2|, |yi y2|的长度是以|AB|为斜边的直角三角形，所以|AB|W|AB|.2假设等腰三角形的周长是80 cm,贝U能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底

8、边长x(cm)的函数关系式的图象是C【解析】 根据题意，x+ 2y= 80,i所以，y= 2x+40,根据三角形的三边关系，x>yy = 0,x<y+y= 2y,所以x+ x<80，解得x<40, 所以，y与x的函数关系式为iy = 2x+40(0<x<40).只有D选项符合.3. 如图i0 30i,将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC 上,折痕为CE, 且D点落在D '处，假设AB = 3, AD = 4,那么ED的长为 (A )A.3B. 3D图 10-30 - 1C. 1【解析】 AB= 3, AD = 4,二 AC= 3?+ 42

9、= 5, DC = 3,根据折叠可得 DECA D'EC, D ' C= DC = 3, DE= D E.设 ED = x,贝U D'E = x, AD '= AC-CD 丄2,AE= 4- x,在 Rt AED '中,(AD ' 2+(ED ' )2 = AE2, 22 + x2= (4-x)2,3 解得x= |.4.如图10- 30 - 2,将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C处，折痕为EF,假设AB= 1, BC = 2,那么厶ABE和厶BC F的周长之和为 C 图 10- 30-2A. 3C. 6【解析】 将矩形纸

10、片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C处，折痕为EF,由折叠特性可得，CD = BC丄AB, ED = EB,/ FC ' B=Z EAB = 90° .vZ ABE+ Z EBF =/ C BF+ Z EBF = 90° ./ ABE=Z C BF,Z FC ' B=Z EAB,BC' =AB,Z ABE=Z C BF. BAEA BC F(ASA), ABE 的周长=AB + AE+ EB=AB + AE+ ED=AB + AD = 1+ 2 = 3. ABE和厶BC'F的周长之和=2、ABE的周长=2X 3= 6.5甲，乙两辆汽车

11、分别从 A, B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，乙车出发2 h后休息，与甲车相遇后，继续行驶设甲，乙两车与B地的路程分别为y甲(km)，y乙(km)，甲车行驶的时间为x(h)，y 甲, y乙与x之间的函数图象如图10-30-3所示，结 合图象解答以下问题：(1) 乙车休息了 _0.5_ h;(2) 求乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式，并写出自变量 x的取值范围;(3) 当两车相距40 km时，直接写出x的值.解：设甲车行驶的函数解析式为y甲=k1x+ b1(k1是不为0的常数)，y 甲=bx+ b1 图象过点(0，400), (5, 0)，得 5 = 400, 0册 + b1 = 0，

12、解得k =-80b = 400，甲车行驶的函数解析式为y甲=80x+ 400，当 y= 200 时，x = 2.5，2. 5 2= 0.5(h)，故乙车休息了 0.5 h.(2)设乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式为y乙=k2x+ b2，y 乙=k2x+ b2 图象过点(2.5, 200)，(5，400)，2.5k2+ b2 = 200,k2 = 80,得'解得L.5k2 + b2 = 400,I b2= 0,乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析式为y乙=80x(2.5<x< 5);(3)设乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式为y乙=k3x, 图象过点(2, 200),解得

13、 k3 = 100,乙车与甲车相遇前y乙与x的函数解析式为y乙=100x,0< x< 2.5时，y甲减y乙等于40 km,即 400 80x 100x= 40,解得 x = 2;2. 5< x< 5时，y乙减y甲等于40 km,11即 80x ( 80x+ 400) = 40,解得11综上所述x= 2或x=4时，两车相距40 km.【思维拓展】6.如图10 30 4,矩形ABCD的顶点A在第一象限，AB/ x轴，AD / y轴，且对角线 的交点与原点O重合.在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，假设矩形 ABCD k的周长始终保持不变，那么经过动点 A的反比例函数y

14、=-(kM0)中k的值的变化情况是x(C )A .一直增大B. 一直减小C.先增大后减小D .先减小后增大【解析】 设矩形ABCD中，AB = 2a, AD= 2b.矩形ABCD的周长始终保持不变， 2(2a+ 2b) = 4(a+ b)为定值，二a+ b为定值.矩形对角线的交点与原点 O重合.二 k=AB AD = ab.又v a+ b为定值时，当a= b时，ab最大，在边AB从小于AD到大于AD的变化过程中，k的值先增大后减小.7.关于x的反比例函数y=a+ 4x的图象如图10 30 5所示，A, P为该图象上的点，且关于原点成中心对称. PAB中，PB / y轴，AB/ x轴，PB与AB

15、相交于点B假设 FAB 的面积大于12,贝U关于x的方程(a 1)x2x+1 0的根的情况是 没有实数根 .a+ 4【解析】反比例函数y 壬的图象位于第一、三象限,入-a+4>0,a> 4, A, P关于原点成中心对称，PB/ y轴， PAB的面积大于.2xy>12,即 a + 4>6, a>2,. a>2.2 1. ( 1) 4(a 1)x 4 2 a<0,2 1.关于x的方程(a 1)x2 x+ 4 0没有实数根.叫jy图 10 30 512,8.Pi(xi, yi), P2(x2, y2)是同一个反比例函数图象上的两点,1 1假设 X2二X1 +

16、 2,且帀14+ £贝U这个反比例函数的表达式为y= 4 .【解析】设这个反比例函数的表达式为y=XX:P1(x1, y1), P2(x2, y2)是同一个反比例函数图象上的两点, .X1 y1 = X2 y2= k,1X11X2y1k，y2一-k，11 ,1y2y12,X2X11'+kk +2,.1 1k(x2X1)= 2 X2=X1 + 2,11._x 2 = 一k2,.k= 4.这个反比例函数的表达式为 y=入9. (1)如图10-30- 6，在正方形ABCD中，E是AB上一点, 且 DF = BE.求证：CE = CF ;F是AD延长线上一点,(2)如图10 30 6

17、，在正方形 ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果 / GCE 45°,请你利用(1)的结论证明：GE BE+ GD;运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图 10-30-6，在直角梯形 ABCD 中，AD / BC(BC>AD), / B = 90°, AB= BC,求直角梯形ABCD的面积.图 10-30 - 6解：证明：四边形ABCD是正方形, BC = CD，/ B=/ CDF = 90°, BE= DF , CBEA CDF (SAS).CE = CF.证明：如答图，延长AD至F,BC第9题答图第9题答图使DF = BE,

18、连结CF.由(1)知CBEA CDF , / BCE=Z DCF./ BCE+ / ECD =Z DCF + / ECD,即/ECF =/BCD = 90°,又/ GCE= 45°,/ GCF =/ GCE= 45°. GE = GF, GE = GF = DF + GD = BE+ GD.如答图，过C作CG丄AD，交AD延长线于G.在直角梯形ABCD中， AD / BC,i/ A= / B = 90° °又/ CGA= 90°, AB= BC,四边形ABCG为正方形.二 AG= BC.v/ DCE = 45°,根据(1)(

19、2)可知，ED= BE+ DG.二 10= 4+ DG，即 DG = 6.设 AB = x，那么 AE = x-4，AD = x 6.在 Rt AED 中，2 2 2v DE=2>(6+ 12) X2=108.即直角梯形ABCD的面积为108.10在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1, a(a> 1)的纸片，先减去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边 形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，以此类推，请画出剪3次后余下 的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值.解：如答图，此时a= 4.1 5如答图，此时a= 2 +乞2

20、.=ad2 + AE2，即 102= (x 6)2 + (x 4)2.解这个方程，得x= 12或x= 2(舍去). AB= 12.c1-S 梯形 ABCD =1 4如答图，此时a= 1+ § = 3.2 5如答图，此时a= 1 + 2 = 3.第】WS暮图第10题眷图第10题蓉图【思维升华】11.如图10-30- 7, 次函数y= 2x+ 6的图象与x轴，y轴分别相交于点A, B,点P在线段AB 上, OPO是坐标原点将厶OAB分成面积为1 : 2的两局部，那么过点P图 10-30 - 7【解析】 如答图，过点P作PC丄OA，垂足为C点,由 y= 2x+ 6 得 A(3, 0), B

21、(0, 6),1二 Saaob=qX 3x 6= 9,v OP将厶OAB分成面积为1 : 2的两局部， Saaop= 3 或 6,1当 Saaop= 3 时，2X PCX OA= 3,解得 PC= 2, 即 P(2, 2);1当 Saaop= 6 时，QX PCX OA= 6,解得 PC= 4,即 P(1, 4);反比例函数系数k= 2X2= 1 X4 = 4,4过点P的反比例函数解析式为y= 4.入12.如图 10-30- 8,在 RtAABC 中，/ B = 90°, AC = 60, AB= 30.D 是 AC 上的动点, 过 D 作 DF 丄 BC 于 F，过 F 作 FE/ AC,交 AB 于 E.设 CD = x, DF = y.求y与x的函数关系式；(2)当四边形AEFD为菱形时，求x的值；1解：在 Rt ABC 中，/ B = 90°, AC= 60, AB = 30,二 AB = qAC,：/ C= 30 在厶DFC 中，DF 丄BC,贝U/DFC = 90°,1 1T/ C = 30, - DF = 2CD，即 y=qx(