电动力学复习总结第三章_稳恒磁场

1、第三章 稳恒磁场一、 填空题1、 已知半径为圆柱形空间的磁矢势(柱坐标),该区域的磁感应强度为（ ）.2、 稳恒磁场的能量可用矢势表示为（ ）. 3、 分析稳恒磁场时,能够中引如磁标势的条件是（ ）.在经典物理中矢势的环流表示（ ）.4、 无界空间充满均匀介质,该区域分布有电流,密度为,空间矢势的解析表达式（ ）5、 磁偶极子的矢势等于（ ）；标势等于（ ）.6、 磁偶极子在外磁场中受的力为（ ）,受的力矩（ ）.7、 电流体系的磁矩等于（ ）.8、 无界空间充满磁导率为均匀介质,该区域分布有电流,密度为,空间矢势的解析表达式（ ）. 二、 选择题1、 线性介质中磁场的能量密度为A. B. C

2、. D. 2、 稳恒磁场的泊松方程成立的条件是A介质分区均匀 B.任意介质 C.各向同性线性介质 D.介质分区均匀且3、 引入磁场的矢势的依据是A.; B.; C. ; D. 4、 电流处于电流产生的外磁场中, 外磁场的矢势为,则它们的相互作用能为A. B. C. D. 5、 对于一个稳恒磁场，矢势有多种选择性是因为A.的旋度的散度始终为零; B.在定义时只确定了其旋度而没有定义散度; C. 的散度始终为零; 6、 磁偶极子的矢势和标势分别等于A. B. C. D. 7、 用磁标势解决静磁场问题的前提是A.该区域没有自由电流分布 B. 该区域是没有自由电流分布的单连通区域 C. 该区域每一点满

3、足 D. 该区域每一点满足. 三、 问答题1、 在稳恒电流情况下，导电介质中电荷的分布有什么特点？2、 判定下述说法的正确性，并说明理由：（1） 不同的矢势，描述不同的磁场；（2） 不同的矢势，可以描述同一磁场；（3） 的区域，也为零。3、 在空间充满介质与无介质两种情况下，若电流分布相同，它们的磁场强度是否相同？4、 由，,有人认为静磁场的能量密度是，有人认为是，你怎么认为，为什么？。5、 试比较静电场和静磁场。6、 描述磁场B的、满足的矢势，是什么性质的矢量场？它是否是唯一的？理由是什么？7、 我们知道，在J=0的区域，磁场强度满足，如果我们把它表示成，此方程仍能成立。试述这样引入所存在的

4、问题。8、 磁标势微分方程是否说明存在真正的磁荷?9、 对于直长导线的磁场，在什么样的区域可以引入磁标势？10、 试用磁荷观点与分子电流观点求一个磁化矢量为的永磁体在空间激发的磁场，并证明所得结果是一致的。答：依磁荷观点：整个空间中由引入，即可表为，其中依分子电流观点：，而依照题意有：，即：且比较知，所得结果是一致的。11、 试说明：分布于有限区域的电流系，在时，其矢势，其磁感应强度。解：因有限区域的电流系可以分成许多闭合流管，时，其失势场主要由闭合流管的磁偶极势和场决定即： =12、 我们知道，对于闭合电流圈，在场点离其很远的情况下，其矢势和场由其磁偶极势和场所决定。因此，在上述条件下，人们

5、常说小闭合电流圈与一磁偶极子等效。试问，当场点离电流圈不是很远时，闭合电流能否与某种分布的磁偶极子等效？I3-12图解：设电流线圈电流为I.当场点离电流圈不是很远时，闭合电流的场不能等效为一个磁偶极子的场，但闭合电流的磁场可看作线圈所围的一个曲面上许多载电流I的无限小线圈组合而成,如图,磁场就是许多无限小线圈的磁场矢量和.如图3-1213、 有一很长的柱面，表面有均匀分布的电流沿轴向流动，有人为了求柱面内长度为的一段柱体之中的磁场能量，使用了如下的公式：按此公式，由于柱内，因此磁场能。试问这样做对否？为什么？解：这样做显然是不对的，因为磁场能量应为， 仅对总能量有意义，并非能量密度。14、 如

6、何对小电流圈在远处的矢势作多极展开？试证明展开式的第一项，第二项可表为，其中。解：对小电流圈在远处的矢势，时，则又: 所以 对于一个闭合流管，有：式中，与积分变量无关，且为线圈上各点坐标，则又由（全微分绕闭合回路的线积分为零）得所以，其中。15、 磁场矢势的展开中，这说明什么？试与电多极距比较.答: 电势多极展开:矢势多极展开: 可见,磁场和电场不同，展开式中不含磁单极项。这是磁单极不存在的必然结果.16、 简述阿哈罗诺夫玻姆效应的结果答:在不存在磁场的区域, 矢势,矢势可以对电子发生作用, 哈罗诺夫玻姆效应表明矢势和具有可观测的物理效应。哈罗诺夫玻姆效应是量子力学现象.17、 试证明在似稳条

7、件下，每个瞬时有：（1）对无分支交流电路，电路各处的电流强度是相等的；（2）对有分支的交流电路，在分支点处基尔霍夫第一定律仍然成立。解：在似稳条件满足时，电磁场的波动性可以忽略，推迟效应可以忽略，场与场源的关系近似地看作瞬时关系，位移电流,所以场方程变为 对两边取散度得:：无分支电路，任选两处A，B.AB段电路可由S1截面，表面，S2截面围成一闭合曲面，则由似稳条件有由A，B任意性知：电路各处电流强度相同。多分支电路，设汇集于节点处的各支路横截面为S1, S2. Sn, 总表面为同理则有：即:即分支点处基尔霍夫第一定律仍然成立。四、 计算和证明1、 试用表示一个沿z方向的均匀恒定磁场，写出的两

8、种不同表示式，证明二者之差为无旋场。解：是沿 z 方向的均匀恒定磁场，即 ，由矢势定义得；三个方程组成的方程组有无数多解，如：， 即：；， 即：解与解之差为则这说明两者之差是无旋场2、 均匀无穷长直圆柱形螺线管，每单位长度线圈匝数为n，电流强度I，试用唯一性定理求管内外磁感应强度。解：根据题意，取螺线管的中轴线为 z 轴。本题给定了空间中的电流分布，故可由 求解磁场分布，又 J 只分布于导线上，所以 dl1)螺线管内部：由于螺线管是无限长 r理想螺线管，所以其内部磁场是 O z均匀强磁场，故只须求出其中轴线上的磁感应强度，即可知道管内磁场。由其无限长的特性，不 I妨取场点为坐标原点建立柱坐标系

9、。， 取的一小段，此段上分布有电流2)螺线管外部：由于螺线管无限长，不妨就在过原点而垂直于轴线的平面上任取一点为场点，其中。 3、 设有无限长的线电流I沿z轴流动，在z<0空间充满磁导率为的均匀介质，z>0区域为真空，试用唯一性定理求磁感应强度，然后求出磁化电流分布。解：设z>0区域磁感应强度和磁场强度为，；z<0区域为，由对称性可知 和均沿方向。由于的切向分量连续，所以。由此得到，满足边值关系，由唯一性定理可知，该结果为唯一正确的解。 以 z 轴上任意一点为圆心，以 r 为半径作一圆周，则圆周上各点的大小相等。根据安培环路定理得：，即， ，(z>0)；，(z&l

10、t;0)。在介质中 所以，介质界面上的磁化电流密度为：总的感应电流：，电流在 z<0 区域内，沿 z 轴流向介质分界面。4、 设x<0半空间充满磁导率为的均匀介质，x>0空间为真空，今有线电流I沿z轴流动，求磁感应强度和磁化电流分布。解：假设本题中的磁场分布仍呈轴对称，则可写作 它满足边界条件：及。由此可得介质中：由 得： 在x<0 的介质中 ，则： 再由 可得，所以， （沿 z 轴）5、 某空间区域内有轴对称磁场。在柱坐标原点附近已知，其中为常量。试求该处的。提示：用，并验证所得结果满足。解：由于B具有对称性，设， 其中 ，即：，（常数）。当时，为有限，所以 ；，即：

11、 （1）因为，所以 ，即 （2）直接验证可知，（1）式能使（2）式成立，所以，(c为常数)6、 两个半径为a的同轴圆形线圈，位于面上。每个线圈上载有同方向的电流I。（1）求轴线上的磁感应强度。（2）求在中心区域产生最接近于均匀常常时的L和a的关系。提示：用条件解：1） 由毕萨定律，L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为， 同理，-L 处线圈在轴线上 z 处产生的磁感应强度为：，。所以，轴线上的磁感应强度： （1）2）因为 ，所以 ；又因为，所以 ，。代入（1）式并化简得： 将 z=0 带入上式得：， 7、 半径为a的无限长圆柱导体上有恒定电流均匀分布于截面上，试解矢势的微分方程。设导体的

12、磁导率为，导体外的磁导率为。解：矢势所满足的方程为： 自然边界条件：时，有限。边值关系：；选取柱坐标系，该问题具有轴对称性，且解与 z 无关。令，代入微分方程得：；解得：；由自然边界条件得，由 得：，由 并令其为零，得：，。；8、 假设存在磁单极子，其磁荷为，它的磁场强度为。给出它的矢势的一个可能的表示式，并讨论它的奇异性。解： 由 得： (1) 令 ,得: , (2)显然 满足(1) 式，所以磁单极子产生的矢势讨论： 当时，；当时，；当时，故的表达式在具有奇异性，此时不合理。9、 将一磁导率为，半径为的球体，放入均匀磁场内，求总磁感应强度和诱导磁矩m。解：根据题意，以球心为原点建立球坐标，取

13、H0的方向为，此球体被外加磁场磁化后，产生一个附加磁场，并与外加均匀场相互作用，最后达到平衡，呈现轴对称。本题所满足的微分方程为： （1）自然边界条件：为有限；。衔接条件：在处满足 及 由自然边界条件可确定方程组（1）的解为：； 由两个衔接条件，有：比较的系数，解得：； ，即：，（），（）在R<R0区域内，10、 有一个内外半径为和的空心球，位于均匀外磁场内，球的磁导率为，求空腔内的场，讨论时的磁屏蔽作用。解：根据题意，以球心为原点，取球坐标，选取H0的方向为，在外场H0的作用下，空心球被磁化，产生一个附加磁场，并与原场相互作用，最后达到平衡，B的分布呈现轴对称。磁标势的微分方程为： ；

14、 ； 自然边界条件：为有限；。衔接条件： ； ； 由轴对称性及两个自然边界条件，可写出三个泛定方程的解的形式为：； ； 因为泛定方程的解是把产生磁场的源H0做频谱分解而得出的，分解所选取的基本函数系是其本征函数系。在本题中源的表示是：所以上面的解中， ，解的形式简化为： ； ； 代入衔接条件得：， ， 。解方程组得：，。从而，空间各点磁标势均可确定。空腔内：当时，所以。即空腔中无磁场，类似于静电场中的静电屏蔽。11、 设理想铁磁体的磁化规律为，其中是恒定的与无关的量。今将一个理想铁磁体做成的均匀磁化球（为常值）浸入磁导率为的无限介质中，求磁感应强度和磁化电流分布。解：根据题意，取球心为原点，建

15、立球坐标系，以M0的方向为，本题具有轴对称的磁场分布，磁标势的微分方程为： ； 自然边界条件：为有限；。衔接条件： ； 由轴对称性及两个自然边界条件，可写出拉普拉斯方程通解的形式为：； ； 代入衔接条件，比较各项的系数，得：，；， ，由此 又 ，（其中）将B的表达式代入，得：12、 将上题的永磁球置入均匀外磁场中，结果如何？解：根据题意假设均匀外场的方向与M0的方向相同，定为坐标 z 轴方向。磁标势的微分方程为： ； 自然边界条件：为有限；。衔接条件： ； 解得满足自然边界条件的解是：，代入衔接条件，得：解得： ，其中 ，13、 有一个均匀带电的薄导体壳其半径为，总电荷为，今使球壳绕自身某一直径以角速度转动，求球内外的磁场。提示：本题通过解或的方程都可以解决，也可以比较本题与§5例2的电流分布得到结果。解：根据题意，取球体自转轴为 z 轴，建立球坐标系。磁标势的微分方程为： ； 自然边界条件：为有限；。衔接条件： ； 其中 是球壳表面自由面电流密度。解得满足自然边界条件的解是：，代入衔接条件