2022届高三数学一轮复习（原卷版）黄金卷06（理）（新课标Ⅰ卷）（解析版）

1、黄金卷06（新课标卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1集合，则( )。a、b、c、d、【答案】b【解析】，故选b。2已知复数满足，则( )。a、b、c、d、【答案】b【解析】，则，故选b。3霍兰徳职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考，对人的能力兴趣等方面进行评估。某大学随机抽取名学生进行霍兰徳职业能力测试问卷测试，测试结果发现这名学生的得分都在内，按得分分成组：、 、，得到如图所示的频率分布直方图，则这名同学得分的中位数为( )。a、b、c、d、【答案】a【解析】设中

2、位数为，根据频率分布直方图可得测试结果位于的频率为：，位于的頻率为，则这名学生得分的中位数位于之同，故有，解得，故选a。4若，则( )。a、b、c、d、【答案】c【解析】，则，故选c。5过点的直线与圆：交于、两点，当时，直线的斜率为( )。 a、b、c、d、【答案】a【解析】由题意得，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相切，不合题意，舍去，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，则，解得，故选a。6宋元时期数学名若算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。下图是源于其思想的一个程序框图，若输人的、分别为、，则输出

3、的( )。a、b、c、d、【答案】c【解析】模拟程序运行，可得：、，不满足，执行循环，不满足，执行循环，不满足，执行循环，满足，退出循环，输出的值为，故选c。7设实数、满足约束条件，则上的取值范围为( )。a、b、c、d、【答案】d【解析】画可行域如图，表示点与点的连线的斜率，又、，则，故选d。8已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )。a、b、c、d、【答案】c【解析】还原空间几何体如图，可知该几何体为底面是正三角形的直三棱柱中的一个五面体，其中为的中点，直三棱柱的高为，底面正三角形的边长为，高为，故该几何体的体积为，故选c。9素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜

4、想。世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数，存在无穷多个素数对。其中当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”。在不超过的素数中，任选两个不同的素数、()，令事件，记事件、发生的概率分别为、，则下列关系式成立的是( )。a、b、c、d、【答案】d【解析】不超过的素数有、，共10个，随机选取两个不同的素数、()，有(种)选法，事件发生的样本点为、共4个，事件发生的样本点为、共4个，事件发生的样本点为、，共个，故，故选d。10关于函数有下述四个结论：是偶函数：是周期为的函数；在区间上单调递减；的最大值为。其中正确结论的编号为( )。a、b、c、 d、【答案】a【

5、解析】函数的定义域为，由，是偶函数，正确，是周期为的函数，正确，当时，则在区间上单调递减，正确，当时，当时，又由知是周期为的函数，的值域为，正确，故选a。11如图，三棱锥中，且，是中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )。a、b、c、d、【答案】b【解析】取的中点，的中点，连接、，是的中点、是的中点，为异面直线与所成的角或其补角，又，且平面，在中，在中，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，异面直线与所成角的余弦值为，故选b。12已知函数()有两个极值点、()，则的最大值为( )。a、b、c、d、【答案】d【解析】的定义域为，设，由题意可知在内有两个不等的实数根、()，需满足，解得，又

6、、，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，故选d。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知与均为单位向量，且，则与的夹角是 。【答案】【解析】与是单位向量，设向量、的夹角为，即，又，。14的展开式中的系数为，则 。【答案】【解析】其通项公式为，令，则，则，解得。15某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情。某医院呼吸科共有名医生，名护士，其中名医生为科室主任，名护士为护士长。根据组织安排，从中选派人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，且科室主任和护士长至少有人参加，则不同的选派方案共有 种（用数字作答）。【答案】【解析】选派人去支援抗疾一线，方

7、案有下列三种情况：(1)科室主任和护士长都参加，有(种)选派方案，(2)科室主任参加，护士长不参加，有(种)选派方案，(3)科室主任不参加，护士长参加，有(种)选派方案，故符合条件的选派方案有(种)。16抛物线()的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 。【答案】【解析】设、，如图所示，根据抛物线的定义，可知、，在梯形中，有，在中，又，故的最大值是。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（12分）已知等比数列的前项和为，且()。(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和。【解析】(1)当时

8、， 1分当时，即， 2分等比数列的公比是，即，故， 3分故数列是首项为，公比为的等比数列，； 4分(2)由(1)知，又，故， 6分则， 7分 ， 8分两式相减得：， 11分。 12分18（12分）某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了位顾客购物的相关数据如下表：一次购物款(单位：元)顾客人数统计结果显示位顾客中一次购物款不低于元的顾客占，该商场每日大约有名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于元的顾客发放纪念品。(1)试确定、的值，并估计每日应准备纪念品的数量；(2)现有人前去该商场购物，用频率估计概率，求获得纪念品的数量的分布列与数学期望。【解析】(1)由已知，位顾客中购物款不

9、低于元的顾有：，解得，则， 2分该商场每日应准备纪念品的数量约为； 4分(2)由(1)可知人购物获得纪念品的频率即为概率， 5分故人购物获得纪念品的数量服从二项分配， 6分则， 10分则的分布列为：的数学期望为。 12分19（12分）如图所示，已知在三棱锥中，、分别是、的中点，是边上一点，且()，平面与平面所成的二面角为。(1)证明：平面平面；(2)是否存在，使？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。【解析】(1)证明：如图，选接，点为的中点， 1分又，而， 2分又，平面， 3分平面，平面平面； 4分(2)如图建立空间直角坐标系，则，、， 5分设平面的法向量，、，又，设，则， 7分设平面法向量

10、，、，又，设，则， 9分，为锐角， 10分化简得，或(舍去)， 11分存在使。 12分20（12分）已知函数，。(1)设函数，当存在最小值时，求其最小值的解析式；(2)对(1)中的和任意的、，证明：。【解析】(1)，的定义域为， 1分当时，令，解得，当时，在上递减，当时，在上递增，是在上的唯一极值点，从而也是的最小值点，最小值， 4分当时，恒成立，在上递增，无最小值，故的最小值的解析式为()； 6分(2)由(1)知，对任意的、，； 8分， 9分， 10分故由得。 12分21（12分）已知椭圆：()的右焦点与抛物线的焦点重合，以椭圆的短轴为直径的圆过椭圆的焦点。(1)求椭圆的标准方程；(2)过点

11、的直线交椭圆于、两点，直线：与椭圆在第一象限的交点为点，求直线的方程。【解析】(1)抛物线的焦点为， 1分由椭圆的短轴为直径的圆过圆的焦点，则， 2分又，得， 3分椭圆的标准方程为； 4分(2)由(、)，得， 5分由得，即，可得， 6分当垂直轴时，此时满足题意，此时直线的方程为：， 7分当不垂直轴时，设、，直线的方程为，联立消去得：，则， 9分代入可得：，代入和得：，化简得，解得，经检验满足题意，则直线的方程为， 11分综上所述，直线的方程为或。 12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为。(1)化圆的极坐标方程为直角坐标标准方程；(2)设点，圆心，若直线与圆交手、两点，求的最大值。【解析】(1)圆的极坐标方程为， 2分，圆的直角坐标标准方程为； 4分(2)由(1)知圆的圆心的直角坐标为，则，直线的参数方程为(为参数，)， 6分将直