2022届高三数学一轮复习（原卷版）考点29 三角函数的图象与性质（解析版）

1、考点29 三角函数的图象与性质【命题解读】三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.【基础知识回顾】 1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)“五点法”作图原理：在正弦函数ysin x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,0)，(，0)，(2，0)在余弦函数ycos x，x0,2的图象上，五个关键点是：(0,1)，(，1)，(2，1). (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑

2、)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数ysin xycos xytan x图象定义域rr值域1,11,1r奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在(kz)上是递增函数，在(kz)上是递减函数在2k，2k(kz)上是递增函数，在2k，2k(kz)上是递减函数在(kz)上是递增函数周期性周期是2k(kz且k0)，最小正周期是2周期是2k(kz且k0)，最小正周期是2周期是k(kz且k0)，最小正周期是对称性对称轴是xk(kz)，对称中心是(k，0)(kz)对称轴是xk(kz)，对称中心是(kz)对称中心是(kz)1、函数的定义域为（ ）abcd【答案】d【解析】因为，所以故函数的定义域为 ，选d。2、下

3、列关于函数y4sin x，x，的单调性的叙述，正确的是()a在，0上是增函数，在0，上是减函数b在上是增函数，在和上是减函数c在0，上是增函数，在，0上是减函数d在和上是增函数，在上是减函数【答案】b【解析】函数y4sin x在和上单调递减，在上单调递增故选b.3、（安徽省淮南市2019届高三模拟） 若函数f(x)sin x(>0)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则等于()a.b.c2 d3【答案】b【解析】因为f(x)sin x(>0)过原点，所以当0x，即0x时，ysin x是增函数；当x，即x时，ysin x是减函数由f(x)sin x(>0)在上单调递增，在上单调

4、递减知，所以。4、下列关于函数的说法正确的是a在区间上单调递增b最小正周期是c图象关于成中心对称d图象关于直线成轴对称【答案】【解析】令，解得，显然满足上述关系式，故正确；易知该函数的最小正周期为，故正确；令，解得，任取值不能得到，故错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数的图象也没有对称轴，故错误5、 函数ycos的单调减区间为_【答案】：(kz)【解析】：由ycoscos得2k2x2k(kz)，解得kxk(kz)所以函数的单调减区间为(kz)6、 函数ytan的图象与x轴交点的坐标是_【答案】：，kz【解析】：由2xk(kz)得，x(kz)函数ytan的图象与x轴交点的坐标是，kz考向一三角

5、函数的定义域例1(1)函数y的定义域为 (2)函数ylg(2sinx1)的定义域为 【答案】（1）（2）(kz)【解析】(1)要使函数有意义，必须使sinxcosx0.利用图象，在同一坐标系中画出上ysinx和ycosx的图象，如图所示在内，满足sinxcosx的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，原函数的定义域为.(2)由题意得根据图象解得2kx2k，即定义域为(kz)变式1、 (1)函数y的定义域为_.(2)函数ylg(sin x)的定义域为_.【答案】（(1)(2)【解析】(1)要使函数有意义，必须有即故函数的定义域为.(2)函数有意义，则即解得所以2k<x2k(kz)，所以函数

6、的定义域为.变式2、函数y的定义域为_【答案】【解析】法一：要使函数有意义，必须使sin xcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上ysin x和ycos x的图象，如图所示在0,2内，满足sin xcos x的x为，再结合正弦、余弦函数的周期是2，所以原函数的定义域为.法二：sin xcos xsin0，将x视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知2kx2k(kz)，解得2kx2k(kz)所以定义域为.方法总结：三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数ytan x的定义域求函数yatan(x)的定义域转化为求解简单的三角不等式(2)求复杂函数的定义域转化为

7、求解简单的三角不等式2简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解(2)利用三角函数的图象求解考向二 三角函数的值域(最值)例2、（1）2017·全国高考函数fsin2xcosx(x)的最大值是_(2)函数y的值域为_ _(3)函数f(x)cos2x6cos(x)的最大值为_【答案】（1）1；（2），)（3）5【解析】（1）f(x)1cos2xcosxcos2xcosx21，由自变量的范围：x可得：cosx0，1，当cosx时，函数f(x)取得最大值1.(2)y1，当sinx1时，ymin1，值域为，)(3) f(x)cos2x6cos12sin2x6sinx22，当sinx1时函数

8、的最大值为5.变式1、(1)函数f(x)3sin在区间上的值域为_(2)设x，则函数y的最大值为_(3)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)当x时，2x，sin，故3sin，函数f(x)在区间上的值域为.(2)因为x，所以tan x0，y，当且仅当3tan x时等号成立，故最大值为.(3)设tsin xcos x，则t，t2sin2xcos2x2sin xcos x，则sin xcos x，yt(t1)21.当t1时，ymax1；当t时，ymin.函数的值域为.变式2、函数的最大值为_，最小值为_【答案】 【解析】：(1)由 ，得.3

9、x或0x函数ylg(sin 2x)的定义域为 (2)令tsin x，|x|，tyt2t12，当t时，ymax，当t时，ymin函数的最大值为，最小值为方法总结：求三角函数的值域(最值)的3种类型及解法思路(1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yasin(x)k的形式，再求值域(最值)；(2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如yasin xcos xb(sin x±cos x)c的三角函数，可先设tsin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)考向三 三角函数的单调性例3、写

10、出下列函数的单调区间：(1)ysin；(2)y|tan x|【解析】：(1)ysinsin，它的递增区间是ysin的递减区间，它的递减区间是ysin的递增区间由2k2x2k，kz，得kxk，kz由2k2x2k，kz，得kxk，kz故所给函数的递减区间为，kz；递增区间为，kz(2)观察图象(图略)可知，y|tan x|的递增区间是，kz，递减区间是，kz变式1：已知0，函数f(x)sin在上单调递减，则的取值范围是_【答案】：【解析】：由x，0得，x，又ysin x在上递减，所以，解得变式2：函数ycos的单调递增区间为_【答案】：(kz)【解析】：函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，

11、kz由2k2x2k，kz，得kxk，kz方法总结：本题考查三角函数的单调性首先化成yasin(x)的形式，再把x看作整体代入ysinx的相应单调区间内求x的范围即可对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性例4、（1） 函数y2cos21是_最小正周期为的奇函数； 最小正周期为的偶函数；最小正周期为的奇函数； 最小正周期为的非奇非偶函数（2）当x时，函数f(x)sin(x)取得最小值，则函数

12、yf满足_是奇函数且图象关于点对称； 是偶函数且图象关于点(，0)对称；是奇函数且图象关于直线x对称；是偶函数且图象关于直线x对称（3） 函数ycos(3x)的图象关于原点成中心对称图形，则_【答案】：（1）（2） （3）k(kz)【解析】：（1）因为ycossin 2x，所以是最小正周期为的奇函数（2）当x时，函数f(x)取得最小值，sin1，2k(kz)f(x)sinsinyfsin(x)sin xyf是奇函数，且图象关于直线x对称（3）由题意，得ycos(3x)是奇函数，故k(kz)变式1、(1)若函数f(x)3sin，(0，)为偶函数，则的值为_(2)若函数ycos(n*)图象的一个对

13、称中心是，则的最小值为_【答案】（1）.（2）2【解析】(1)由题意知f(x)为偶函数，关于y轴对称，f(0)3sin±3，k，kz，又0，.(2)由题意知k(kz)，6k2(kz)，又n*，min2.变式2、下列函数，最小正周期为的偶函数有abcd【答案】【解析】：函数的最小正周期为，且该函数为奇函数，故排除；函数的最小正周期为，且该函数为偶函数，故满足条件；函数的最小正周期为，且该函数为偶函数，故不满足条件，故排除；函数的最小正周期为，且该函数为偶函数，故满足条件，方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性求f(x)的对称轴，只需令xk(kz)，求x即可；如果求f(x)的对称中心

14、的横坐标，只需令xk(kz)，求x即可奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将yasin(x)转化为yasinx或yacosx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想1、【2019年高考全国卷理数】函数f(x)=在的图象大致为abcd【答案】d【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，排除a又，排除b，c，故选d2、【2019年高考全国卷理数】关于函数有下述四个结论：f(x)是偶函数f(x)在区间（，）单调递增f(x)在有4个零点f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是a bcd【答案】c【解析】为偶函数，故正确当时，它在区间单调递减，故错误当时，它有两个零点：；当时，它有一个零

15、点：，故在有个零点：，故错误当时，；当时，又为偶函数，的最大值为，故正确综上所述，正确，故选c3、【2019年高考全国卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是af(x)=|cos2x| bf(x)=|sin2x| cf(x)=cos|x| df(x)=sin|x|【答案】a【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除d；因为，周期为，排除c；作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，a正确；作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除b，故选a图1图2图34、【2018年高考全国卷ii理数】若在是减函数，则的最大值是a bc d【答案】a【解析】因为，所以由得，因此，从而的最大值为，故选a.5、【2019年高考北京卷理数】函数f（x）=sin22x的最小正周期是_【答案】【解析】函数，周期为.6、【2020年高考全国iii卷理数】.关于函数f（x）=有如下四个命题