2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6节 双曲线 教案 (2)

1、第六节双曲线最新考纲1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线定义平面内与两个定点f1，f2的距离的差的绝对值等于常数(小于|f1f2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|f1f2|时，p点的轨迹是双曲线；(2)当2a|f1f2|时，p点的轨迹是两条

2、射线；(3)当2a>|f1f2|时，p点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形范围xa或xa，yrxr，ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线y±xy±x性质离心率e(1，)实、虚轴线段a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y&

3、#177;x，离心率为e.1过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为，也叫通径2双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.3若p是双曲线右支上一点，f1，f2分别为双曲线的左、右焦点，则|pf1|minac，|pf2|minca.4与双曲线1(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)5当已知双曲线的渐近线方程为bx±ay0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2a2y2(0)一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“×”)(1)平面内到点f1(0,4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双

4、曲线(m>0，n>0，0)的渐近线方程是0，即±0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改编1双曲线1的焦距为()a5b.c2d1c由双曲线1，易知c2325，所以c，所以双曲线1的焦距为2.2以椭圆1的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为()ax21 b.y21cx21 d.1a设要求的双曲线方程为1(a0，b0)，由椭圆1，得椭圆焦点为(±1,0)，在x轴上的顶点为(±2,0)所以双曲线的顶点为(±1,0)，焦点为(±2,0)所以a1，c2，所以b2c

5、2a23，所以双曲线的标准方程为x21.3已知双曲线1(a>0)的离心率为2，则a()a2 b. c. d1d依题意，e2，2a，则a21，a1.4经过点a(5，3)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为 1设双曲线的方程为x2y2，把点a(5，3)代入，得16，故所求方程为1.考点1双曲线的定义及应用双曲线定义的两个应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合|pf1|pf2|2a，运用平方的方法，建立与|pf1|·|pf2|的关系(1)设p是双曲线1上一点，f1，f2分别是双曲线的

6、左、右焦点，若|pf1|9，则|pf2|等于()a1b17c1或17 d以上均不对(2)已知动圆m与圆c1：(x4)2y22外切，与圆c2：(x4)2y22内切，则动圆圆心m的轨迹方程为()a.1(x) b.1(x)c.1(x) d.1(x)(3)已知f1，f2为双曲线c：x2y21的左、右焦点，点p在c上，f1pf260°，则|pf1|·|pf2|等于()a2b4 c6d8(1)b(2)a(3)b(1)根据双曲线的定义得|pf1|pf2|8|pf2|1或17.又|pf2|ca2，故|pf2|17，故选b.(2)设动圆的半径为r，由题意可得|mc1|r，|mc2|r，所以|

7、mc1|mc2|2，故由双曲线的定义可知动点m在以c1(4,0)，c2(4,0)为焦点，实轴长为2a2的双曲线的右支上，即a，c4b216214，故动圆圆心m的轨迹方程为1(x)，故选a.(3)由双曲线的方程得a1，c，由双曲线的定义得|pf1|pf2|2.在pf1f2中，由余弦定理得|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|·|pf2|cos 60°，即(2)2|pf1|2|pf2|2|pf1|·|pf2|(|pf1|pf2|)2|pf1|·|pf2|22|pf1|·|pf2|，解得|pf1|·|pf2|4，故选b.母题探究

8、1本例(3)中，若将条件“f1pf260°”改为|pf1|2|pf2|，试求cosf1pf2的值解根据双曲线的定义知，|pf1|pf2|pf2|2，则|pf1|2|pf2|4，又|f1f2|2cosf1pf2.2本例(3)中，若将条件“f1pf260°”，改为·0，则f1pf2的面积是多少？解不妨设点p在双曲线的右支上则|pf1|pf2|2a2，由·0，得.在f1pf2中，|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|8，|pf1|pf2|2.sf1pf2|pf1|pf2|1.(1)求双曲线上的点到焦点的距离时，要

9、注意取舍，如本例t(1)；(2)利用定义求双曲线方程时，要注意所求是双曲线一支，还是整个双曲线，如本例t(2)1.已知点f1(3,0)和f2(3,0)，动点p到f1，f2的距离之差为4，则点p的轨迹方程为()a.1(y0)b.1(x0)c.1(y0) d.1(x0)b由题设知点p的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为1(x0，a0，b0)，由题设知c3，a2，b2945，所以点p的轨迹方程为1(x0)2已知双曲线x21的两个焦点为f1，f2，p为双曲线右支上一点若|pf1|pf2|，则f1pf2的面积为()a48b24c12d6b由双曲线的定义可得|pf1|pf2|pf2|2a2，

10、解得|pf2|6，故|pf1|8，又|f1f2|10，由勾股定理可知三角形pf1f2为直角三角形，因此sf1pf2|pf1|·|pf2|24.3若双曲线1的左焦点为f，点p是双曲线右支上的动点，a(1,4)，则|pf|pa|的最小值是()a8 b9 c10 d12b由题意知，双曲线1的左焦点f的坐标为(4,0)，设双曲线的右焦点为b，则b(4,0)，由双曲线的定义知|pf|pa|4|pb|pa|4|ab|4459，当且仅当a，p，b三点共线且p在a，b之间时取等号考点2双曲线的标准方程求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标

11、准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)(2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2ny21(mn0)求解(1)(2019·荆门模拟)方程1表示双曲线的一个充分不必要条件是()a3m0 b1m3c3m4 d2m3(2)一题多解已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y±x，则该双曲线的标准方程是()a.1 b.1cx21 d.1(3)(2018·天津高考)已知双曲线1(a>0，b&g

12、t;0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于a，b两点设a，b到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1d26，则双曲线的方程为()a.1 b.1c.1 d.1(1)b(2)c(3)c(1)方程1表示双曲线，则(m2)(m3)0，解得2m3.要求充分不必要条件，选项范围是2m3的真子集，只有选项b符合题意故选b.(2)法一：当其中的一条渐近线方程yx中的x2时，y23，又点(2,3)在第一象限，所以双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程是1(a0，b0)，由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21，故选c.法二：因为双曲线的渐近线方程为y±x，即±

13、;x，所以可设双曲线的方程是x2(0)，将点(2,3)代入，得1，所以该双曲线的标准方程为x21，故选c.(3)如图，不妨设a在b的上方，则a，b.其中的一条渐近线为bxay0，则d1d22b6，b3. 又由e2，知a2b24a2，a.双曲线的方程为1. 故选c.已知双曲线的渐近线方程，用渐近线方程设出双曲线方程，运算过程较为简单教师备选例题设双曲线与椭圆1有共同的焦点，且与椭圆相交，其中一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是 1 法一：椭圆1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为1(a>0，b>0)，根据双曲线的定义知2a|4，故a2.又b232225，故所

14、求双曲线的标准方程为1.法二：椭圆1的焦点坐标是(0，±3)设双曲线方程为1(a>0，b>0)，则a2b29，又点(，4)在双曲线上，所以1，联立解得a24，b25.故所求双曲线的标准方程为1.1.(2019·湘潭模拟)以双曲线1的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为()ax2y21 b.y21c.1 d.1d由题可知，所求双曲线的顶点坐标为(±3,0)又因为双曲线的渐近线互相垂直，所以ab3，则该双曲线的方程为1.故选d.2已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，若|pf1|pf2|4b，且双曲线的焦

15、距为2，则该双曲线的标准方程为()a.y21 b.1cx21 d.1a由题意可得解得则该双曲线的标准方程为y21.3经过点p(3,2)，q(6，7)的双曲线的标准方程为 1设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，因为所求双曲线经过点p(3,2)，q(6，7)，所以解得故所求双曲线方程为1.考点3双曲线的几何性质求双曲线的离心率(或其范围)求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解(1)(2019·全国卷)设f为双曲线c：1(a0，b0)的右焦点，o

16、为坐标原点，以of为直径的圆与圆x2y2a2交于p，q两点若|pq|of|，则c的离心率为()a. b. c2 d.(2)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为f1，f2，点p在双曲线的右支上，且|pf1|4|pf2|，则双曲线离心率的取值范围是()a. b.c(1,2 d.(1)a(2)b(1)令双曲线c：1(a>0，b>0)的右焦点f的坐标为(c,0)，则c.如图所示，由圆的对称性及条件|pq|of|可知，pq是以of为直径的圆的直径，且pqof.设垂足为m，连接op，则|op|a，|om|mp|，由|om|2|mp|2|op|2，得a2，即离心率e.故选a.(2)由双曲

17、线的定义可知|pf1|pf2|2a，又|pf1|4|pf2|，所以|pf2|，由双曲线上的点到焦点的最短距离为ca，可得ca，解得，即e，又双曲线的离心率e1，故该双曲线离心率的取值范围为，故选b.本例t(2)利用双曲线右支上的点到右焦点的距离不小于ca建立不等式求解，同时应注意双曲线的离心率e1.教师备选例题(2019·沈阳模拟)设f1，f2分别为双曲线c：1(a0，b0)的左、右焦点，p是双曲线c上一点，若|pf1|pf2|4a，且pf1f2的最小内角的正弦值为，则双曲线c的离心率为()a2b3c.d.c不妨设p是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|pf1|pf2|2a，|f

18、1f2|2c，所以|pf1|3a，|pf2|a.pf1f2的最小内角的正弦值为，其余弦值为，因为|pf1|pf2|，|f1f2|pf2|，所以pf1f2为pf1f2的最小内角由余弦定理可得|pf2|2|f1f2|2|pf1|22|f1f2|pf1|cospf1f2，即a24c29a22×2c×3a×，所以离心率e.故选c.与渐近线有关的问题与渐近线有关的结论(1)双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为y±x，双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为y±x.(2)e21e21.(1)(2019·武汉模拟)已知双曲线c：1(m0，n0)的离心率

19、与椭圆1的离心率互为倒数，则双曲线c的渐近线方程为()a4x±3y0b3x±4y0c4x±3y0或3x±4y0d4x±5y0或5x±4y0(2)(2019·张掖模拟)已知双曲线c：1(a0，b0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为，则其一条渐近线的倾斜角为()a30° b45° c60° d120°(1)a(2)b(1)由题意知，椭圆中a5，b4，椭圆的离心率e，双曲线的离心率为，双曲线的渐近线方程为y±x±x，即4x±3y0.故选a.(2)设双曲线1的右顶点a(a,0)，右焦点f2(c,0)到渐近线yx的距离分别为1和，则有即.则1211，即1.设渐近线yx的倾斜角为，则tan 1.所以45°，故选b.双曲线中，焦点到一条渐近线的距离等于b是常用的结论教师备选例题(2019&