2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5讲　数列的综合应用

1、第 5 讲数列的综合应用考点一等差、等比数列的综合(综合型)复习指导|求解此类问题应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论(2018高考北京卷)设an是等差数列，且 a1ln 2，a2a35ln 2.(1)求an的通项公式；(2)求 ea1ea2ean.【解】(1)设an的公差为 d.因为 a2a35ln 2，所以 2a13d5ln 2.又 a1ln 2，所以 dln 2.所以 ana1(n1)dnln 2.(2)因为 ea1eln 22，eanean1eanan1eln 22，所以ean是首项为 2，公比为 2 的等比数列所

2、以 ea1ea2ean212n122(2n1)2n12.等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，确定最终解决问题需要首先求解的中间问题，如求和需要先求出通项、求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能， 在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的提醒在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后要注意结论的整合(2020吉林第一次调研测试)设 sn为数列an的前 n 项和，已知 a23，an

3、12an1.(1)证明：an1为等比数列；(2)求an的通项公式，并判断 n，an，sn是否成等差数列？说明理由解：(1)证明：因为 a23，a22a11，所以 a11，因为 an12an1，所以 an112(an1)，所以an1是首项为 2，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知，an12n，所以 an2n1，所以 sn22n112n2n1n2，所以 nsn2ann2n1n22(2n1)0，所以 nsn2an，即 n，an，sn成等差数列考点二数列与数学文化(应用型)复习指导|解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意，即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型，即由题意构

4、建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是“解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、公差(或公比)、项数、通项公式或前 n 项和等(1)(2020湖南衡阳三模)中国古代数学名著九章算术中有如下问题今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”马主曰：“我马食半牛”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿 5 斗粟羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1 斗为 10 升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为()a253b503c5

5、07d1007(2)(2020北京市石景山区 3 月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜据明代杨慎丹铅总录记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一”在某种玩法中，用 an表示解下 n(n9，nn*)个圆环所需的最少移动次数，数列an满足 a11，且 an2an11，n 为偶数，2an12，n 为奇数，则解下 4 个环所需的最少移动次数 a4为()a7b10c12d22【解析】(1)5 斗50 升设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为 a1，a2，a3，由题意可知 a1，a2，a3构成公比为 2 的等比数列，且 s350，则a1(123)

6、1250，解得 a1507，所以马主人应偿还粟的量为 a22a11007，故选 d(2)因为数列an满足 a11，且 an2an11，n 为偶数，2an12，n 为奇数，所以 a22a11211，所以 a32a222124，所以 a42a312417.故选 a【答案】(1)d(2)a数学建模是指对现实问题进行抽象， 用数学语言表达和解决实际问题的过程 有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中，用数学的思想分析数列问题，用数学的语言表达数列问题，用数学的知识得到数列模型，用数列的方法得到结论，验证数学结论与实际问题的相符程度，最终得到符合实际规律的结果1(2020广东潮州二模)我国古代名著九

7、章算术中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤”意思是：现有一根金箠，长 5 尺，头部 1尺，重 4 斤，尾部 1 尺，重 2 斤若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重为()a6 斤b7 斤c9 斤d15 斤解析：选 d设从头到尾每一尺的质量构成等差数列an，则有 a14，a52，所以 a1a56，数列an的前 5 项和为 s55a1a525315，即该金箠共重 15 斤故选 d21979 年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：5 只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成 5 等份，只好先去睡觉，准备第二天再分，夜里 1 只猴子偷偷爬起来，先

8、吃掉一个桃子，然后将其分成 5 等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第 2 只猴子又爬起来，将剩余的桃子吃掉一个后，也将桃子分成 5 等份；藏起自己的一份睡觉去了；以后的 3 只猴子都先后照此办理，问：最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？解：假如我们设最初有 a1个桃子，猴子每次分剩下的桃子依次为 a2，a3，a4，a5，a6，得到一个数列an，依题意，可知数列的递推公式：an1an15(an1)1，即 an145(an1)，整理变形，得 an1445(an4)故an4是以45为公比的等比数列，所以 a64(a14)455，欲使(a64)n*，应有 a1455m(mn*)，故最初至少有桃

9、子 a15543 121 个，从而最后至少剩下 a64541 020 个考点三数列与其他知识的交汇(综合型)复习指导|数列常与函数、不等式及三角函数等知识交汇，求解关键是把其他知识巧妙转化为数列问题，再利用数列公式进行求解(2020安徽安庆 4 月联考)在abc 中，角 a，b，c 的对边分别为 a，b，c，且3sin bsin cbasin asin bc.(1)求角 a 的大小；(2)若等差数列an的公差不为零，a1sin a1，且 a2，a4，a8成等比数列，bn1anan1，求数列bn的前 n 项和 sn.【解】(1)由3sin bsin cbasin asin bc，根据正弦定理可得

10、3bcbabac，即 b2c2a2 3bc，所以 cos ab2c2a22bc32，由 0a，得 a6.(2)由(1)知，a6，设数列an的公差为 d(d0)，因为 a1sin a1，所以 a1sin612a11，解得 a12.因为 a2，a4，a8成等比数列，所以 a24a2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，所以 d22d.又 d0，所以 d2，则 an2n，bn1anan112n(2n2)14(1n1n1)，则 sn14(112)(1213)(1n1n1)14(11n1)n4n4.破解数列与三角函数相交汇问题的策略： 一是活用两定理， 即会利用正弦定理和余弦定理破解三角形的边角

11、关系； 二是会用公式， 即会利用等差数列与等比数列的通项公式求解未知量；三是求和方法，针对数列通项公式的特征，灵活应用裂项相消法、分组求和法、错位相减法等求和1(2020浙江杭州 4 月模拟)已知数列an，bn满足 a11，且 an，an1是函数 f(x)x2bnx2n的两个零点，则 a5_，b10_解析：因为 an，an1是函数 f(x)x2bnx2n的两个零点，所以 an，an1是方程 x2bnx2n0 的两个根，根据根与系数的关系，可得 anan12n，anan1bn，由 anan12n，可得 an1an22n1，两式相除可得an2an2，所以 a1，a3，a5，成公比为 2 的等比数列

12、，a2，a4，a6，成公比为 2 的等比数列，又由 a11，得 a22，所以 a51224，a1022432，a1112532，所以 b10a10a11323264.答案：4642设函数 f(x)121x，正项数列an满足 a11，anf1an1，nn*，且 n2.(1)求数列an的通项公式；(2)对 nn*，求证：1a1a21a2a31a3a41anan12.解：(1)由 anf1an1，所以 an12an1，nn*，且 n2，所以数列an是以 1 为首项，以12为公差的等差数列，所以 ana1(n1)d112(n1)n12.(2)证明：由(1)可知1anan14(n1)(n2)41n11n

13、2 ，sn1a1a21a2a31a3a41anan141213 1314 1415 (1n11n2)4121n224n22，得证考点四数列中的新定义问题(创新型)复习指导|数列的新定义问题的特点是：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的(2020河北石家庄 4 月模拟)数列an的前 n 项和为 sn，定义an的“优值”为 hna12a22n1ann，现已知an的“优值”hn2n，则 sn_【解析】由 hna12a22n1ann2n，得 a12a22

14、n1ann2n，当 n2 时，a12a22n2an1(n1)2n1，由得 2n1ann2n(n1)2n1(n1)2n1，即 ann1(n2)，当 n1 时，a12 也满足式子 ann1，所以数列an的通项公式为 ann1，所以 snn(2n1)2n(n3)2.【答案】n(n3)2破解此类数列中的新定义问题的关键： 一是盯题眼， 即需认真审题， 读懂新定义的含义，如本题，题眼an的“优值”hn2n的含义为a12a22n1ann2n；二是想“减法”，如本题，欲由等式 a12a22n1ann2n求通项，只需写出 a12a22n2an1(n1)2n1，通过相减，即可得通项公式(多选)若数列an满足：对

15、任意的 nn*且 n3，总存在 i，jn*，使得 anaiaj(ij，in，jn)，则称数列an是“t 数列”则下列数列是“t 数列”的为()a2nbn2c3nd1 52n1解析：选 ad令 an2n，则 ana1an1(n3)，所以数列2n是“t 数列”；令 ann2，则 a11，a24，a39，所以 a3a1a2，所以数列n2不是“t 数列”；令 an3n，则 a13， a29， a327， 所以 a3a1a2， 所以数列3n不是“t 数列”； 令 an1 52n1，则 an1 52n21 52n3an1an2(n3)，所以数列1 52n1是“t 数列”故选 ad基础题组练1(2020开封

16、市定位考试)等比数列an的前 n 项和为 sn，若 a34s20，则公比 q()a1b1c2d2解析：选 c法一：因为 a34s20，所以 a1q24a14a1q0，因为 a10，所以 q24q40，所以 q2，故选 c法二：因为 a34s20，所以 a2q4a2q4a20，因为 a20，所以 q4q40，即(q2)20，所以 q2，故选 c2(2020宁夏银川一中一模)已知等比数列an中，有 a3a114a7，数列bn是等差数列，其前 n 项和为 sn，且 b7a7，则 s13()a26b52c78d104解析：选 b设等比数列an的公比为 q，因为 a3a114a7，所以 a274a70，

17、解得 a74，因为数列bn是等差数列，且 b7a7，所以 s1313(b1b13)213b713a752.故选 b3(2020吉林长春 5 月联考)已知等差数列an的前 n 项和为 sn，公差 d0，a6和 a8是函数 f(x)154ln x12x28x 的极值点，则 s8()a38b38c17d17解析：选 a因为 f(x)154ln x12x28x，所以 f(x)154xx8x28x154xx12x152x，令 f(x)0，解得 x12或 x152.又 a6和 a8是函数 f(x)的极值点，且公差 d0，所以 a612，a8152，所以a15d12，a17d152，解得a117，d72.所

18、以 s88a18(81)2d38，故选 a4(多选)(应用型)一个弹性小球从 100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来的高度的23再落下设它第 n 次着地时，经过的总路程记为 sn，则当 n2 时，下面说法正确的是()asn500bsn500csn的最小值为7003dsn的最大值为 400解析： 选ac 第一次着地时， 共经过了100 m， 第二次着地时， 共经过了100100232m，第三次着地时，共经过了1001002321002322m，以此类推，第 n 次着地时，共经过了100100232100232210023n12m所以 sn1004003123n1123100400 123

19、n1.则 sn是关于 n 的增函数，所以当 n2 时，sn的最小值为 s2，且 s27003.又 sn100400 123n1100400500.故选 ac5(创新型)(2020山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即 f(1)f(2)1，f(n)f(n1)f(n2)(n3，nn*)此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用若此数列被 2 除后的余数构成一个新数列an，则数列an的前 2 019 项的和为()a672b673c1 346d2 019解析：选 c由于an是数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34

20、，55，各项除以 2 的余数，故an为 1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，所以an是周期为 3 的周期数列，且一个周期中的三项之和为 1102.因为 2 0196733，所以数列an的前 2 019 项的和为 67321 346.故选 c6(2019高考北京卷)设等差数列an的前 n 项和为 sn.若 a23，s510，则 a5_，sn的最小值为_解析：设等差数列an的公差为 d，因为a23，s510，即a1d3，5a110d10，所以可得a14，d1，所以 a5a14d0，因为 snna1n(n1)2d12(n29n)，所以当 n4 或 n5时，sn取得最小值，最小值为10.答案：01

21、07若数列an满足1an12an0，则称an为“梦想数列”已知正项数列1bn为“梦想数列”，且 b1b2b31，则 b6b7b8_解析：由1an12an0 可得 an112an，故an是公比为12的等比数列，故1bn是公比为12的等比数列，则bn是公比为 2 的等比数列，b6b7b8(b1b2b3)2532.答案：328(2020湖南岳阳一模)曲线 yn2xln x(nn*)在 x2n处的切线斜率为 an，则数列1anan1的前 n 项的和为_解析：对 yn2xln x(nn*)求导，可得 yn21x，由曲线 yn2xln x(nn*)在 x2n处的切线斜率为 an，可得 ann2n2n.所以

22、1anan11n(n1)1n1n1，则数列1anan1的前 n项的和为 11212131n1n1nn1.答案：nn19(2020湖南省湘东六校联考)已知数列an的前 n 项和 sn满足 sn sn11(n2，nn)，且 a11.(1)求数列an的通项公式 an；(2)记 bn1anan1，tn为bn的前 n 项和，求使 tn2n成立的 n 的最小值解：(1)由已知有 sn sn11(n2，nn)，所以数列 sn为等差数列，又 s1 a11，所以 snn，即 snn2.当 n2 时，ansnsn1n2(n1)22n1.又 a11 也满足上式，所以 an2n1.(2)由(1)知，bn1(2n1)(

23、2n1)1212n112n1 ，所以 tn12113131512n112n1 12112n1 n2n1.由 tn2n得 n24n2，即(n2)26，所以 n5，所以 n 的最小值为 5.10(创新型)(2019高考江苏卷节选)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“m数列”(1)已知等比数列an(nn*)满足：a2a4a5，a34a24a10，求证：数列an为“m数列”；(2)已知数列bn(nn*)满足：b11，1sn2bn2bn1，其中 sn为数列bn的前 n 项和求数列bn的通项公式解：(1)证明：设等比数列an的公比为 q，所以 a10，q0.由a2a4a5，a34a24a10，得a2

24、1q4a1q4，a1q24a1q4a10，解得a11，q2.因此数列an为“m数列”(2)因为1sn2bn2bn1，所以 bn0.由 b11，s1b1，得11212b2，则 b22.由1sn2bn2bn1，得 snbnbn12(bn1bn)，当 n2 时，由 bnsnsn1，得 bnbnbn12(bn1bn)bn1bn2(bnbn1)，整理得 bn1bn12bn.所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列因此，数列bn的通项公式为 bnn(nn*)综合题组练1(综合型)(2020湖北十堰调研)已知等差数列an的公差为2，前 n 项和为 sn.若 a2，a3，a4为某三角形的三边长，且该三角形

25、有一个内角为 120，则 sn的最大值为()a5b11c20d25解析：选 d由等差数列an的公差为2 可知该数列为递减数列，则 a2，a3，a4中 a2最大，a4最小又 a2，a3，a4为三角形的三边长，且最大内角为 120，由余弦定理得 a22a23a24a3a4.设首项为 a1，则(a12)2(a14)2(a16)2(a14)(a16)，整理得(a14)(a19)0， 所以 a14 或 a19.又 a4a160， 即 a16， 故 a14 舍去， 所以 a19.数列an的前 n 项和 sn9nn(n1)2(2)(n5)225.故 sn的最大值为 s525.故选 d2(创新型)(2020江

26、西上高模拟)定义：若数列an对任意的正整数 n，都有|an1|an|d(d 为常数)，则称|an|为“绝对和数列”，d 叫做“绝对公和”已知“绝对和数列”an中，a12，绝对公和为 3，则其前 2 019 项的和 s2 019的最小值为()a2 019b3 010c3 025d3 027解析：选 c依题意，要使“绝对和数列”an前 2 019 项的和 s2 019的值最小，只需每一项的值都取最小值即可因为 a12，绝对公和 d3，所以 a21 或 a21(舍)，所以a32 或 a32(舍)，所以 a41 或 a41(舍)，所以满足条件的数列an的通项公式an2，n1，2，n 为大于 1 的奇数

27、，1，n 为偶数，所以 s2 019a1(a2a3)(a4a5)(a2 018a2 019)2(12)2 019123 025，故选 c3已知 an3n(nn*)，记数列an的前 n 项和为 tn，若对任意的 nn*，tn32 k3n6 恒成立，则实数 k 的取值范围是_解析：tn3(13n)13323n12，所以 tn323n12，则原不等式可以转化为 k2(3n6)3n12n43n恒成立，令 f(n)2n43n，当 n1 时，f(n)23，当 n2 时，f(n)0，当 n3 时，f(n)227，当 n4 时，f(n)481，即 f(n)是先增后减，当 n3 时，取得最大值227，所以 k2

28、27.答案：k2274(创新型)(2020山西太原期中改编)已知集合 px|x2n，nn*，qx|x2n1，nn*，将 pq 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列an，记 sn为数列an的前 n项和，则 a29_，使得 sn1 000 成立的 n 的最大值为_解析：数列an的前 n 项依次为 1，2，3，22，5，7，23，.利用列举法可得，当 n35 时，pq 的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列an，所以数列an的前 35 项分别为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，57，59，2，4，8，16，32，故 a2949.s353030(301)222(

29、251)213022629621 000.当 n36 时，pq 中的所有元素从小到大依次排列， 构成一个数列an， 所以数列an的前 36 项分别为 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，59，61，2，4，8，16，32，s363131(311)222(251)21961621 0231 000.所以 n 的最大值为 35.答案：49355(应用型)(2020重庆八中 4 月模拟)某地区 2018 年人口总数为 45 万实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从 2019 年开始到 2028 年，每年人口总数比上一年增加 0.5 万人，从 2029 年开始到 2038 年，每年人口总数为上一年的 99%.(1)求实施“二孩”政策后第 n 年