2022届高三数学一轮复习（原卷版）第6讲　双曲线

1、第 6 讲双曲线一、知识梳理1双曲线的定义条件结论 1结论 2平面内的动点 m 与平面内的两个定点 f1，f2m 点的轨迹为双曲线f1、f2为双曲线的焦点|f1f2|为双曲线的焦距|mf1|mf2|2a2a|f1f2|注意(1)当 2a|f1f2|时，p 点的轨迹是两条射线；(2)当 2a|f1f2|时，p 点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2y2b21(a0，b0)y2a2x2b21(a0，b0)图形性质范围xa 或 xa，yrya 或 ya，xr对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点a1(a，0)，a2(a，0)a1(0，a)，a2(0，a)渐近线ybaxyabx离心率e

2、ca，e(1，)实虚轴线段 a1a2叫做双曲线的实轴，它的长|a1a2|2a；线段 b1b2叫做双曲线的虚轴，它的长|b1b2|2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双曲线的半虚轴长a、b、c 的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为 yx，离心率为 e 2.常用结论1双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 b.(2)若 p 是双曲线右支上一点， f1， f2分别为双曲线的左、 右焦点， 则|pf1|minac， |pf2|minca.(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a，

3、异支的弦中最短的为实轴，其长为 2a.(4)设 p，a，b 是双曲线上的三个不同的点，其中 a，b 关于原点对称，直线 pa，pb斜率存在且不为 0，则直线 pa 与 pb 的斜率之积为b2a2.2巧设双曲线方程(1)与双曲线x2a2y2b21(a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为x2a2y2b2t(t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为 mx2ny21(mn0)二、教材衍化1双曲线x224y2251 的实轴长_，离心率_，渐近线方程_答案：1075y5 612x2经过点 a(3，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_解析：设双曲线的方程为x2a2y2a21(a0)，把点 a(3

4、，1)代入，得 a28(舍负)，故所求方程为x28y281.答案：x28y2813以椭圆x24y231 的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为_解析：设要求的双曲线方程为x2a2y2b21(a0，b0)，由椭圆x24y231，得焦点为(1，0)，顶点为(2，0)所以双曲线的顶点为(1，0)，焦点为(2，0)所以 a1，c2，所以b2c2a23，所以双曲线标准方程为 x2y231.答案：x2y231一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点 f1(0，4)，f2(0，4)距离之差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线()(2)椭圆的离心率 e(0，1)，双曲线的离心率 e(1

5、，)()(3)方程x2my2n1(mn0)表示焦点在 x 轴上的双曲线()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏常见误区|(1)忽视双曲线定义的条件致误；(2)忽视双曲线焦点的位置致误1平面内到点 f1(0，4)，f2(0，4)的距离之差等于 6 的点的轨迹是_解析：由|pf1|pf2|6|f1f2|8，得 a3，又 c4，则 b2c2a27，所以所求点的轨迹是双曲线y29x271 的下支答案：双曲线y29x271 的下支2坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的斜率为 3，则双曲线的离心率为_解析：若双曲线的焦点在

6、x 轴上，设双曲线的方程为x2a2y2b21，则渐近线的方程为 ybax，由题意可得ba 3，b 3a，可得 c2a，则 eca2；若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为y2a2x2b21，则渐近线的方程为 yabx，由题意可得ab 3，a 3b，可得 c2 33a，则 e2 33.综上可得 e2 或 e2 33.答案：2 或2 33考点一双曲线的定义(基础型)复习指导|了解双曲线的定义及几何图形核心素养：数学抽象(1)(2020河南非凡联盟 4 月联考)已知双曲线 c：x2a2y291(a0)的左、右焦点分别为 f1， f2， 一条渐近线与直线 4x3y0 垂直， 点 m 在 c 上，

7、 且|mf2|6， 则|mf1|()a2 或 14b2c14d2 或 10(2)设 f1，f2是双曲线x24y21 的焦点，点 p 在双曲线上，且满足f1pf290，则f1pf2的面积是_【解析】(1)由题意知3a34，故 a4，则 c5.由|mf2|6ac9，知点 m 在 c 的右支上，由双曲线的定义知|mf1|mf2|2a8，所以|mf1|14.(2)双曲线x24y21 中，a2，b1，c 5.可设点 p 在右支上，由双曲线的定义可得|pf1|pf2|4，两边平方得，|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|16，又|pf1|2|pf2|2(2c)220，所以pf1f2的面积为12|pf

8、1|pf2|1.【答案】(1)c(2)1【迁移探究】(变设问)在本例(2)条件下，则f1pf2的周长为_解析：又(|pf1|pf2|)2(|pf1|pf2|)24|pf1|pf2|16824，所以|pf1|pf2|2 6，pf1f2的周长为 2 62 5.答案：2 52 6双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|pf1|pf2|2a，运用平方的方法，建立|pf1|与|pf2|的关系注意在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一

9、支，则需确定是哪一支1设 f1，f2分别是双曲线 x2y291 的左、右焦点若点 p 在双曲线上，且|pf1|6，则|pf2|()a6b4c8d4 或 8解析：选 d由双曲线的标准方程可得 a1，则|pf1|pf2|2a2，即|6|pf2|2，解得|pf2|4 或 8.2已知 f1，f2为双曲线 c：x2y22 的左，右焦点，点 p 在 c 上，|pf1|2|pf2|，则cosf1pf2_解析：由双曲线的定义有|pf1|pf2|pf2|2a2 2，所以|pf1|2|pf2|4 2，则 cosf1pf2|pf1|2|pf2|2|f1f2|22|pf1|pf2|(4 2)2(2 2)24224 2

10、2 234.答案：34考点二双曲线的标准方程(基础型)复习指导|了解双曲线的标准方程核心素养：数学运算(1)已知圆 c1：(x3)2y21，c2：(x3)2y29，动圆 m 同时与圆 c1和圆 c2相外切，则动圆圆心 m 的轨迹方程为()ax2y281bx28y21cx2y281(x1)dx2y281(x1)(2)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 c 与椭圆x29y241 有相同的焦距，且一条渐近线方程为 x2y0，则双曲线 c 的方程为_【解析】(1)设动圆 m 的半径为 r，由动圆 m 同时与圆 c1和圆 c2相外切，得|mc1|1r，|mc2|3r，|mc2|mc1|26，所以点

11、m 的轨迹是以点 c1(3，0)和 c2(3，0)为焦点的双曲线的左支，且 2a2，a1，c3，则 b2c2a28，所以点 m 的轨迹方程为x2y281(x1)(2)在椭圆x29y241 中，c 94 5.因为双曲线 c 与椭圆x29y241 有相同的焦距，且一条渐近线方程为 x2y0，所以可设双曲线方程为x24y2(0)，化为标准方程为x24y21.当0 时，c 4 5，解得1，则双曲线 c 的方程为x24y21；当0 时，c 4 5， 解得1， 则双曲线 c 的方程为 y2x241.综上， 双曲线 c 的方程为x24y21 或 y2x241.【答案】(1)c(2)x24y21 或 y2x2

12、41求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定 a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：c2a2b2；双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于 2a.(2)待定系数法一般步骤常用设法(i)与双曲线x2a2y2b21 共渐近线的方程可设为x2a2y2b2(0)；(ii)若双曲线的渐近线方程为 ybax，则双曲线的方程可设为x2a2y2b2(0)；(iii)若双曲线过两个已知点， 则双曲线的方程可设为x2my2n1(mn0)或 mx2ny21(mn0)1双曲线 c 的两焦点分别为(6，0)，(6，0)，且经过点(5，2)，则双曲线的标准方程为()ax2

13、20y241bx220y2161cy220 x2161dy220 x241解析：选 b2a|(56)222(56)222|4 5.所以 a2 5，又 c6，所以 b2c2a2362016.所以双曲线的标准方程为x220y2161.故选 b2(2020合肥市第一次质检测)设双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的虚轴长为 4，一条渐近线的方程为 y12x，则双曲线 c 的方程为()ax216y241bx24y2161cx264y2161dx2y241解析：选 a由题意知，双曲线的虚轴长为 4，得 2b4，即 b2，又双曲线的焦点在x 轴上， 则其一条渐近线的方程为 ybax12x， 可得

14、a4， 所以双曲线 c 的方程为x216y241，故选 a考点三双曲线的几何性质(综合型)复习指导|了解双曲线的简单几何性质核心素养：数学运算角度一双曲线的渐近线问题(2020吉林第三次调研测试)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的实轴长是虚轴长的 2倍，则双曲线 c 的渐近线方程为()ay2 2xby 2xcy22xdy24x【解析】双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的实轴长为 2a，虚轴长为 2b，所以 2a2 2b，即 a 2b.所以渐近线方程为 ybax22x.故选 c【答案】c求双曲线的渐近线的方法求双曲线x2a2y2b21(a0，b0)或y2a2x2b21(a0，

15、b0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于 0，即令x2a2y2b20，得 ybax；或令y2a2x2b20，得 yabx.反之，已知渐近线方程为 ybax，可设双曲线方程为x2a2y2b2(a0，b0，0)说明两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于 x 轴，y 轴对称角度二双曲线的离心率问题(1)(2020兰州市诊断考试)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的实轴长为 4，离心率为 3，则其虚轴长为()a8 2b4 2c2 2d4 63(2)(一题多解)(2019高考全国卷)设 f 为双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，o 为坐标原点，以 of 为直径

16、的圆与圆 x2y2a2交于 p，q 两点若|pq|of|，则 c 的离心率为()a 2b 3c2d 5【解析】 (1)由题意知 2a4， 所以 a2.因为 eca 3， 所以 c2 3， 所以 b c2a22 2，所以 2b4 2，即该双曲线的虚轴长为 4 2，故选 b(2)法一： 依题意， 记 f(c， 0)， 则以 of 为直径的圆的方程为xc22y2c24， 将圆xc22y2c24与圆 x2y2a2的方程相减得 cxa2，即 xa2c，所以点 p，q 的横坐标均为a2c.由于pq 是圆 x2y2a2的一条弦，因此a2c2|pq|22a2，即a2c2c22a2，即c24a21a2c2a2b

17、2c2， 所以 c22ab， 即 a2b22ab(ab)20， 所以 ab， 因此 c 的离心率 e1ba2 2，故选 a法二：记 f(c，0)连接 op，pf，则 oppf，所以 sopf12|op|pf|12|of|12|pq|，即12a c2a212c12c，即 c22ab，即 a2b22ab(ab)20，所以 ab，因此 c 的离心率 e1ba2 2，故选 a法三：记 f(c，0)依题意，pq 是以 of 为直径的圆的一条弦，因此 of 垂直平分 pq.又|pq|of|，因此 pq 是该圆的与 of 垂直的直径，所以fop45，点 p 的横坐标为c2，纵坐标的绝对值为c2，于是有 2c

18、2a，即 eca 2，即 c 的离心率为 2，故选 a【答案】(1)b(2)a(1)求双曲线的离心率或其取值范围的方法求 a，b，c 的值，由c2a2a2b2a21b2a2直接求 e.列出含有 a，b，c 的齐次方程(或不等式)，借助于 b2c2a2消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式)求解(2)双曲线的渐近线的斜率 k 与离心率 e 的关系：kbac2a2ac2a21 e21.1(2020黑龙江齐齐哈尔二模)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的焦距为 4 2，且两条渐近线互相垂直，则该双曲线的实轴长为()a2b4c6d8解析：选 b因为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)

19、的两条渐近线为 ybax，两条渐近线互相垂直，所以ba21，得 ab.因为双曲线的焦距为 4 2，所以 c2 2，由 c2a2b2可知 2a28，所以 a2，所以实轴长 2a4.故选 b2(2020甘肃、青海、宁夏联考)若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为 5，则斜率为正的渐近线的斜率为()a32b12c 3d2解析：选 d双曲线的离心率为 5，即ca 5，所以bac2a2a2ca212，所以双曲线的渐近线方程为 y2x，故选 d3(2020陕西榆林二模)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)，左顶点为 a，右焦点为 f，过 f 且垂直于 x 轴的直线与双曲线 c 在第

20、一象限内的交点为 b，且直线 ab 的斜率为12，则 c 的离心率为_解析：把 xc 代入双曲线：x2a2y2b21(a0，b0)得 yb2a，所以 bc，b2a ，又 a(a，0)，直线 ab 的斜率为12，所以b2aac12，可得 a2ac2c22a2，即 2c23a2ac0，即 2e23e0，因为 e1，所以 e32.答案：32基础题组练1(2019高考北京卷)已知双曲线x2a2y21(a0)的离心率是 5，则 a()a 6b4c2d12解析：选 d由双曲线方程x2a2y21，得 b21，所以 c2a21.所以 5e2c2a2a21a211a2.结合 a0，解得 a12.故选 d2若双曲

21、线 c1：x22y281 与 c2：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线相同，且双曲线 c2的焦距为 4 5，则 b()a2b4c6d8解析：选 b由题意得，ba2b2a，c2的焦距 2c4 5c a2b22 5b4，故选 b3 设双曲线 x2y281 的两个焦点为 f1， f2， p 是双曲线上的一点， 且|pf1| |pf2|34，则pf1f2的面积等于()a10 3b8 3c8 5d16 5解析：选 c依题意|f1f2|6，|pf2|pf1|2，因为|pf1|pf2|34，所以|pf1|6，|pf2|8，所以等腰三角形 pf1f2的面积 s128628228 5.4(2020长春市质

22、量监测(一)已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两个顶点分别为 a，b，点 p 为双曲线上除 a，b 外任意一点，且点 p 与点 a，b 连线的斜率分别为 k1，k2，若k1k23，则双曲线的渐近线方程为()ayxby 2xcy 3xdy2x解析：选 c设点 p(x，y)，由题意知 k1k2yxayxay2x2a2y2a2y2b2b2a23，所以其渐近线方程为 y 3x，故选 c5(多选)(2021预测)已知 f1，f2分别是双曲线 c：y2x21 的上、下焦点，点 p 是其中一条渐近线上的一点，且以线段 f1f2为直径的圆经过点 p，则()a双曲线 c 的渐近线方程为 yxb以 f1

23、f2为直径的圆的方程为 x2y21c点 p 的横坐标为1dpf1f2的面积为 2解析：选 acd等轴双曲线 c：y2x21 的渐近线方程为 yx，故 a 正确；由双曲线的方程可知|f1f2|2 2，所以以 f1f2为直径的圆的方程为 x2y22，故 b 错误；点 p(x0，y0)在圆 x2y22 上，不妨设点 p(x0，y0)在直线 yx 上，所以x20y202，y0 x0，解得|x0|1，则点 p 的横坐标为1，故 c 正确；由上述分析可得pf1f2的面积为122 21 2，故 d 正确故选 acd6(2019高考江苏卷)在平面直角坐标系 xoy 中，若双曲线 x2y2b21(b0)经过点(

24、3，4)，则该双曲线的渐近线方程是_解析：因为双曲线 x2y2b21(b0)经过点(3，4)，所以 916b21(b0)，解得 b 2，即双曲线方程为 x2y221，其渐近线方程为 y 2x.答案：y 2x7(2020云南昆明诊断测试改编)已知点 p(1， 3)在双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线上，f 为双曲线 c 的右焦点，o 为原点若fpo90，则双曲线 c 的方程为_，其离心率为_解析：因为双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为 ybax，点 p(1， 3)在渐近线上，所以ba 3.在 rtopf 中，|op| ( 3)212，fop60，所以|o

25、f|c4.又 c2a2b2，所以 b2 3，a2，所以双曲线 c 的方程为x24y2121，离心率 eca2.答案：x24y212128.如图，f1，f2是双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右两个焦点，若直线 yx 与双曲线 c 交于 p，q 两点，且四边形 pf1qf2为矩形，则双曲线的离心率为_解析：由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线 yx 代入双曲线 c 方程，可得 xa2b2b2a2，所以 2a2b2b2a2c，所以 2a2b2c2(b2a2)，即 2(e21)e42e2，所以 e44e220.因为 e1，所以 e22 2，所以 e 2 2.答案： 2 29已知椭圆

26、 d：x250y2251 与圆 m：x2(y5)29，双曲线 g 与椭圆 d 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆 m 相切，求双曲线 g 的方程解：椭圆 d 的两个焦点坐标为(5，0)，(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在 x 轴上，且 c5.设双曲线 g 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，所以渐近线方程为 bxay0 且 a2b225，又圆心 m(0，5)到两条渐近线的距离为 3.所以|5a|b2a23，得 a3，b4，所以双曲线 g 的方程为x29y2161.10 已知双曲线的中心在原点， 焦点 f1， f2在坐标轴上， 离心率为 2， 且过点(4， 10)(1)求双曲线方程；

27、(2)若点 m(3，m)在双曲线上，求证：点 m 在以 f1f2为直径的圆上解：(1)因为离心率 e 2，所以双曲线为等轴双曲线，可设其方程为 x2y2(0)，则由点(4， 10)在双曲线上，可得42( 10)26，所以双曲线的方程为 x2y26.(2)证明：因为点 m(3，m)在双曲线上，所以 32m26，所以 m23，又双曲线 x2y26 的焦点为 f1(2 3，0)，f2(2 3，0)，所以mf1mf2(2 33，m)(2 33，m)(3)2(2 3)2m291230，所以 mf1mf2，所以点 m 在以 f1f2为直径的圆上综合题组练1设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点是

28、 f，左、右顶点分别是 a1，a2，过 f 作a1a2的垂线与双曲线交于 b，c 两点若 a1ba2c，则该双曲线的渐近线方程为()ay12xby22xcyxdy 2x解析：选 c如图，不妨令 b 在 x 轴上方，因为 bc 过右焦点 f(c，0)，且垂直于 x 轴，所以可求得 b，c 两点的坐标分别为c，b2a ，c，b2a .又 a1，a2的坐标分别为(a，0)，(a，0)所以a1bca，b2a ，a2cca，b2a .因为 a1ba2c，所以a1ba2c0，即(ca)(ca)b2ab2a0，即 c2a2b4a20，所以 b2b4a20，故b2a21，即ba1.又双曲线的渐近线的斜率为ba

29、，故该双曲线的渐近线的方程为 yx.2过双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左焦点 f(c，0)作圆 o：x2y2a2的切线，切点为 e，延长 fe 交双曲线于点 p，若 e 为线段 fp 的中点，则双曲线的离心率为()a 5b52c 51d512解析：选 a法一：如图所示，不妨设 e 在 x 轴上方，f为双曲线的右焦点，连接 oe，pf，因为 pf 是圆 o 的切线，所以 oepe，又 e，o 分别为 pf，ff的中点，所以|oe|12|pf|，又|oe|a，所以|pf|2a，根据双曲线的性质，|pf|pf|2a，所以|pf|4a，所以|ef|2a，在 rtoef 中，|oe|2|ef|

30、2|of|2，即 a24a2c2，所以 e 5，故选 a法二：连接 oe，因为|of|c，|oe|a，oeef，所以|ef|b，设 f为双曲线的右焦点，连接 pf，因为 o，e 分别为线段 ff，fp 的中点，所以|pf|2b，|pf|2a，所以|pf|pf|2a，所以 b2a，所以 e1ba2 5.3已知 m(x0，y0)是双曲线 c：x22y21 上的一点，f1，f2是双曲线 c 的两个焦点若mf1mf20，则 y0的取值范围是_解析：由题意知 a 2，b1，c 3，设 f1( 3，0)，f2( 3，0)，则mf1( 3x0，y0)，mf2( 3x0，y0)因为mf1mf20，所以( 3x

31、0)( 3x0)y200，即 x203y200.因为点 m(x0，y0)在双曲线 c 上，所以x202y201，即 x2022y20，所以 22y203y200，所以33y033.答案：33，334(2019高考全国卷)已知双曲线 c：x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点分别为 f1，f2，过 f1的直线与 c 的两条渐近线分别交于 a，b 两点，若f1aab， f1bf2b0，则 c的离心率为_解析：法一：因为f1bf2b0，所以 f1bf2b，如图所以|of1|ob|，所以bf1of1bo，所以bof22bf1o.因为f1aab，所以点 a 为 f1b 的中点，又点 o 为 f1f2的中点，所以 oabf2，所以 f1boa，因为直线 oa，ob 为双曲线 c 的两条渐近线，所以 tanbf1oab，tanbof2ba.因为 tanbof2tan(2bf1o)，所以ba2ab1ab2，所以 b23a2，所以 c2a23a2，即 2ac，所以双曲线的离心率 eca2.法二：因为f1bf2b0，所以 f1bf2b，在 rtf1bf2中，|ob|of2|，所以obf2of2b，又f1aab，所以 a 为 f1b 的中点，所以 oaf2b，所以f1oaof2b.又f1