最新线性代数客观题技术名师精编资料汇编

1、客观题技术1. 选择题技术选择题的目的是考查基础知识和基本概念 (即考察所谓的常识)，因此没有繁杂或困难的题目。对付的办法自然是越简单越好；另外，选择题的特点是四选一，故只要知道其中一个是对的，其余就可以不管了。例 1 下列命题错误的是。A.若 A 和 B 可交换 ,则 AB10 和 BA10 也可交换 ;B.若 A-B 和 A+B 可交换 ,则 A 和 B 也可交换 ; C.若 A和 B可交换,则 AT和 BT也可交换 ;D.若AB和BA可交换,则A和 B也可交换 .解 若每个结论都去辨别真伪， 则一道选择题就变成了 4 道证明题，大大亏本，故需要好办法：常识！当 A 和 B 可交换时，一切

2、与 A，B 有关的矩阵就都可以交换了，因此 A，C 均正确，可以排除；要从 B， D 中选择，有两个办法：一是直接计算A-B 与A+B 的乘积，得(A-B)(A+B)=A 2+AB-BA-B 2，而 (A+B) (A-B)=A 2-AB+BA-B 2, 于 是A2+AB-BA-B 2=A 2-AB+BA-B 2， 从 而2AB=2BA ，故 B 正确，所以选D，但此法显然较麻烦；二是继续发动你的常识：在上矩阵第一节课的时候，老师谆谆教导我们，两个非 0 矩阵 A,B 的乘积 AB 可能等于 0，那时老师没说过AB=BA ，可见，AB=0, 但可能 BA0，故 D 错，选 D！注解：一般而言，当

3、选择题的选项都是“若 ,则 ”之类的命题时，可以选择条件最复杂的选项作为突破口；而且，概率很大地，该选项就是最终的答案。例 2 设 A,B 均为 m×n 矩阵 ,且矩阵方程 AX=B 有解，则必有 。A. r(A)r(B)B. r(A)r(B)C. r(A)>0D. r(B)>0解正解 (力敌 )：由于r(B)=r(AX)minr(A),r(X),故选 B。巧解 (智取 )：如果一时半会想不起来正解，可以从最简单处着手， 同时取 A B0，则方程显然有解， 故 C，D 均错；而 A0，B=0 时方程依然有解，故A 也错，不选B选什么？（不想得分都不可能！）回忆：此法称为排

4、除法。例 3已知 A 为三阶方阵，A3 ，则2 A9 A 1。A.15 B. 9C. 27D.-171解 正解:2A 9A1| A 1 |2AA*9E| 1|6E9E |1| 3E| 1( 3)3933313巧解：令A1，则 A*3，于31313是2A* A9123913,3所11 /1以选 B。此称为特殊值法。 （启示：最简单的就是最漂亮的！ ）例 4 设 n 阶方阵 A 的各行与各列之和均为 0，则.A. A 的秩为 0B. A 的代数余子式全相等C. A 为对称矩阵D. A 的秩小于 n-1解 此题即使高手亦费思量。此时，A 不可逆，故其秩rn-1.如果 r<n-1, 则 A 的所

5、有 代 数 余 子 式 均 为 0 ； 如 果 r=n-1, 则 r(A*)=1 ，且向量 (1,1, ,1)T 是方程 Ax=0 的一个基础解系 ;由于 AA*=0,A* 的列向量均是方程 Ax=0 的解，因此 A* 的每一列中的元素均相等；同理，由于 A*A=0, 故 A* 的每一行均为方程yA=0 的解，而 (1,1,1)是该方程的一个基础解系，故A* 的每一行中的元素均相等 ,从而 A* 的元素均相等； 故应选 B。11巧解：取 A1可知 A,D 均错。满足1aa条件的二阶矩阵均具有形式 A a a ，此时 B,C 均正确。故考虑三阶矩阵。由上面的二101阶矩阵，可令 A101，它显然

6、满足条件，000但非对称矩阵，排除C，选 B！例5设 1,2 ,s , 1 , 2 ,t , 为n 维 向 量 组 ， 且 r ( 1, 2 , s )a,r ( 1 ,2 ,t )b，则r ( 1, 2 , s , 1, 2 , t ).A.abB.abC.maxa, bD.mina, b解 最错的是 D(林子越大鸟越多，怎么可能减少呢？ )。再错的是B(两片林子合在一起，鸟不会比各自的鸟加起来更多：因为有些鸟属于两片林子！)。于是 C 也错 (两片林子合在一起，鸟可能真会比每一片的鸟都多 )。所以选 A。(启示：线性代数实际上是逻辑，是常识，是思想和智慧。 )例 6设 43 矩阵 A 的秩

7、 r(A)=2,102B= 020,则 r(AB)=.103A.0B.1C.2D.3正解 :注意 B 是可逆矩阵，因此 r(AB)=r(A) （可逆矩阵右乘一个矩阵 ,相当于对该矩阵实行一系列列初等变换 ,不改变秩），故选 C.巧解 :你知道最简单的4×3 矩阵吗？好，100就令 A 是这个矩阵，即 A010，计000000102算 AB 可得， AB020，幸福！这个矩000000阵的秩是 2！11例 7设0,1 是线性方程组 Ax=011的解，则系数矩阵A 可以取为。101101202B. 2A 12112341233011101C. 121D.202303123303正解 :该

8、方程组有3 个未知数，而，显然线性无关， 故一个基础解系至少包含2 个向量，从而知道系数矩阵的秩r3-2=1.纵观四个选项，只有 D 的秩1，故选 D。巧解 :容易想到将两个解与代入 ,此时悲剧发生 :因为确实满足A(验证了四次 !),也满足前两个方程 ,此时若将 A 选定 ,则非常不幸 .但注意到和的特殊关系 ,懒人可以用懒办法(此懒办法是思考的结0果 ):1也是方程的解,于是系数矩阵0的第二列必须都是0!130例8(A I)1479 ,设34则2(AI)(AI) 1的特征值之和为.A.10B.20C.23D.83解 正解：特征值之和等于迹即对角线元素之和。 如何求对角线元素之和呢？即使是老

9、老实实做，也不至于去求 AI 以及乘积( AI )( AI ) 1 吧！如果必须要做乘法， 我们当然愿意用 0 矩阵乘，但此处无 0 矩阵；所以我们愿意用单位矩阵乘或用一个矩阵去乘它的逆矩阵，这个愿望看来较为现实。改造 (AI)(AI) 1，可得3 *(A E) 2E(A E) 1E 2(A E)1*15*5,幸福再次降临！选 C。巧解：要求对角线元素之和。故扔掉所用100非对角元素试试：如此，(A I)1070, 而002100300,(AI)0 15/70 ,(AI)0 1/70001于是005/ 2/ 2300故(A E)A(E 1)0150,美丽的线性代数！005例 9 设有三条不同的

10、直线ai xbi yci (i1,2,3) ，它们所组成的线性方程组的系数矩阵的秩为 2，而增广矩阵的行列式等于 -3, 则这三条直线可能的位置关系是 。A.两条重合且与另一条相交B.两两相交但不共点C.均不重合且交于一点D.三条均平行但不重合解 正解：系数矩阵的秩为 2，表明三条直线至少有两条不平行， 故 D 错；增广矩阵的秩为 3，故三条直线均不重合，A 错；另外，由于增广矩阵不等于系数矩阵的秩，故方程组无解，即三条直线不能相交于一点，故C错；选 B.巧解：按题意，选取最简单的三条直线x0如下：y0 ,此时 ,系数矩阵的秩为2,增广x1矩阵的秩为3,恰好对应选项B.例 10若1,2,3,4

11、是齐次方程组AX 0 的基础解系 ,则 AX 0 还有一个基础解系是 。A.12 , 23, 34 , 41B.1 ,23 , 32 ,4C.12,23,34,41D.1,12,123,2解 需要找到四个线性无关的解。显然四个选项中的向量全部为解向量。 但 A 中的向量之和为 0，故线性相关；向量组 B 与题目中的组等价，故为基础解系，选 B.(继续下去有 ,C 中的向量线性相关 :前二者之差等于后二者之差 ;D 中缺少4 ,当然也线性相关.)总结 : 对付选择题 ,尽可以八仙过海， 各显神通 .但基本概念与理论必须融会贯通方能达到美妙的境界。2. 填空题技术首先要明白填空题的目的是考察基本计

12、算能力，仅涉及简单的计算技巧，比选择题要求高， 需要对整个课程的基本内容有较好的了解，方能取得理想的成绩。个别题目可以使用类似于选择题的特殊办法。 但总体属于计算题的范畴，极易失分，须特别仔细。对策 :大多数填空题包含一个简单的技巧 , 通常可以通过恒等变形化成较为简单的形式 .例1 设4×4矩阵A=(,),B=(, ,). 若 |A|=1, |B|=2, 则 行 列 式|A+B|=.正解：|A+B|=|+,+,+,+|=|+,2(+),+,+|=2|+,+,+,+|=2|+,+,+|=2|+,+,|=2|+,|=2(|,|+|,|)=2(|A|+|B|)=6.巧解：正解令人羡慕，但

13、可能想不起来.?000于是令 A=E, 则 B?001.但|B|=2,所以?100?0102000取最简单的0001. 于 是0 100B001000031010B A ,故 AB 6。011011001110D | aij |44351例 2 设2521 ，Ai 2 是 ai 2 的代32214数余子式 (i=1,2,3,4),则Ai 2。i14Ai 2解：i 1就是第二列的代数余子式的和，即将原行列式的第二列统统换为1 所得到的行列式的值，从而11101110451451441514051Ai2221221 5(5 2) 35.21212021i 1321500312130211004例

14、3已知 A1310,则 A=.21 3 0解 此题考查分块矩阵，正交矩阵以及逆矩阵，属于填空题中偏难的题目；但由于可以直接计算，故难度降低 (应出一个四阶矩阵的题目)。分块变形可得004BA113100,是正交矩213C0 则 B031阵 ,C=(2), 从而 C 1=(1/2), B1T22B13, 因220B1C 1此A (A1)10C0B 10 .例 4 若四阶方阵A 的特征 值分别为-1*解 此题考查对特征值的理解 .特征值的性质中最重要 (也是最简单的 )的有两条，即所有特征值的和等于矩阵的迹 (= 对角线元素之和 ),而所有特征值的积等于矩阵的行列式 . 因此 |A|= -6!剩余

15、的就是简单的变形了 :A-1+2A* = A-1 (E+2A A * )= A-1 (E+2|A|E)=-11A -1.故 |A-1+2A * |=|-11A-1|=(-11)4|A-1|=-114/6.本题有巧解， 你想到了吗？对！ 就让 A 是那个满足条件的最简单的矩阵！例 5 设 n×m 矩阵 A 的秩序为 k(<m), 则齐次线性方程组 AX=0 中独立方程的个数有个 ,多余方程有个 ,其基础解系含个解向量。解 此题好.我们平时所讨论的方程组 AX=0 中一般均假定 A 为 m×n 矩阵 ,现在反过来了 .因此概念要清楚 :本题的方程组共有n 个方程 ,m个未

16、知数 .故有 k 个独立的方程 ,n-k 个多余的方程 ,m-k 个解向量 .例 6 若三阶方阵 A 的特征值为 -1,0,1,则与方阵 B=A 3-A+2E相似的对角矩阵为 .正解 需要知道方阵B 的特征值 .因为 B是 A 的多项式 ,所以其特征值是 A 的特征值的相应的多项式的值 ,即 B 的特征值为(-1)3-(-1)+2=2,0 3-0+2=2,1 3-1+2=2, 于 是 所 求矩阵为 2E.巧解 取最简单的 A，即 Adiag-1,0,1,于 是 B=diag-1,0,1-diag-1,0,1+2E=2E,ok.例9设 A， B， C 均为 n 阶方阵且ABC E，则 BT(CA

17、) T = 。正解 由矩阵的转置可知 BT(CA)T =(CAB) T ,所以需要理解 CAB: 由条件知 C 是 AB 的逆矩阵,因此 CAB=E, 所以(CAB)T=E.( 说实话 ,一眼便知此题和矩阵 A， B，C没什么关系 ,因此除了 E 外 ,还有什么可填的 ?)巧解 取 ABCE。为什么不？！例10 若 n 阶方阵 A 满足 A2-2A-E 0，则(A-3E) -1= .2解(A-3E)(A+E)=A -2A-3E=-2E, 所 以-1(A-3E)=-(A+E)/2.( 此种题目的答案显然与A 有关，巧解不适合 .)例11 设1=(2,1,1)T ,2=(-1,2,7)T ,=(1,2,t) T . 若 可由1,2 线性表示，则 t= .解 此时三个向量线性相关，故必有1，2，= 0,即211053053122122122 5(5 t) 0 ,17 t05t 2 00 t 5所以 t=5.例12设齐次线性方程组xyz0x2 ytz0有非零解，则 t 满足的x4 yt 2 z0关系是 。解 此时系数行列式必为0，所以11111111112t01t 10