初中数学论文：运用问题资源优化数学课堂教学

1、/7h运用问题资源优化数学课堂教学【摘要】体现新课程理念的习题与问题，如开放性问题、应用性问题、探究性问题、阅读理解问题、游 戏题等，也是数学课堂的教为资源，在数学课堂数学屮如能有效地利川这些问题资源，融入平常的 数学课堂教学活动的各个坏节，能优化数学课堂教学，同时也培养了7牛的问题意识与处理实际问 题的能力。【关键词】问题资源 优化数学课堂问题意识近几年來，在教材、参考资料、教学刊物以及中考试题中，出现了许多体现新课程理念的习题与问 题，这些习题与问题新颖巧妙、充满了生活气息与时代气息。教学活动离不开各种各样的问题，而习题 是师牛必须面对的最常见的问题，这些意涵丰富的习题与问题也是数学课堂的

2、绝好的教学资源，但是其 教学功能并没有得到数学教师的足够重视。在数学课堂数学屮如能有效地利用这些问题资源,融入平常 的数学课堂教学活动的各个坏节，并引领学牛分析、思考、解决、反思与评价，能收到意想不到的良好 效果，既能优化数学课堂教学，同时也培养了学牛的问题意识与处理问题的能力。以卜是我对一些具体 类型问题的初步思考与运用。一、开放性问题，使学生的思维活起来常见的开放型习题是指题目的条件、结论、解题依据、策略等要索屮缺少一个或两个要索的习题。 开放性问题分为条件开放型、结论开放型、情景开放型、方法策略开放型、综合开放型。在解决这类问 题时，学生需要通过一系列分析，展开发散思维，运川所学知识经过

3、推理，得出止确的结论。在课堂教 学中，提供开放性的习题，让学生思考、讨论，可使得学生都能够根据自己的思考角度、对习题背景的 理解程度，提出一个问题、给出一个结论（猜想）、或提供一种结论之所以成立的解释（证明）等，使学 牛的思维活起來。【例1】如图，山上有一座铁塔，山脚卜有一矩形建筑物abcd,且建筑物周围没有开阔平整地带.该 建筑物顶端宽度力d和高度dc都可直接测得，从力、d、c三点可看到塔顶端可供使用的测量工具 有皮尺、测倾器.（1）请你根据现有条件，充分利卅矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度hg的方案.具体要求如f：测量数据尽可能少;在所给图形上，应出你设计的测量平面图，并将应测数据

4、标 记在图形上（如果测a. d间距离，用m表示；如果测d、c间距 离，用n表示；如果测角，用心队y表示）.（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度hg （川字 母表示，测倾器高度忽略不计）.解析：对于本题，可以有以卜些设计方案。b cgb cgb cg方案1图a方案2图b方案3图c方案1： (1) ill图a (测三个数据)(2)设 hg=x,在 rt/chg 中 cg=x cotp；在 rt/xdhm中 dm=(x-ncoa、4 ecota.x-cotp=(x/7)cota ；. x=cot g - cot 0方案2： (1)如图b (测四个数据)(2 )设 hg=x,在 r5hm 中

5、 am=(x-ncoty；在 rt/dhm 屮 dm=(xn) cota7 + a7 cot 卩 一 77 cot (x.(x”) coty=(x刃) cota + 加,.x=cot/-cot6z方案3： (1)如图c (测五个数据)；(2)参照方案1 (2)或方案2 (2)这是一道探索、方法策略开放型试题，木题町以根据学生解答的不同水平分层次，给予不同的评分 与评价，能体现学生的不同水平，激励学生追求卓越。在课堂教学中，通过开放性问题的教学，培养了学生的发散思维，同时町让学生经历同学间的交流 活动，感受到别人的思维方式和思维过程，以改变自己认识上的单一性。以卜再举2个开放性习题的例 子。【例

6、2】王老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个两数的一个性质：甲：函数图象 不经过第三象限；乙：两数图象经过第一象限；丙：当x<2时，y随x的增大而减小；j*：当x<2时，y>0o已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数是o【例3】洪琼同学编拟了这样一个数学命题：“如果在四边形abcd中，ab=cd、ac=bd,那么四 边形abcd 定是平行四边形s若你认为这个命题的结论成立，请予以证明；若这个命题的结论不一定 成立，请血图举出反例予以说明。二、应用性问题，使课堂充满生活气息应用性习题都有一个相对“真实''的背景，能很好地体现数学

7、来源于生活、又应用于生活的理念。新 课程强调在经历知识的形成与应用过程中，更好地理解数学、发展应用意识和能力：关注学生能否结合 具体情境发现并提出问题，能否尝试从不同角度分析和解决问题，能否解释结果的合理性，能否对解决 问题的过程进行反思等。把应用问题引入平时的课堂教学，讣学住觉得数学是活生生的，住活中随处有数学、需要数学。重 视学住在面对真实情景下解决问题的能力，也能培养学牛对实际问题的领悟能力和建立数学模型并加以 解决的能力。【例1】在天台山石梁景区上山的一条小路上，有-些断断续续的台阶。图a是其中的甲、乙段台阶 路的示意图.请你用所学过的有关统计知识(平均数、屮位数、方差和极差)回答下列

8、问题：图ii中的数宇表示每一 级台阶的高度(单位:吨并且 数 15,16,16.14,14,15 的方蓬 “ 2sl = - 数据 11,15.18.3 17.10.19的方菱乙3（1）两段台阶路有哪些相同点和不同点？（2）哪段台阶路走起來更舒服？为什么？（3）为方便游客行走，需要重新整修上山的小路.对于这两段台阶路，在台阶数不变的情况f，请 你提出合理的整修建议.点评：题中背景是游客上山的小路，具冇很强的现实性，没冇人为编造的痕迹（即使学生对此不很 熟悉，但楼梯总还是见过的，而这样的替换不影响对问题木身的理解）。同时，3个设问将生活中的现彖 （台阶路的平稳）与数学h然地挂上了钩，使学牛经历了

9、一个数学化的过程将对台阶的比较这一现 实问题转化为对两纽数据的比较。【例2】在双休h,三联公司决定组织48名员工到附近一水上公园坐船游园，公司先派了一个人去了 解船只的租金情况，这个人看到的租金价格表如f：船型每只限载人数（人）租金（元）人船53小船32那么，怎样设计租船方案才能使所付租金授少？（严禁超载）【例3】温岭市20名下岗职工在近郊承包50亩土地办农场。这些地町种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表:作物品种每亩地所需职工数每亩地预产值蔬菜1/21100 元烟叶1/3750元小麦1/4600元诘你设计一种种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且

10、使农作物预计总产量最多。 数学应用问题密切联系实际，通过数学建模将数学与应用问题紧紧地结合起来，对以培养学生的问 题意识、应川意识，让学主主动关注身边的实际问题。把这些应川性问题引入课堂，也使我们的数学课 堂充满了牛活气息。三、探究性问题，使学生在课堂里学会研究探究性类习题，包含提出问题、猜想与假设、设计实验、得出结论、反思评价等坏节，在平时教学 屮加以运用,可以使学牛在类似研究的过程屮感受“问题情境一建立模型一求解一解释与应川''的基本过 程，加深对相关数学知识的理解，形成自己的一些研究问题的方法和经验。在课堂屮引入探究性问题，可以使教学具有探究性，使学主从己有的牛活经验岀发

11、，让学牛亲身经 历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，使学牛在数学活动过程中（包括动手操作、思 想实验、推理与交流等），学习思考数学问题的思维方式，加深对相关知识与方法的理解，培养从事探究 与交流的意识和信心，能通过观察、实验、归纳、类比等活动获得数学猜想并寻求证明猜想的合理性。【例1】在数学活动课上，张老师耍求同学们先做卜面的“循环分割”操作，然后再探索规律：如图1, 是一等腰梯形纸片，具腰长与上底长相等，且底角分别为60。和120%按要求开始操作（每次分割，纸片 均不得留有剩余）：炸/、第1次分割：先将原等腰梯形纸片分割成3个全等的正三角形，然示将分割出的一个正三角形分割 成3

12、个全等的等腰三角形；第2次分割：先将上次分割出的3个等腰梯形中的一个分割成3个全等的正三角形；然后将刚分割 出的一个正三角形分割成3个全等的等腰三角形；以后按笫2次分割的方法进行下去（1）请你在图2中画出第一次分割的方案图。（2）若原等腰梯形的而积为a,请你通过操作，观察，将第2次，第3次分割示所得的一个最小 等腰梯形面积分别填入下表：分割次敎（“）123 一个眾小等腰梯形面积（s ）19aa a（3）请你猜想，分割所得的一个最小等腰梯形而积s与分割次数n有何关系？（请直接用含a的式 子表示，不需写推理过程）点评：以“循坏分割"的操作活动为问题情境，让学生经历动手操作、观察、思考、归

13、纳、猜想的过 程，体验探究过程，加深对活动对彖、相关知识与方法的理解，培养探究与交流的能力。【例2】还记得完全平方公式：（a+b） 2=a2+2ab+b2吗？当a, b>0时，完全平方公式可以用下图1 来说明.对下图2进行适当的分割，猜想出（a+b+c） $的展开形式，并给出其推导过程。图1图2【例3】己知：如图1,点c为线段ab上一点，zacm、acbn是等边三角形。求证：an=bmo（1）将厶acm绕c点按逆时针方向旋转180。，使a点落在cb上。请对照原题图在下图屮画出符 合要求的图形（不写作法，保留作图痕迹）。（2）在（1）所得到的图形小，结论“an二bm”是否还成立？若成立，请

14、证明；若不成立，请所明理 由。（3）在（1）得到的图形屮，设ma的延长线与bn相交于d点，请你判断aabd与四边形mdnc 的形状，并证明你的结论。 n四、阅读理解问题，使学生学会阅读学会自学阅读理解问题冇两部分组成：一是阅读材料，二是考杳内容。根据问题类型不同可分为学习型、改 错补全型、归纳概括型、研究型。此类题!=!-般是给出一段材料，要求经过阅读与理解，在此基础上根 据题目的要求作出解答。在课堂屮引入阅读理解问题，可以培养学牛的阅读理解能力，分析推理能力，文字概括能力，书面 表达能力及随机应变能力和知识迁移能力、白学能力。阅读理解问题没有固定的解题模式，这就要求学 牛在获取知识的过程屮，

15、教师不要灌输式地把知识教给学生，而是引导学牛通过白己思考或白学來获得, 将课本知识转化为个人能力，重视发现、形成知识的过程。【例1】阅读下面材料，再回答问题：一般地，如果函数y=f (x)对于自变量取值范围内的任意x, 都有f(一小=_f (x),那么y=f (x)就叫做奇函数；如果函数y=f (x)对于自变量取值范围内的任 意x,都有f (r) =f (x),那么y=f (x)就叫做偶函数.例如:/(x)= x3 + x ,当 x 取任意实数时，/(x)= (-x)3 + (-x)= -x3 - x = -(x3 +x),即 f(_x) =-f (x),所以/ (-x)= -f(x)为奇函数

16、。乂如 f(x)= x，当 x 取任意实数时，/(一兀)=|-x| = |x = /(x),即 f (x) =f (x),所以 f (x) =卜|是偶函数。问题(1)： t列函数中®y - x4 ®y = x2 +1 尹=丄 ®y = yjx+ 1 y = x +丄所有奇甫数是,所有偶函数是(只填序号).问题(2)：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数.解析：这是一道新颖独特的阅读题，它的基本形式可归纳为：“阅读理解应用二阅读：读 懂材料，读懂表格；(2)理解：理解其中的新概念新定义；(3)应用：把阅读材料提供的结论正确地套 用于解题中。答案：(1)奇两数是，偶函

17、数；(2)写出常见的函数：奇函数尹二丄，偶函数卩=兀2。阅读题理解还可以讣学生边读边做边学，向考生展示丰富的数学世界，开拓他们钊视野。【例2】小明是一位刻苦学习、勒于思考、勇于创造的同学.一天，他在解方程时，突然产生了这样 的想法，x2 =-1这个方程在实数范围内无解，如果存在一个数/2=-1,那么方程x2 =-1可以变为 x2 =z2,则x = ±if从而x = ±i是方程%2 =-1的两个根.小明还发现z具有如下性质：z1 = z,z2 = l,z3 = z2 -i = (l)z = i,z4 =(z2)2 =(-l)2 =1,/5 =z4-z = z,z6 =(z2)

18、3 =(_1)3 =_1,f =/6.z=-l,/8=(z4)2=l,请你观察上述筹式，根据你发现的规律填空:,4”+1 二,r+2 =,j4“+3 :=(h为白然数).点评：虚数单位，是数学史上的巨大发现,是对数学陈规的人胆突破.x2 =-1在实数范围内无解己成“定论"，但突破它却有惊人发现，展示了数学世界的丰富多彩，这其小的数学精神力量一定会震撼我 们的学生.五、游戏类问题，使数学课堂情趣盎然爱玩是初屮学牛的天性，游戏题以学生喜爱的游戏活动为载体，也是近年数学习题的一个亮点，它 贴合学生的犬性，止学生快乐活泼地主动学习。在数学课堂中引入游戏类的习题与问题，能是学生学得 兴趣勃勃，使我们的数学课堂情趣盎然、充满魅力。【例1(数字游戏)有一种数字游戏，可以产生“黑洞数"，操作步骤如下：第一步，任意写出一个 白然数(以下称为原数)；第二步，再写一个新的三位数，它的百位数字是原数中偶位数字的个数，十位 数字是原数小奇数数字的个数，个位数字是原数的位数；以下每一步，都对上一步得到的数，按照第二步的规则继续操作，直至这个