坐标变换在光学材料中的应用

1、坐标变换在光学材料中的应用李世超摘要：本文从书中晶体部分的坐标变换开始讨论，解释其在化简张量过程中的作用。而后从线性变换延伸到一般坐标变换，介绍坐标变换思想在新型光学材料中的应用，并举出经典例子，最后讨论有关逆介电张量示性面是折射率椭球的问题。说到坐标变换，我们最先想到的是什么？也许我们中的很多人首先想到用它来化简具有复杂形式的事物，比如用变量之间的关系把一个复杂的偏微分方程化简成简单的形式，再比如把我们所在的惯性参考系变换到一个非惯性的参考系，以简化复杂物体的运动。我们在光学晶体部分也同样利用了坐标变换的简化功能，用其化简了很多张量。这里我认为不能忽视诺伊曼原理的作用，因为书中化简张量的过程

2、有以下暗含的逻辑：晶体的几何对称要素包含在物理性质的对称性之中（诺伊曼原理），而晶体张量反映晶体的物理性质，那么经过相应对称变换后的晶体张量应该不变。这里用一个例子来解释一下。假设晶体在Z方向有一个四次轴，那么晶体绕Z方向旋转90°之后，它与旋转之前对于当前坐标系是没有区别的，其在当前坐标系下的张量应当是不变的。这样的思想我们怎么用数学语言描述呢？这里坐标变换的方法给我们提供了方便。下图均是俯视图，在(a)中我们要观察的A点坐标是（1,0）；图（2）把整个晶体顺时针旋转90°后其坐标变成了（0，-1）；图（3）则把xy坐标系逆时针旋转90°，即作一个旋转变换成为x

3、y坐标系，这时A点的坐标在新的坐标系下也为（0，-1）。可以说，如果忽略xy的撇号，我们可以认为旋转材料和旋转坐标系是等价的。因此，我们对原坐标系进行旋转变换之后，就意味着材料进行了旋转，所得的张量应该不变。以压电张量为例，进行上述变换坐标之间满足关系 光学材料与元件制造,叶辉,394页：x'y'z'=01-1000001xyz而新坐标系下的晶体的压电系数满足：dijk'=aikajlakmdklm这里aij是变换矩阵的元素，可以说确定对称变换之后我们只能得到上式，而进一步能让我们化简张量的，是由诺伊曼原理：dijk'=dijk这样张量元素之间的关系才被

4、联系起来，从而实现了化简的功能。请注意，到这里我们接触的坐标变换都是线性的，数学上它们满足可加性和齐次性：(1)a11a12a21a22a13a23a31a32a33x1y1z1+x2y2z2=a11a12a21a22a13a23a31a32a33x1y1z1+a11a12a21a22a13a23a31a32a33x2y2z2(2)a11a12a21a22a13a23a31a32a33kx1y1z1=ka11a12a21a22a13a23a31a32a33x1y1z1，k是一个常数在几何上它们满足线性性质，也就是旧坐标空间中的一条直线在新坐标空间中仍然是一条直线。然而，一般的坐标变换并不一定是

5、线性的，正是因为这种非线性的特殊作用，又衍生出了近年的研究热点变换光学（Transformation optics）和超材料（Metamaterial），为光学材料的发展提供一种新思路。光在不同坐标系下的传播规律由麦克斯韦方程在不同坐标系下的形式决定。设变换前后的坐标矢量为：x'=x1'x2'x3',x=x1x2x3它们用变换函数相联系：x'=trans(x)注意这里的变换不一定是线性的，原坐标系里的一条直线在新坐标系里也许就是曲线。为了更清楚地展示，这里用二维变换的例子说明。假设xy平面变换到xy平面，某些点的旧坐标和新坐标如下表：(x,y)(1,1)

6、(2,2)(3,3)(4,4)(5,5)(xy)(2,4)(3,9)(4,16)(5,25)(6,36)这个简单的变换可以由x=x+1,y=x'2决定,变换前后的曲线如下图：如果我们把变换前后的线理解为光的传播轨迹，那么这就说明一个空间中光的复杂轨迹可以用坐标变换转换成另一个空间的直线传播，这给我们任意控制光的方向提供了理论工具。如果我们变换前后的两个空间中的介质参数满足一定关系，那么我们就能根据原空间（光直线传播的空间）的材料（均匀介质）计算出新空间的材料，实现在新空间中对光的控制。这正是光学隐身材料和其它电磁波控制材料的重要思想，这种计算出的新材料，也就是所谓的metamateri

7、al，成为了一些研究者致力于实现的目标。幸运的是，理论上变换前后这种材料之间的关系确实是存在的 On cloaking for elasticity and physical equations with a transformation invariant form。变换前后坐标中的麦克斯韦方程具有形式不变性，对一个单色光波而言，在变换前有麦克斯韦方程：×E+iH=0, ×H-iE=0在新坐标系中也可以获得如上形式的关系：×E'+i'H'=0, ×H'-i'E'=0只要满足'=AuATA,'

8、;=AATA,E'=AT-1E,H'=AT-1H可以代入验算。这里的,均是张量，其元素均是坐标的函数，A是变换函数的Jacob矩阵，即Aij=xi'xj(i,j=1,2,3)以上的形式不变性意味着，如果在原空间中电磁波传播在本构参数为,的介质中，那么在变换后的坐标空间中电磁波将传播在本构参数为','的介质中，且变换前后介质的对应关系完全由坐标变换决定。然后，我们用一个二维电磁能聚焦器的例子来展示这种思想的应用。下图是新旧坐标的变换图，旧空间的蓝色和黄色区域在坐标变换下分别被映射到新空间的红色和绿色区域。假设光在旧空间中直线传播，那么在蓝色区域的光线在新坐

9、标空间中会被限制在红色区域，也就实现了能量的汇聚。用最简单的线性拉伸和压缩变换即可实现 Design of electromagnetic cloaks and concentrators using form-invariant coordinate transformations of Maxwells equations，设r，r为矢径： 线性压缩：r=(R1/R2)*r,0r<R1 线性拉伸：r=R3-R1R3-R2r-R2-R1R3-R2R3, r,R1r<R3变换关系确定之后，根据前面的叙述，材料参数就唯一确定了。可以用Matlab画出变换前后两空间的光线轨迹，如下所示

10、：可见，在新坐标空间中光能更多汇聚在半径R1的小圆范围内，实际上需要制作的材料是两个圆围成的圆柱壳，只要这个圆柱壳的材料参数满足计算结果，就能在内部实现能量聚焦。用计算出的材料参数在电磁场仿真软件中建模，也可以获得能量聚焦的结果。如下图所示：最后，用书上的一个问题结束对坐标变换的讨论。书上75页下方说（5-36）式只有在主坐标系中才成立。下面我用本文的坐标空间变换的思想来对这句话给出理解。假设在我们所在的三维空间已知逆介电常数张量的一般形式：=b11b12b13b21b22b23b31b32b33我们需要简化其表达，假设我们用一种坐标变换将其变换为对角形式'=b1'000b2&

11、#39;000b3'由于介电常数张量定义上是其逆矩阵,则：'=1'10001'20001'3=1n1'20001n2'20001n3'2注意，根据前面的讨论，坐标变换在化简张量形式的同时，也引入了空间的变化。这里由张量互逆关系求出的张量表示是在变换后的坐标系进行的，所以这里的介电常数和折射率均应带上撇号。所以，对于“逆介电张量的示性面是折射率椭球”这句话，我们可以进行以下讨论：1.如果在主轴坐标系，张量本就具有对角形式，那么这句话就直接成立。2.如果拿到一个复杂的张量，简单地说“把它对角化了之后它的示性面就是折射率椭球了”不太严谨

12、。严格地说，化简后张量的示性面是新空间的“折射率”椭球，这里的“折射率”跟原来空间的折射率不一定有简单关系，也不能对原来空间的光传播产生直接影响。【参考文献】1.光学材料与元件制造，叶辉，浙江大学出版社2. Milton G.W., Briane M., Willis J.R. On cloaking for elasticity and physical equations with a transformation invariant form. New Journal of Physics, 2006,8:248. 3. Rahm M., Schurig D., Roberts D.A.

13、, et al. Design of electromagnetic cloaks andconcentrators using form-invariant coordinate transformations of Maxwells equations. Photonics and Nanostructures-Fundamentals and Applications, 2008,6(1): 87-95.附：二维电磁能汇聚器matlab程序rays_num=20;light_position_y=linspace(-5,5,rays_num);light_position_x=-5:0.

14、005:5;R1=1;R2=2;R3=3;x_data=zeros(rays_num,length(light_position_x);y_data=zeros(rays_num,length(light_position_x);r_data=zeros(rays_num,length(light_position_x);ang_data=zeros(rays_num,length(light_position_x);x2_data=zeros(rays_num,length(light_position_x);y2_data=zeros(rays_num,length(light_posit

15、ion_x);r2_data=zeros(rays_num,length(light_position_x);ang2_data=zeros(rays_num,length(light_position_x);for i=1:rays_numx_data(i,:)=light_position_x;endfor i=1:rays_numfor j=1:length(light_position_x) y_data(i,j)=light_position_y(i);endendhold on for i=1:rays_num plot(x_data(i,:),y_data(i,:);endtit

16、le('Before transformation');for i=1:rays_numfor j=1:length(light_position_x) r_data(i,j)=sqrt(x_data(i,j)2+y_data(i,j)2);endendfor i=1:rays_numfor j=1:length(light_position_x) ang_data(i,j)=atan(y_data(i,j)/x_data(i,j); if x_data(i,j)<0 ang_data(i,j)=ang_data(i,j)+pi; endendendfor i=1:ray

17、s_numfor j=1:length(light_position_x) if r_data(i,j)>=R1&&r_data(i,j)<=R2 r2_data(i,j)=(R1/R2)*r_data(i,j); end if r_data(i,j)>=R2&&r_data(i,j)<=R3 r2_data(i,j)=(R3-R1)/(R3-R2)*r_data(i,j)-(R2-R1)/(R3-R2)*R3; end if r_data(i,j)>R3 r2_data(i,j)=r_data(i,j); end endendfor i=1:rays_numfor j=1:length(light_position_x)x2_data(i,j)=r2_data(i,j)*cos(ang_data(i,j);y2_data(i,j)=r2_data(i,j)*sin(ang_da