23关于求数列的通项公式方法作者：04-3努再提古丽尼牙孜指导教师：阿布拉热孜

1、编号烁盯岬敦.审加学士学位论文关于求数列的通项公式方法学生姓名：努再提古丽尼牙孜学 号:20040101012系 部： 数学系专业：数学与应用数学年级：2004-3班扌旨导教师：阿布拉热孜克完成日期：2009年5月10 日bachelor s thesis中文摘要在学习数列时，如果我们把一个数列的各项之间的内在规律搞清楚，那么我 们就能抓住最重要的信息來把握整个数列。木论文先提出数列，数列的通项公式, 等差数列，等比数列的定义；然后举一些具体的例子，进一步叙述等差数列，等 比数列的通项公式以及求数列的通项公式的常见方法。关键词：数列，通项，公式，项，求法，系数，待定。中文摘要1弓丨言31 基本

2、概念32.求数列通项公式的常见方42.1等差数列的通项公式42.2等比数列的通项公式52.3观察法62.4分类法72.5归纳，猜想法92.6逐差法92.7递推法112.8换元法122.9待定系数法122. 10取倒数法133 总结14参考文献15致谢16引言数列的通项公式是一个数列的第项与项数之间的函数关系，知道了数列 的通项公式就可以求岀数列的每一项，即这个数列就是确定的，因此求数列的通 项公式是解数列问题的突破口，关键点。木文我将着重研究等弟数列和等比数列的通项公式的求法以及求数列的通 项公式的几种常见方法。1.基本概念定义1:按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做这个 数

3、列的项，齐项依次叫做这个数列的第一项，（或首项），第二项，第川项，。数列的一般形式可以写成“勺心,®,简记作%,其小色是数列的第 n项。定义2：如果数列绻的第斤项陽与项数间的关系可以用一个公式來表 示，那么这个公式就叫做数列的通项公式。定义3：如果一个数列，从第二项起，每一项减去它前一项所得的差都等于 一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做这个等差数列的公差，通常 用字母d表示。定义4：如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常 数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q來表不。2.求数列通项公式的常见方法数列不仅有着广泛的实际

4、应用，而且它与中学数学的许多内容有着密切联 系。所以掌握数列的通项公式的求法，有助于学生理解数列的概念以及数列与函 数关系，有利于培养学生的创造力，观察力和思维能力，提高学生学习数学的兴 趣。下面探求等差数列和等比数列的通项公式以及求数列通项公式的几种常见方 法。2.1等差数列的通项公式根据等差数列的定义，对丁公差为d的等差数列坷卫2，偽，為，有= q +d= °2 + d =（。】+ d） + d =+ 2d% =色 + d = （a】+ 2d） + d = % + 3d依次类推，就可以得到等并数列的通项公式：an = d + （n - l）d例1：求数列丄迥,_玄,的通项公式？2

5、x33x4 4x55x6解：注意观察数列的各项的分了，分母构成规律及各项符号的规律。 此数列的分子是v1, v3, v5, >/7,.显然在根号下的数字构成等差数列，故第斤项的分子应为j1 + （斤 - 2） 2 = j2斤-1分母中的数字，第一位置的为2,3,4,5,成等差数列故第个分母的第一位置应为2 + （ 一 1） = +1又每个分数的分母由两个数的乘积构成，第二个位置上的数字比第一个位置 上的数字多1，故第项分母应为再看各项的符号，是一正一负相间出现，且第一项为正，故第斤项的符号为综上分析可知2n-(n +1)(/1 + 2)(n w n*)2.2等比数列的通项公式对于公比为g

6、的等比数列an9有a2 = aqa3 = a2q = （a、q）q = aq2a4 = a3q = （aq2）q = aq3依次推类，就得到等比数列的通项公式41色=叩例2：已知等比数列%中a】=1,且an+ = 2an + 1 (n g at)求通项公式陽。 解： i q”+i = 2a+1 o w at)二 +2 = 2 色+ + 1相减得陽+2一色+1 =2(。曲一)上式表明an+1-an是以°2-纠=2为首项，以2为公比的等比数列, 于是陽+ = 2an +1代入上式得：an =t- gm)2. 3观察法观察各项的特点，观察数列中各项与其序号间的关系，分解各项中的变化部 分与

7、不变化部分，再探索各项中变化部分与序号间的关系，从而归纳出构成规律 写出通项公式，关键是找岀各项与项数之间的关系。例3：写出下列数列的通项公式。(1) 1,-1,1,-1 丄z 5 13 33 81解:(1)因为可看出各项的符号，是一正一负相间出现，所以原函数可改写 为(»,(1)3,(1)4,(1冗故此数列的一个通项公式为j = (-1)曲(2) 原数列可改写为1 + 1,2 + *,3 + £4 +右5 + £即口j以写成1+务故其通项公式为廿+占2. 4分类法数列%可以分成两类，一类是由奇数项组成的数列 °2”-1 ，°3，°5

8、，°2“-1 > 另一类是由偶数项组成的数列a2n:色卫4,%，。如果上述两 个数列的通项公式可以求出，口分别为：a2n- = f(n) (n = 1,2,3,.)a2n =g() (n = 1,2,3,.)例4在数列%中,若a】=1且+ +% = n(n = 1,2,3,.)求数列的通项公 式。解：i+%f5+=一色0) an + an_ =n-/. an=n-l-an_x (2)由和得q曲=1 + %bachelor s thesis色=1 + an_2(i) &为奇数吋,勺利用公式(3)得:"2时，n = 3 即k = 3 时，n = 5 即k = 4

9、时，n = 7 即=°2«-1 (k 2)坷=1偽=1 + d =1 + 1 = 2；a5 = 1 + a? =1 + 2 = 3：a7 =1 +。5 =1 + 3 = 4曲此口j知 an =k又 仇=a2k-x=> =2£ -1 n 丿.n + lc =2an a2k_ = k -n +1200(11) 为偶数时,j = 伙2)由公式得:利用公式(3)得：k = 2 时，7? = 4 即k = 3 时,n = 6 即r = 4 时，n = s 即a4 =1 +。2 =1 + 0 = 1；= 1 += 1 +1 = 2 ；= 1 +=1 + 2 = 3；由此

10、可知修士拷性捡夂bachelor，s thesis j = a2k斤为奇数g 1,2,3,)冷为偶数(n = 1,2,3,.)n + 1因此数列匕的通项公式为：an= 2122.5归纳，猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规 律，归纳猜想岀数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。例5.在数列色中,坷=2, an+l = an2 -nan+l求通项公式。 解： = 2,a”+ = an2 一 natl +1由已知口j算出a2 =3 a3 = 4 a4 =5 ,猜想:an =n + 2. 6逐差法有些数列，其构成规律较难发现，若我们能从所给定的前面若干项，逐次求

11、 出它的差数列（后项减前项所得到的差构成的数列），最后得到一个等差或等比 数列，则由此倒推冋去，就能找到原数列的通项公式。bachelor s thesis例6 求数列6, 9, 14, 23, 40, 的通项公式。解：设此数列为讣 其差数列为他（即%的第一差数列），又设仇的差数列为-（即仏的第二差数列）则他仇严色）：3,5,9,17,.匕n=bn+i-bn） :2, 4, 8,cn是一等比数列,且于是：bn-bn_=cn_=t-xbn_-bn_2=cn_2=2n-2b3b2=c2=b、= c、= 21匕式依次相加得： bn b = 2 + 22 4- 23 2" 1叽=2"

12、; +1从而有：an - an_x = bn_x = 2/,_i +1an- - an-2 = bn-2 =+ 1= b° =2 +1a2 a = b、=2 + 1上式依次相加得： a】=(2 + 2 + 2" 1) + n 1ctn =2" + + 32. 7递推法利用已知数列的递推公式求出数列的通项公式。例7数列由递公式(n + 2)(n + l)an+2 - n2an = 0所确定，而.=0,=1, 求通项公式。解：为了逐项计算，变换递推公式得：_ n2a，l+2 (n + 2)(n +1)u，1则(21)2 c5+1 =孑°九_1 =02a+1(

13、2"l)2a 八然而4二二0,因此(根据完全归纳法原理)：曲此式可知，所有奇数号码的各项都等于0,事实上，若a2k_ = 0=吆+】=0现在计算吆我们有递推公式:2k2勺知2_(r + i)(2r+i)°于是,2现在证明2*4-6(2r 1 1% _ 357.(2r_1) i(心)事实上，假定公式对于色斤是正确的，则对于。2知2得2k 2*4*6(2k_ 2) 1伙+ 1)(2p+1) 357(21) 2_246(2k_2)2k1_357(2a_l)(2a + l)tn公式即然对印正确，所以对于比 2时的任意叫都正确。2. 8换元法当给出递推关系求时，主要掌握通过引进辅助数

14、列能转化成等差或等比数列的形式。例8已知数列匕的递推关系为严2色+1,且q=l求通项公式色。解:色+ =2色+ 1 q“+i +1 = 2(% +1)bn = cln + 1则辅助数列仇是公比为2的等比数列bn = b&z 即 an +1 = (a+ 1)于一"=2n= t-12. 9待定系数法由给定的条件确定通项公式中的待定系数，这种方法称为待定系数法。例9在等比数列屮，已知口2= 1&。4=8，求通项公式 解：等比数列的通项公式为：an = axqnx,将已知 = 18,a4 = 8 代入得: 卜旷=18 (1)仏广=8 (2)解此方程组得：ax = ±

15、27=±l2 ? % = (±27)x(±-)w-! =(±l)mx27x(护】。2.10取倒数法数列有形如心= 0的关系,可在等式两边同乘以一,先anan-求出丄，再求得陽。例10已知 d = 1,勺+1 =，求 d“。”+313解：由已知可得=+1+15令 丄=仇，贝ij bn+x = 3bn +1,然后用待定系数法求解，可得:3"-12 23”一13 总结木文讨论了关于求数列的通项公式的儿种常见方法，这些方法我们可以按需 要选用，但这些方法不一定适合数列的所有类型，除了我着重讨论的这些方法之 外，还有别的求数列通项公式的方法，需要我们研究

16、。这里要得说明数列的通项公式不只是一个，一个数列可能有多个通项公式。木文所讨论的关于求数列的通项公式的方法是中学数学的重要内容它 不仅有着广泛的实际应用，而且进一步学习极限和高等数学时要经常用到，所 以学习这部分内容有助于加强对中学数学的整体认识。参考文献1 初等代数研究教程，主编林国泰，暨南大学出版社，1996年8月第一 版,518页。2 屮学数学解题方法（代数部分），主编谭光宙，丁家泰，赵素兰，北 京师范大学出版社，257-263页。3 屮学数学教学辞典，主编郑启明，浙江科学技术出版社，1992年2月 第一版，346页。4 高三总复习经典学案（数学卷），总编刘林雄，湖南大学出版社,108-111 页。5 金牌奥赛高级教程（高一数学），总主编耿立志，科学技术出版社， 86-90 页。6 高中数学复习指导，钱永耀主编，辽宁人民出版社，1982年6月第一 版，119页。7 屮学数学手册，【苏联】