第二类曲线积分的计算

1、 第二类曲线积分的计算作者：钟家伟 指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分1 引言 本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。1.2第二类曲线积分的计算方法 介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法

2、，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。2.1第二类曲线积分的物理学背景力场沿平面曲线从点A到点B所作的功一质点受变力的作用沿平面曲线运动,当质点从之一端点移动到另一端时,求力所做功.大家知道,如果质点受常力的作用从沿直线运动到,那末这个常力所做功为 =. 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线作分割,即在内插入个分点与=一起把曲线分成个有向小曲线段 ,记小曲线段的弧长为.则分割的细度为.设力在轴和轴方向上的投影分别为与,那么=由于则有向小曲线段在轴和轴方向上的投影分别为.记=从而力在小曲线段上所作的功= +其中(

3、)为小曲线段上任一点,于是力沿所作的功可近似等于 =当时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 2.2 第二型曲线积分的定义 设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上的函数,对任一分割,它把分成个小弧段；其中=.记各个小弧段弧长为,分割的细度为,又设的分点的坐标为,并记 , . 在每个小弧段上任取一点,若极限存在且与分割与点的取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上的第二类曲线积分,记为或 也可记作 或 注：(1) 若记=,则上述记号可写成向量形式:.(2) 倘若为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,为定义在上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲

4、线的第二类曲线积分,并记为按照这一定义 , 有力场沿平面曲线从点到点所作的功为.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ,定积分是第二型曲线积分中当曲线为轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场沿空间曲线所作的功. 为空间曲线上的第二型曲线积分 .2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念设函数在平面P(x，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点将曲线L从起点A到B分为n个有向小弧的长度，作和式 。记，若极限存在，且对曲线L的分点及点 的选取方式无关，则称此极限为函数P(x,y)按从A到B的方向沿曲线L对坐标x的曲线积分，记作的曲线积分 记作，其中P（x，y）

5、称为被积函数，L称为被积路径，对坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。类似的，设函数Q（x，y）在xy平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线L（AB）上有定义且有界。若对于L的任意分法和的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值为函数Q（x，y）按从A到B的方向沿曲线L对坐标Y的曲线积分，记作2. 2 第二类曲线积分的参数计算法 首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 第二类曲线积分就是 （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的，是一小段弧的弧长，总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的坐标的增量，与是可正可负的。当积分的路径反向时，不变，而

6、，反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。设曲线的参数方程为 则第一类曲线积分的计算公式为 这里要注意，即对的定积分中，下限比上限小时才有，也就有，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿上的点由A变到B，即t的下限对应曲线积分的起点A，他的上限对应曲线积分的起点A，t的上限对应终点B。 在计算中总要用到曲线的参数方程，这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为 有些较简单的曲线可取或为参数，即可由直角坐标方程。 例如，直线，取可由直角坐标

7、方程得出参数方程。例如，直角，取为参数，参数方程即为 又如，抛物线，取为参数，参数方程为 例1 设为以为顶点的三角形边界，计算（1） （2） ，沿逆时针方向。解：（1）这是第一类曲线积分。线段的参数方程为线段的参数方程为.线段的参数方程为所以（2） 这是第二类曲线积分。在这个例子中，必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法，尤其是方向性问题。2.3 利用格林公式计算第二类曲线积分 设D是由分段光滑的曲线围成的连通有界闭区域，函数，在其上有一阶连续偏导数，则有格林公式 其中取正向。格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的，格林

8、公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中，在许多公式的推导中，在曲线积分的计算中，格林公式都是很重要的工具。这里再列举两个计算曲线积分的例子。例2. 用格林公式计算例1中（2）的第二类曲线积分。解： 显然，这个积分满足格林公式的条件。用格林公式，这比例1中的解法简单一些。例3. 计算第二类曲线积分 其中为从A（-2,0）到B（2,0）沿椭圆的上半部分的曲线。解：不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式。增加沿轴的线段而成为封闭曲线。 此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算。2.4 利用对称性计算第二类曲线积分定理1 设为平

9、面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为。记分别为位于轴的上半部分与下半部分，分别在上的投影方向相反，函数在上连续，那么1） 当关于为偶函数时，则 2） 当关于为奇函数时，则 证明：依定理条件不妨设从点变到点从点变到点于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有 故1）当关于为偶函数时，有2） 当位于为奇函数时，有 注1 对于有定理1的结论注2 定理1可用两句口诀来简言之，即“反对偶零”“与反对奇倍”。其中“反”指在轴上的投影方向相反；“对”指关于轴对称；“偶”指被积函数在上关于为偶函数；“零”指曲线积分的结果等于零。口诀“反对奇倍”涵义类似解释。 关于曲线积分还有另一个对称性的

10、结论是 定理2 设为平面上关于轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程为，记分别为位于轴的右半部分，分别在轴上的投影方向相同，函数在上连续，那么1） 当关于为奇函数时，则 2） 当关于为偶函数时，则证明： 依定理条件不妨设从点0变到从点变到0.于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有 对右端第2个积分，令，有 因此有 故1）当在上关于为奇函数时，有2） 当在上关于为偶函数时，有 注1 对于有类似2的结论。注2 定理1与定理2虽然都是对坐标的曲线积分，但定理1中积分曲线弧的对称性及其投影都是针对轴而言的，而定理2积分曲线弧的对称性及其投影是分别针对轴和轴而言的。另外，被积函数的奇偶性也是分别针对不同的变

11、量而言的，故定理2的结论恰好与定理1相反，定理2用口诀简言之是：“同对奇零倍”。其中“同”指分别在轴的投影方向相同，“对”指关于轴对称“奇”指被积函数关于为奇函数，“零”指曲线积分结果等于零“同对偶倍”的涵义类似解释。例4 计算.其中为抛物线 从点到上的一段弧。解：以题设条件知，该曲线积分满足定理1中“反对奇倍”的结论，故有，其中，从点0变到1.例5 计算其为按逆时针方向从点到点的上半圆周。解可将原式改写为3个曲线积分的代数和，即，依题设条件分析知，等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2中“同对偶倍”、“同对奇零”及及定理1的注1中“反对偶乘零“的结论，故有其中，从点变到0.2.5

12、利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分 斯托克斯（Stokes）公式建立了沿空间双侧曲面S的积分与沿S的边界曲线L的积分之间的联系。在介绍下述定理之前，先对双侧面S的侧与边界L的方向作如下规定：设有人站在S上指定的一侧，若沿L行走，指定的侧总在人的左方，则人的前进方向为边界L正向；若沿L行走，指定的侧总在人的右方，则人的前进方向为边界线L的负向，这个规定方法也称为右手法则，如下图所示。定理3 设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线，若函数P,Q,R在S（连同L）上连续，且有一阶连续偏导数，则 （2）其中S的侧面与L的方向按右手法则确定。公式（2）称之此公式为斯托克斯公式。证明： 先证 （3）其中

13、曲面S由方程确定，它的正侧法线方向数为，方向余弦为，所以若S在平面上投影区为，L在平面上的投影曲线记为，现由第二类曲线积分定义及格林公式有因为所以由于从而综合上述结果，便得所要证明的（3）式。同样对于曲面S表示和时，可得 （4）和 （5）将（3）、（4）、（5）三式相加即得斯托克斯公式（2）。 如果曲线S不能以的形式给出，则用一些光滑曲线把S分割为若干小块，使每一小块能和这种形式表示，因而这时斯托克斯公式也能成立。为了便于记忆，斯托克斯公式也常写成如下形式：例1， 其中C为椭圆若从轴正向看去，此椭圆是依次反时针方向进行的。解：椭圆如图所示，把平面上所包围的区域记为S，则S的法线方向为，注意到S的法线和曲线C的方向是正向联系的，可知S的法线与轴正向的夹角为锐角，因此，于是由斯托克斯公式知例2 ，式中C是曲线此曲线是如下进行的：由它所包围在球处表面上的最小区域保持在左方如图所示。解： 注意到球面的法线的方向余弦为由斯托克斯公式有由于曲面S关于平