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文档简介
1、用坐标法巧解物理竞赛题在近年的全国物理奥赛中, 经常考查一些与摩擦角相关的问题。由于摩擦力的特殊性, 使得对这一类竞赛题的分析和解答过程变得非常的复杂,例如第二十届全国复赛试题中(例一题),在其标准解答中,不仅利用了物体不发生滑动的条件,共点力的平衡条件,而且还利用了非共点力的平衡条件,共建立了十五个方程,二十三个等式。为了使解决此类摩擦角问题的方法更加简单和程序化,作者根据摩擦角与全反力所在直线的斜率存在着特殊的关系,向大家介绍一种新的解法“坐标法”,例一、 (第二十届全国复赛试题) 有一半径为 r 的圆柱体 a,静止在水平地面上,并与竖直墙面接触。现另一质量与a 相同,半径为 r 的较细圆
2、柱体 b,用手扶着圆柱体a,将 b 放在 a 的上面,并使之与墙面相接触, 如图示, 然后放手。已知圆柱体 a 与地面的静摩擦系数为0.20,两圆柱体之间的静摩擦系数为0.30。若放手后,两圆柱体能保持图示的平衡,问圆柱体b 与墙面间的静摩擦系数和圆柱体b 的半径 r 的值各应满足什么条件?解:设 a、b 与墙面间的静摩擦系数分别为1和3,接触点分别为c、d;a、b 之间的静摩擦系数为2,接触点为 e。对圆柱体 a, 由于重力 ga与地面对圆柱体 a 的全反力 f1相交于 c,根据三力会交原理,所以b 对 a 的全反力 f2必过 c 点,根据牛顿第三定律, a 对 b 的全反力 f2一定过圆柱
3、体 b 的顶点 h。如图甲所示:(1) 、以圆柱体 b 为研究对象,由于重力gb与 f2相交于圆柱体b 的顶点 h,所以墙面对 b 的全反力 f3一定过 h 点。如图乙所示:由图乙可知,全反角3=45o又tan3331(2) 、如图乙所示,以 o2为坐标原点,建立直角坐标系,则各点坐标为:h、 (0,r); c、 (rr),22)()(rrrrr直线 ch 的斜率为:kch=rrrrrrrr22)()(又tan2=chk12222)()(rrrrrrrr解得:r0.29r (1) (3)、以 a、b 两个圆柱体组成的系统为研究对象,由于墙面对b的全反力 f3与系统的重力 gab相交于 p点,
4、所以地面对圆柱体a 的全反力 f1一定过 p点。如图丙所示:则:f3的直线方程: y=x+r gab的直线方程: x=21(rr) 由以上两式得交点p的坐标为:xp=21(rr) yp=21(r+r) 则 f1的直线斜率:kcp=)(21)()()(2122rrrrrrrrr又tan1=cpk11122)()()(21)(21rrrrrrrrr解得: rr91(2) 比较(1) 、 (2)两式可得: r r 0.29r 例二、一梯子长为 l,斜靠在竖直的墙壁上,梯子的倾角为,与水平地面间的静摩擦系数为1,与竖直墙面间的静摩擦系数为为2,不计梯子的重力,求:重为g 的人沿梯子能上升的最大高度。解
5、:以梯子和人组成的系统为研究对象,如图所示,建立直角坐标系:地面对梯子的全反力f1的直线方程:y=1tan1(xlcos ) (1)竖直墙面对梯子的全反力f2的直线方程:y=tan2x +lsin(2)梯子 ab 的直线方程:y=tan (xlcos )(3)当人达最高时,梯子将要滑动,此时有:tan1=1tan2=2代入上式由(1) 、 (2)两式可得 f1与 f2的交点 p坐标为:xp=2111)sin(cosl代入(3)式得人达到的最大高度为:y=)cos(sin1tan2211l=)coscossin(1sin2211l令 h=lsin则:y=)(tan12211h=h2121tan讨
6、论: (1)当 tan11时,yh,说明人可到达梯子的顶端, 即:ymax=l sin。 也 就 是 说 , 梯 子 的 倾 角 大 于 某 一 临 界 角0时(tan0=11) ,梯子会处于自锁状态。这种情况在实际中正是人们所希望的,因此人们通常把梯子放得陡一些,使得人无论爬到梯子的任何位置,梯子都将因自锁而不至滑倒,而且梯子与水平地面间的静摩擦系数1越大,临界角0就会越小,梯子会更容易实现自锁状态。(2) 、当 tan11时,yh,说明人不能到达梯子的顶端,即:ymax=h2121tan如果此题考虑到梯子的重力, 则上述结果便是人与梯子系统重心的最大高度,根据系统重心的计算公式,也可计算出人沿梯子上升的最大高度。
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