第五章 第1讲　开普勒三定律与万有引力定律-2025高三总复习 物理（新高考）

三年考情开普勒行星运动定律2022·湖南卷·T8、2022·浙江1月选考·T8、2021·全国甲卷·T18、2021·天津卷·T5、2021·北京卷·T6、2021·福建卷·T8万有引力定律及其应用2023·浙江6月选考·T9、2023·山东卷·T3、2023·辽宁卷·T7、2022·全国乙卷·T14、2022·辽宁卷·T9、2022·河北卷·T2、2022·广东卷·T2、2021·全国乙卷·T18、2021·山东卷·T5人造卫星宇宙速度2023·浙江1月选考·T9、2023·新课标卷·T17、2023·湖南卷·T4、2023·湖北卷·T2、2023·江苏卷·T4、2022·湖北卷·T2、2022·山东卷·T6、2021·湖南卷·T7命题规律目标定位本章主要考查开普勒行星运动定律、万有引力定律的理解及应用，人造卫星的发射、运行、回收及宇宙速度的理解及应用，命题常与现代航天技术的实际情境相联系，常以选择题形式呈现。第1讲开普勒三定律与万有引力定律[课标要求]1．通过史实了解开普勒行星运动定律和万有引力定律的发现过程。2．知道万有引力定律，认识发现万有引力定律的重要意义。3．认识科学定律对探索未知世界的作用。4．掌握计算天体质量和密度的方法。考点一开普勒定律的理解开普勒定律内容图示或公式开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等开普勒第三定律所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等eq\f(a3,T2)＝k，k是一个与行星无关的常量自主训练1开普勒三定律的理解(多选)如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，下列说法中正确的是()A．太阳处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上B．火星绕太阳运行过程中，速率不变C．土星比地球的公转周期大D．地球和土星分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等答案：AC解析：根据开普勒第一定律可知，太阳处在每颗行星运动的椭圆轨道的一个焦点上，故必然处在八大行星的椭圆轨道的一个公共焦点上，故A正确；根据开普勒第二定律可知，火星绕太阳运行过程中，在离太阳较近的位置运行速率较大，在离太阳较远的位置运行速率较小，故B错误；由题图可知土星轨道的半长轴比地球轨道的半长轴长，根据开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k可知，土星比地球的公转周期大，故C正确；根据开普勒第二定律可知，同一颗行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，而地球和土星不是同一颗行星，二者分别与太阳的连线在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。故选AC。自主训练2开普勒第二定律的应用如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是()学生用书第90页A．夏至时地球的运行速度最大B．从冬至到春分的运行时间为公转周期的eq\f(1,4)C．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则eq\f(a3,T2)＝k，地球和火星对应的k值是不同的D．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上答案：D解析：根据开普勒第二定律可知，地球与太阳中心的连线在相同时间内扫过的面积相等，根据S＝eq\f(1,2)r·vΔt，可知地球近日点离太阳最近，地球在近日点的运行速度最大，地球在远日点离太阳最远，地球在远日点的运行速度最小，故夏至时地球的运行速度最小，故A错误；根据对称性可知，从冬至到夏至的运行时间为公转周期的eq\f(1,2)，由于从冬至到春分地球的运行速度大于从春分到夏至地球的运行速度，可知从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故从冬至到春分的运行时间小于公转周期的eq\f(1,4)，故B错误；根据开普勒第三定律可知，所有绕太阳转动的行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，则有eq\f(a3,T2)＝k，其中k与中心天体的质量有关，地球和火星都是绕太阳转动，故地球和火星对应的k值相同，故C错误；根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故D正确。故选D。自主训练3开普勒第三定律的应用(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为()A．6×105m B．6×106mC．6×107m D．6×108m答案：C解析：在火星表面附近，对于绕火星做匀速圆周运动的物体，有mg火＝meq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))R火，得Teq\o\al(2,1)＝eq\f(4π2R火,g火)，根据开普勒第三定律，有eq\f(Req\o\al(3,火),Teq\o\al(2,1))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l近＋2R火＋l远,2)))\s\up8(3),Teq\o\al(2,2))，代入数据解得l远≈6×107m，故C正确。对开普勒定律的三点理解1．开普勒定律除了适用于行星绕太阳的运动，同样适用于月球(人造卫星)绕地球的运动等天体系统。2．由开普勒第二定律可得eq\f(1,2)Δl1r1＝eq\f(1,2)Δl2r2，即eq\f(1,2)v1Δtr1＝eq\f(1,2)v2Δtr2，解得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，在近日点速度最大，在远日点速度最小。3．开普勒第三定律eq\f(a3,T2)＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能适用于环绕同一中心天体的运动天体。考点二万有引力定律的理解1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比。2．表达式：F＝Geq\f(m1m2,r2)，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定。3．适用条件(1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。【高考情境链接】(2023·江苏高考·改编)如图所示，“嫦娥五号”探测器静止在月球平坦表面处。已知探测器质量为m，四条腿与竖直方向的夹角均为θ，月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的eq\f(1,6)。判断下列说法的正误：(1)“嫦娥五号”探测器受到月球的万有引力大小为mg。(×)(2)“嫦娥五号”探测器受到月球的万有引力方向一定指向月球的中心。(√)(3)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F＝Geq\f(m1m2,r2)计算物体间的万有引力。(×)(4)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。(×)学生用书第91页1．万有引力与重力的关系地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是产生重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力Fn，如图所示。(1)在赤道上：Geq\f(Mm,R2)＝mg1＋mω2R。(2)在两极：Geq\f(Mm,R2)＝mg0。(3)在一般位置：万有引力Geq\f(Mm,R2)等于重力mg与向心力Fn的矢量和。2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例)(1)地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mg＝Geq\f(Mm,R2)，得g＝eq\f(GM,R2)。(2)地球上空某高度h处的重力加速度g′由于mg′＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，得g′＝eq\f(GM,（R＋h）2)。3．万有引力定律的“两个推论”(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。(2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M)对它的万有引力，即F＝Geq\f(Mm,r2)。考向1万有引力定律的应用(2023·山东高考)牛顿认为物体落地是由于地球对物体的吸引，这种吸引力可能与天体间(如地球与月球)的引力具有相同的性质、且都满足F∝eq\f(Mm,r2)。已知地月之间的距离r大约是地球半径的60倍，地球表面的重力加速度为g，根据牛顿的猜想，月球绕地球公转的周期为()A．30πeq\r(\f(r,g)) B．30πeq\r(\f(g,r))C．120πeq\r(\f(r,g)) D．120πeq\r(\f(g,r))答案：C解析：设地球半径为R，由题知，地球表面的重力加速度为g，则有mg＝Geq\f(M地m,R2)，月球绕地球公转有Geq\f(M地m月,r2)＝m月eq\f(4π2,T2)r，r＝60R，联立有T＝120πeq\r(\f(r,g))，故选C。考向2重力与万有引力的关系(多选)万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来。用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，引力常量为G，将地球视为半径为R、质量分布均匀的球体。下列说法正确的是()A．在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北极上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F2＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)D．在赤道上空高出地面h处称量时，弹簧测力计读数为F3＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)答案：AC解析：在北极地面称量时，物体不随地球自转，万有引力等于重力，则有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正确；在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上物体随地球一起自转所需要的向心力，则有F1＜Geq\f(Mm,R2)，故B错误；在北极上空高出地面h处称量时，万有引力等于重力，则有F2＝Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故C正确；在赤道上空高出地面h处称量时，万有引力大于重力，则弹簧测力计读数F3＜Geq\f(Mm,（R＋h）2)，故D错误。考向3不同天体表面万有引力的比较火星的质量约为地球质量的eq\f(1,10)，半径约为地球半径的eq\f(1,2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为()A．0.2 B．0.4C．2.0 D．2.5答案：B解析：万有引力表达式为F＝Geq\f(Mm,r2)，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值为eq\f(F火,F地)＝eq\f(M火req\o\al(2,地),M地req\o\al(2,火))＝0.4，故B正确。学生用书第92页考向4地球表面某高度处与地表下某深度处重力加速度的比较如图是某矿区打出的一口深度为d的水井，如果质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球可以看作是质量分布均匀的球体，地球半径为R，则水井底部和离地面高度为d处的重力加速度大小之比为()A．eq\f(R－d,R) B．eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R3)C．eq\f(R2－d2,R) D．eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R2)答案：B解析：根据万有引力定律得，地球表面上的重力加速度为g＝eq\f(GM,R2)，设离地面高度为d处的重力加速度为g′，由万有引力定律有g′＝eq\f(GM,（R＋d）2)，两式联立得g′＝eq\f(R2g,（R＋d）2)。在地面上质量为m的物体，根据万有引力定律有Geq\f(Mm,R2)＝mg，从而得g＝eq\f(Gρ·\f(4,3)πR3,R2)＝Gρ·eq\f(4,3)πR；根据题意，球壳对其内部物体的引力为零，则水井底部的物体只受到其以下球体对它的引力，同理有g″＝eq\f(GM′,（R－d）2)，式中M′＝ρ·eq\f(4,3)π(R－d)3，联立得g″＝eq\f(R－d,R)g。所以eq\f(g″,g′)＝eq\f(（R2－d2）（R＋d）,R3)，故B正确。考点三天体质量和密度的计算1．利用“天体表面的重力加速度g和天体半径R”——“自力更生法”(1)由Geq\f(Mm,R2)＝mg，得天体质量M＝eq\f(gR2,G)。(2)天体密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)。2．利用绕行天体的“周期和轨道半径”——“环绕法”(1)由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，得天体的质量M＝eq\f(4π2r3,GT2)。(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πr3,GT2R3)。(3)若卫星绕天体表面附近运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝eq\f(3π,GT2)，可见，只要测出近地卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。考向1“自力更生法”计算天体质量和密度某人在地球表面以某一竖直速度跳起，其重心可上升的高度为0.5m，假设该人以同样的速度在水星表面竖直跳起，其重心可上升1.3m，而在火星表面同样可上升1.3m。已知地球的半径为R，水星的半径约为0.38R，火星的半径约为0.53R，可估算出()A．火星的质量为水星质量的eq\f(53,38)倍B．火星与水星的密度相等C．地球表面的重力加速度是水星表面重力加速度的eq\r(,2.6)倍D．火星的第一宇宙速度是水星第一宇宙速度的eq\r(,\f(53,38))倍答案：D解析：根据g＝eq\f(v2,2h)，因人以同样的速度在火星和水星上跳起的高度相等，可知g火＝g水，根据Geq\f(Mm,R2)＝mg，可得M＝eq\f(gR2,G)，eq\f(M火,M水)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R火,R水)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(53,38)))2，选项A错误；根据ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g,4πGR)，可得eq\f(ρ火,ρ水)＝eq\f(R水,R火)＝eq\f(38,53)，选项B错误；根据g＝eq\f(v2,2h)，可得eq\f(g地,g火)＝eq\f(h火,h地)＝eq\f(1.3,0.5)＝2.6，选项C错误；根据meq\f(v2,R)＝mg，可得v＝eq\r(,gR)，可得eq\f(v火,v水)＝eq\r(,\f(R火,R水))＝eq\r(,\f(53,38))，选项D正确。考向2“环绕法”计算天体的质量和密度(2023·辽宁高考)在地球上观察，月球和太阳的角直径(直径对应的张角)近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为()A．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 B．k3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2C．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T1,T2)))2 D．eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2答案：D解析：设月球绕地球运动的轨道半径为r1，地球绕太阳运动的轨道半径为r2，根据Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，可得Geq\f(m地m月,req\o\al(2,1))＝m月eq\f(4π2,Teq\o\al(2,1))r1，Geq\f(m地m日,req\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))r2，其中eq\f(r1,r2)＝eq\f(R月,R日)＝eq\f(R地,kR日)，ρ＝eq\f(m,\f(4,3)πR3)，联立可得eq\f(ρ地,ρ日)＝eq\f(1,k3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2，故选D。学生用书第93页对点练．(多选)已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。你能计算出()A．地球的质量m地＝eq\f(gR2,G)B．太阳的质量m太＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,2),GTeq\o\al(2,2))C．月球的质量m月＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,1),GTeq\o\al(2,1))D．太阳的平均密度ρ＝eq\f(3π,GTeq\o\al(2,2))答案：AB解析：对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g＝Geq\f(m地m0,R2)，所以地球质量m地＝eq\f(gR2,G)，故A正确；地球绕太阳运动，有Geq\f(m太m地,Leq\o\al(2,2))＝m地eq\f(4π2,Teq\o\al(2,2))L2，则m太＝eq\f(4π2Leq\o\al(3,2),GTeq\o\al(2,2))，故B正确；同理，月球绕地球运动，能求出地球质量，无法求出月球的质量，故C错误；由于不知道太阳的半径，不能求出太阳的平均密度，故D错误。运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。应用1．有一质量为M、半径为R的密度均匀的球体，在距离球心O为3R的地方有一质量为m的质点。先从M中挖去一半径为eq\f(R,2)的球体，如图所示，则剩余部分对质点的万有引力大小为()A．Geq\f(Mm,9R2) B．Geq\f(Mm,4R2)C．Geq\f(41Mm,450R2) D．Geq\f(7Mm,36R2)答案：C解析：半径为R的密度均匀的完整球体对距离球心O为3R的质点产生的万有引力为F＝Geq\f(Mm,r2)＝Geq\f(Mm,（3R）2)，挖去部分的质量为M′＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)·eq\f(4,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,2)))eq\s\up8(3)＝eq\f(1,8)M，挖去部分对质点产生的万有引力为F1＝Geq\f(M′m,r′2)＝Geq\f(\f(1,8)Mm,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2R＋\f(1,2)R))\s\up8(2))＝eq\f(1,50)Geq\f(Mm,R2)，则剩余部分对质点的万有引力大小为F′＝F－F1＝Geq\f(41Mm,450R2)，故选C。应用2．如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起。若挖去的小球的球心、球外小球的球心、大球的球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为(已知引力常量为G)()A．0.01eq\f(GM2,R2) B．0.02eq\f(GM2,R2)C．0.05eq\f(GM2,R2) D．0.04eq\f(GM2,R2)答案：D解析：由题意知，所挖出小球的半径为eq\f(R,2)，质量为eq\f(M,8)，则未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为F＝Geq\f(M×\f(M,8),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R＋\f(R,2)))\s\up8(2))＝eq\f(GM2,18R2)，将所挖出的其中一个小球填在原位置，填入左侧原位置小球对球外小球的万有引力为F1＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),（2R）2)＝eq\f(GM2,256R2)，填入右侧原位置小球对球外小球的万有引力为F2＝Geq\f(\f(M,8)×\f(M,8),R2)＝eq\f(GM2,64R2)，则大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为F3＝F－F1－F2≈0.04eq\f(GM2,R2)，故D正确。课时测评22开普勒三定律与万有引力定律eq\f(对应学生,用书P392)(时间：45分钟满分：60分)(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)(选择题每题5分，共60分)1．某行星沿椭圆轨道绕太阳运行，如图所示，在这颗行星的轨道上有a、b、c、d四个点，a、c在长轴上，b、d在短轴上。若该行星运动周期为T，则该行星()A．从a到b的运动时间等于从c到d的运动时间B．从d经a到b的运动时间等于从b经c到d的运动时间C．a到b的时间tab＞eq\f(T,4)D．c到d的时间tcd＞eq\f(T,4)答案：D解析：由开普勒第二定律可知，行星在近日点的速度最大，在远日点的速度最小，行星由a到b运动时的平均速率大于由c到d运动时的平均速率，而弧长ab等于弧长cd，故从a到b的运动时间小于从c到d的运动时间，同理可知，从d经a到b的运动时间小于从b经c到d的运动时间，A、B错误；从a经b到c的时间和从c经d到a的时间均为eq\f(T,2)，可得tab＝tda＜eq\f(T,4)，tbc＝tcd＞eq\f(T,4)，C错误，D正确。2．如图所示，1、2分别是A、B两颗卫星绕地球运行的轨道，1为圆轨道，2为椭圆轨道，椭圆轨道的长轴(近地点和远地点间的距离)是圆轨道半径的4倍。P点为椭圆轨道的近地点，M点为椭圆轨道的远地点，TA是卫星A的周期。则下列说法正确的是()A．B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球的引力将先增大后减小B．地心与卫星B的连线在eq\r(2)TA时间内扫过的面积为椭圆面积C．卫星B的周期是卫星A的周期的8倍D．1轨道圆心与2轨道的一个焦点重合答案：D解析：根据万有引力定律有F＝Geq\f(Mm,r2)，可知B卫星在由近地点向远地点运动过程中受到地球的引力逐渐减小，A错误；根据开普勒第三定律得eq\f(R3,Teq\o\al(2,A))＝eq\f(（2R）3,Teq\o\al(2,B))，解得TB＝2eq\r(2)TA，所以地心与卫星B的连线在eq\r(2)TA时间内扫过的面积小于椭圆面积，B、C错误；1轨道圆心在地心，2轨道的一个焦点也在地心，所以二者重合，D正确。3．(2023·江苏高考)设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道。该卫星与月球相比，一定相等的是()A．质量B．向心力大小C．向心加速度大小D．受到地球的万有引力大小答案：C解析：根据Geq\f(Mm,r2)＝ma可得a＝eq\f(GM,r2)，因该卫星与月球的轨道半径相同，可知向心加速度相等；因该卫星的质量与月球质量不同，则向心力大小以及受地球的万有引力大小均不相等。故选C。4．(2022·山东高考)“羲和号”是我国首颗太阳探测科学技术试验卫星。如图所示，该卫星围绕地球的运动视为匀速圆周运动，轨道平面与赤道平面接近垂直。卫星每天在相同时刻，沿相同方向经过地球表面A点正上方，恰好绕地球运行n圈。已知地球半径为地轴R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，则“羲和号”卫星轨道距地面高度为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,2n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))答案：C解析：地球表面的重力加速度为g，根据牛顿第二定律得Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得GM＝gR2，根据题意可知，卫星的运行周期为T′＝eq\f(T,n)，根据牛顿第二定律，万有引力提供卫星运动的向心力，则有Geq\f(Mm,（R＋h）2)＝meq\f(4π2,T′2)(R＋h)，联立解得h＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(gR2T2,4n2π2)))eq\s\up8(\f(1,3))－R，故选C。5．(多选)(2021·福建高考)两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖。他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示。图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率(离心率)约为0.87。P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120AU(太阳到地球的距离为1AU)，S2的运行周期约为16年。假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出()A．S2与银河系中心致密天体的质量之比B．银河系中心致密天体与太阳的质量之比C．S2在P点与Q点的速度大小之比D．S2在P点与Q点的加速度大小之比答案：BCD解析：设椭圆的长轴为2a，两焦点的距离为2c，则偏心率0.87＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(c,a)，且由题知Q与O的距离约为120AU，即a－c＝120AU，由此可得出a与c。由于S2是围绕致密天体运动，根据万有引力定律，Geq\f(Mm,r2)＝mω2r，即Geq\f(M,r2)＝ω2r，与m无关，可知无法求出两者的质量之比，故A错误；根据开普勒第三定律有eq\f(a3,T2)＝k，式中k是与中心天体的质量M有关，且与M成正比，所以，对S2围绕致密天体运动有eq\f(a3,Teq\o\al(2,S2))＝k致∝M致，对地球围绕太阳运动有eq\f(req\o\al(3,地),Teq\o\al(2,地))＝k太∝M太，两式相比，可得eq\f(M致,M太)＝eq\f(a3Teq\o\al(2,地),req\o\al(3,地)Teq\o\al(2,S2))，因S2的半长轴a、周期TS2、日地之间的距离r地、地球围绕太阳运动的周期T地都已知，故由上式，可以求出银河系中心致密天体与太阳的质量之比，故B正确；根据开普勒第二定律有eq\f(1,2)lPRP＝eq\f(1,2)lQRQ，则有eq\f(1,2)vPtRP＝eq\f(1,2)vQtRQ，eq\f(1,2)vPeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))＝eq\f(1,2)vQeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))，解得eq\f(vP,vQ)＝eq\f(a－c,a＋c)，因a、c已求出，故可以求出S2在P点与Q点的速度大小之比，故C正确；S2不管是在P点，还是在Q点，都只受致密天体的万有引力作用，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,r2)＝ma，解得a＝eq\f(GM,r2)，因P点到O点的距离为a＋c，Q点到O点的距离为a－c，解得eq\f(aP,aQ)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c))2)，因a、c已求出，故可以求出S2在P点与Q点的加速度大小之比，故D正确。故选BCD。6．(2023·安徽蚌埠一模)如图所示，哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度大小为v1，加速度大小为a1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，加速度大小为a2，则()A．eq\f(v1,v2)＞eq\r(\f(r2,r1)) B．eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))C．eq\f(a1,a2)＝eq\f(veq\o\al(2,1)req\o\al(2,2),veq\o\al(2,2)req\o\al(2,1)) D．eq\f(a1,a2)＝eq\f(r2,r1)答案：A解析：由于哈雷彗星做的不是圆周运动，在近日点做离心运动，在远日点做近心运动，因此不能通过万有引力充当向心力计算其在近日点和远日点的线速度之比，需通过开普勒第二定律求解，设在极短时间Δt内，在近日点和远日点哈雷彗星与太阳中心的连线扫过的面积相等，即有eq\f(1,2)v1Δt·r1＝eq\f(1,2)v2Δt·r2，可得eq\f(v1,v2)＝eq\f(r2,r1)，故eq\f(v1,v2)＞eq\r(\f(r2,r1))，故A正确，B错误；对近日点，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,req\o\al(2,1))＝ma1，对远日点，根据牛顿第二定律有Geq\f(Mm,req\o\al(2,2))＝ma2，联立解得eq\f(a1,a2)＝eq\f(req\o\al(2,2),req\o\al(2,1))，故C、D错误。故选A。7．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为()A．1－eq\f(d,R) B．1＋eq\f(d,R)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R－d,R)))eq\s\up8(2) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(R,R－d)))eq\s\up8(2)答案：A解析：如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝Geq\f(Mm,R2)，又M＝ρ·eq\f(4,3)πR3，故g＝eq\f(4,3)πρGR；设矿井底部的重力加速度为g′，图中阴影部分所示球体的半径r＝R－d，则g′＝eq\f(4,3)πρG(R－d)，联立解得eq\f(g′,g)＝1－eq\f(d,R)，故A正确。8．中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，首次实现了无缆无人潜水器万米坐底并连续拍摄高清视频影像。若把地球看成质量分布均匀的球体，且球壳对球内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，则下列关于“海斗一号”下潜所在处的重力加速度大小g和下潜深度h的关系图像可能正确的是()答案：D解析：设地球的质量为M，地球的半径为R，“海斗一号”下潜h深度后，以地心为球心、以R－h为半径的球体的质量为M′，则根据密度相等有eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(M′,\f(4,3)π（R－h）3)，由于球壳对球内任一质点的万有引力为零，根据万有引力定律有Geq\f(M′m,（R－h）2)＝mg，联立以上两式并整理可得g＝eq\f(GM,R3)(R－h)＝－eq\f(GM,R3)h＋eq\f(GM,R2)，由该表达式可知D正确，A、B、C错误。9．(2024·四川成都模拟)将一质量为m的物体分别放在地球的南、北两极点时，该物体的重力均为mg0；将该物体放在地球赤道上时，该物体的重力为mg。假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R，已知引力常量为G，则由以上信息可得出()A．g0小于gB．地球的质量为eq\f(gR2,G)C．地球自转的角速度为eq\r(\f(g0－g,R))D．地球的平均密度为eq\f(3g,4πGR)答案：C解析：设地球的质量为M，物体在赤道处随地球自转做圆周运动的角速度等于地球自转的角速度，轨道半径等于地球半径，物体在赤道上受到的重力和物体随地球自转所需的向心力是万有引力的分力，有Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，物体在两极受到的重力等于万有引力，即Geq\f(Mm,R2)＝mg0，所以g0＞g，故A错误；在两极有Geq\f(Mm,R2)＝mg0，解得M＝eq\f(g0R2,G)，故B错误；由Geq\f(Mm,R2)－mg＝mω2R，mg0＝Geq\f(Mm,R2)，解得ω＝eq\r(\f(g0－g,R))，故C正确；地球的平均密度ρ＝eq\f(M,V)＝eq\f(\f(g0R2,G),\f(4,3)πR3)＝eq\f(3g0,4πGR)，故D错误。10．如图为“天问一号”探测器进入火星停泊轨道(如图所示的椭圆轨道)示意图。若火星可视为半径为R的质量均匀分布的球体，轨道的近火点P离火星表面的距离为L1，远火点Q离火星表面的距离