矩阵的秩的若干等价刻画-学士论文

1、编号矩碎的佚的若干等价刻画学生姓名学 号系 部专 业_年 级指导教师完成日期年 月曰嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis摘要木文从行列式、线性空间、线性方程组、线性变化、相抵标准型、向量、矩 阵的等价及分解等各个角度来刻画矩阵的秩,进而用这些命题来证明与矩阵的秩 有关的一些命题.关键词：矩阵;秩;等价刻画several equivalent characterizations of matrix rankabstractfrom the determinant，linear space, linear equations，linear transformation， offset

2、standard，vectors，matrices，equivalence and decomposition of various angles to characterize the rank of matrix，and thus to prove these propositions and rank of the matrix relating to a number of propositions-key words： matrix; rank; equivalent characterization;嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis嫉1abstract 1引言31.

3、 预备知识31.1矩阵的基本概念31.2矩阵秩的求法51.3矩阵的相关定理72. 矩阵的秩的等价描述73. 关于秩的命题（i） 114. 关于秩的命题（ii） 125. 颜21参考文献24卽射25嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis引言矩阵的秩是线性代数的一个根本内容，它形容了矩阵的一个计算特征,也是矩 阵的重耍性质之一.在区分向量组的线性相关性，求矩阵的特征值，线性方程组有无 解，在多项式，维数空间以及空间几何中等各个层次都有普遍的作用.之前高朝邦和 祝宗山在论文llj中写了矩阵的秩的等价描述的命题，并给出了相关的证明.本文 从行列式、线性空间、线性方程组、线性变换、相抵标准型、

4、向量、矩阵的等价 及分解等各个角度来描写矩阵的秩的若干命题，并用这些命题来证实与矩阵的秩 有关的一些命题.希望通过这些等价命题加深对线性代数的理解，对更好的掌握矩 阵的秩的这一层次的理解起到帮助，使之在以后的数学学习中得到启发.1.1矩阵的基本概念定义1. 1. 1数域尸屮mxn个数七(/ = 1，2,，= 1，2,排列成的m行n列数 表，记做_a2a22a2n 參參攀<aml am2 - amn >称为mxn矩阵，还可以记成或等.设a =()是mxs的一个矩阵，b = (/?.)是一个sx/2的矩阵，将a和b的乘x j v z5x/i积称为c = ，其中 f mxncij = a

5、iaj 4- ai2b2j+(z二 1，2, m; y = 1，2,，n) k=i负矩阵a = (aij)mxnf则a的负矩阵为-4 =(-七嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis矩阵减法 a b = a-(b) = (a. bv i .定义1. 1.23设a =，数a与矩阵的乘积4被记为aa,根据向量的数乘 ” f mxn运算，显然有注:矩阵的加法运算、数乘矩阵运算都称为矩阵的线性运算，它们与行列式的运 算定义区别很大.矩阵的线性运算满足下列八条运算律(设/l，b，c，o皆是同型矩阵，a，/，为数). 矩阵加法的交换律：(2) 矩阵加法的结合律：(a + fi) + c = a +

6、 (b + c)(3右加零矩阵律：a-o=a(4) 右加负矩阵律：a + (-a)=o(5) 1乘矩阵律：m二/1(6) 数乘矩阵的结合律：a(/a)= (a/) a(7) 矩阵对数加法的分配律：(乂 + /)/i =/l4 + /m(8) 数对矩阵加法的分配律：a(a + b) = zm + afi定义1.1.3(4阶子式:设a = 在a中任意取行列交错处的元素，然v j mxn后按原来相应位置组成的k(<k< minm,n)阶行列式，被称为a的一个阶子式.例 1.1 a12 3-1 4 56210-1-14x3共冇c32c=3x - = 18个二阶子式，并含冇4个三阶子式，矩阵

7、a的第一、三行，第二、四列交错处的元素所形成的二阶子式为2-10-1，而d31 2 3 4 5 6 1 0 -1为a的一个三阶子式.因而，mxn矩阵a总共有«个阶子式.定义1. 1.45令a =有z阶子式不为0,任意r + 1阶子式(若存在的话)全 y hnxn嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis为0，则z被称为矩阵a的秩，可记成/?(4或rank(或秩).规定:零矩阵的秩为0.注意：(1)例如，卜r,则4中至少有一个z*阶子式£)、矣0,全部r + 1阶子式等于0，且更高阶子式均为0,那么r是a屮不等于零的子式的最高阶数.(2) r(a) = r(at).(3

8、) /?(a)< min m , /? .(4) 若卜0,则/?(a) = "反之,如=则|a卜0 因此，/?(a) =打是方阵a可逆的充要条件.(5) 矩阵行向量的秩被称为矩阵的行秩；矩阵列向量的秩被称为矩阵的列秩.(6) 向量组的线性极大无关组中所具有向量的个数被称为这个向量组的秩.1.2矩阵秩的求法2 3 4"2 7 0，求0 0 0、/1.2.1子式判别法(定义)例1.2设阶梯形的矩阵0解由于bl=li $p0,存在一个二阶子式不等于0,然而任何三阶子式都等于 0,则 7?(s) = 2.结论:阶梯形矩阵的秩就是非零行的行数.1 2 3 0、12、rl 10、

9、rl 2 5、例如a =0 10 1,b =0 1,c =0 1 0,d =0 3 4、0 0 1 0;<0 0<0 0 1,<o o 0?，20e =012 3、 8 1 5 0 0 7 0 0 0,嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis/?(/!) = 3,/?(b) = 2，r(c) = 3,/?(£) = 2,/?(£) = 3-般地，行阶梯形矩阵的秩就是其“非零行的行数”也被称为“台阶数”.(a 1例 1.3 设1 a,1 11，如果/?(a)<3,求 a1 1a 1 =(a + 2)(tz-l)_ =0.1 a1.2. 2用初等

10、变换法求矩阵的秩定理116矩阵初等变换不变更矩阵的秩，即as则r（a） = r（b）注1）r;只变更此行列式的符号.2）h是a屮对应行（或列）的倍.3）. + h:/是将行列式的某一行（列）的全部元素的倍加到另一行（列）的相 对应元素上.1.2. 3求矩阵a的秩方法1）矩阵a可利用初等行变换化为阶梯形矩阵s.2）阶梯形矩阵s非零行的行数被称为矩阵a的秩.rl024例 1.4a二213-6 求7?（a）.-1-1 21024102-4102-4a =213-601-1201-12-1-1-120-11-20000/?(a) = 21.3矩阵的相关定理(1) binet-cauchy定理设a和b分

11、別为和mxn矩阵，如果zt < m ,则有. ln打/弋列所决定的子式.4,则有12nsii, i2 -z9thl 2其中avnj表示a的第1，2,，n行和第dlap i ace定理8若a为/2阶方阵，对任意选定的行&，/2,|a|=(l l i.人z . l1， i,rl 2 "、a12kj h h)12kj.2 - - - jk >au)嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis其中m h j h维数定理9 dim w dim (w,+w2)?:的余子式.h jk)=dim+ dim w2 - dim(w, a w2)2.矩阵的秩的等价描述设ae厂1&#

12、39;那么a的非零子式的最高阶数r被称为矩阵a的秩，用r(a)表示，以下是矩阵秩的等价描写的一组命题1 设 aef，则 r(a) = r，«a中不为零子式的最大阶数是r ;« a中有一个/阶子式不等于零，所有/、+1阶子式都等于零；« a中有一个/阶子式不等于零，所有/、+1阶子式都等于零；<£,.0、0 oj;勞士嗲依铪夂 bachelor 9s thesis«存在m阶可逆矩阵p和n阶可逆矩阵!2，使得pa(2 = f、uj« a的行向量组的极大线性无关组所含的向量个数是r个；« a的列向量组的极大线性无关组所含的向

13、量个数是r个；» r是a的行空间的维数；» r是a的列空间的维数；«方程组ax = 0含冇r个独立的方程，剩下的方程是这些方程的线性组合；«方程组ax = 0的解空间的维数为n-r;«设/2维线性空间v的一个棊为a'，a2，an，m维线性空间w的一个棊为 我，房，,凡，从v到w的线性映射t的矩阵为a，即r(apa2,，>(爲凡)a,则t的像空间的维数是r« 设有线性映射 a fn fmf xax,dim(ima) = r;<=>存在mxa型的列满秩矩阵p和rxn型的行满秩矩阵2,使a二成立.»存在r

14、个线性无关的仏，* w fix", r个线性无关的a，a，an e 厂 xl，使得 a = /|汉| +22 " prr -证明：由秩的定义易知.(1)(5).因为=故可将a经过一系列的初等变换可化成.然、u ) j而这一系列的初等变换可以用m阶初等矩阵/，p2，厂和n阶初等矩阵(e 0、q，22,，2、表示，使得心'，、u yjj令/>=冷"/，2 =弘，由初等变换矩阵可逆知:p,2可逆.()( p o(1)仁(5).由p，2为可逆矩阵，使得以2= / 得义尸1 / a q-1,这相 0 0 0 0嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis(

15、e 0、a当于讀00经过-系歹咖等变臟又因为矩醐不会由初等变换而，<为行向量，由于叫= r，由命题(2)知存在r阶子式djo,且所有£>,.+1=0,即有r所在的r行线性不相关，且任意r + 1个行向量都线性相关，因此a的行向量组的一个极大无关组就是d,.所在的r行，从而a的行向量组的 秩为r.(1)(6).由a的行向量组的秩为r，依据向量组线性无关的条件可知，这r个行向量所在的行的r阶子式不为零,且全部r + 1阶子都为零，故=(1) <=>的证明和(1) <=> (6)的证明类似.(1)<=>设a的行向量组为«，<，

16、由它们所生成的行空间为：显然从以上可得:行向量空间的维数与行向量组的秩相等.(1)«的证明和相似.(1) « (10).矩阵的初等变换的过程实际上可以看作是解方程组ax=0的过程， 等价性显然成立.(1)» (11).由方程组的解空间的一个基就是方程组ax =0的基础解系 可知命题是成立的.(设a的列向量组是a，a，几，那么有线性方程组间.因此/，(凡成，,此)，从而/,j的维数与(久房，此)的维数相等而由知 (我，a，aj的维数与一样，故命题成立.嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis(1) => (13)由r(a) = rmefwxplu的行向

17、量组有一个极大无关组，不妨设为a =2=6?1+ 6zp6p + 拳t a + a2l.al=za an“21 a22 攀拳攀 拳",1 汉'1 + am2i2 + + amrair )cl . cl mlm2z t、a,r參參參9嚳a“12a?(t 令尸=a2i a? -a2r ，q =t；2a，,l amr 7kj显然(2为行满秩r的矩阵/卜面证明p为列满秩r的矩阵，即证叫= r就可以了.注意，由于被线性表示出的系数是惟一的，且，被w，4，一，w表示出的系数恰好是户阵的第“汄行，皿分别为 (1,0,0，0)，(0，1，0，.-，0)，,(0,0,0,，1)即/5有/，行线

18、性无关，剩下的各行都可以由 这h于线性表出，所以/?(p>r.(1)<= (13)由 a = p2,且穴(p) = r/?(2) =厂，所以，/?(a) = /?(p2)<min/?(p),/?(2) = r只需证叫2 /即可.而此吋只需利用一个结果就可以了；设a，s分别是mxr和 rxa：型矩阵，则有/?(/15)2/?(/1) + /?(5)-，、由此可知/?(/1) = /、.嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis3.关于秩的命题(i)设a为mxn阶矩阵，(1) r(a)=厂(ar). r(m)= r(a)= r(/4).fn当 r(a) = n r(a” =

19、 jl 当r(a) = "-l io当/*(a)<，卜 1设p是m阶可逆阵，(2是"阶可逆阵，则r(pa)= r(aq) = r(a). r () = r (a);特别地，当 /i e /?，时，有 r (ara) = r(a).(1) 一 (5)的证明略100,然而所有s阶子式g < r)都为零.记c =(aza), wij证明：方法1,运用binet-cauchy公式.设ae f雜，设r( r,那么存在4；ul jr)c的/阶子式1/1 z>因此r(c >r.对于c的任意s阶子式g < r)c=z，!</,< /v<zzj

20、oii、 夕人所以 zcpr，故方法2,设aef"x r(>4>r = ry),那么存在可逆矩阵2,使得嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesisa2 = (c,0):其中 c 參攀難，且r(c) = z所以5又=,0,1/1amr)/) = r(crc)故 r(a)=(c,o) = r(ctc 0 0 0方法3, ibax=0的解空间是v , a'ax = 0的解空间是iv,那么v dv.设 x e w,则叉 ax = 0 记 ax = y = (%，y2，),贝!0=疗=% % +y2 y2 + + ym ym.所以乃=0，l s z幺 m戶斤以 x e

21、 v 这样 v = w.故 z* (a7 a) = az - dim (w) = "- dim(v)= r(a).4.关于秩的命题(ii)证明：(1)(2)证明见文献11.(3)设 ae fmx,lbe f,x/，则 r(afi) < minr(a)，r(fi) 证明：方法1，设r(a) = r，当时,嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesisiiaba<1noii所以 r(ab) <r = r(a).同理 r(ab) < r(b)z(er 0)(es0、a =r, a=p /2".(獨=厂(lo oj<°qb)<rff设

22、= b=pes 0 0 0q,r(ab) = r(apex 0 0 0<5方法3,设.那么存在可逆矩阵p，(2,使凡4 =bq = (ds 0)成立./0)=r(cd 00 0少方法 4,设 a = (a, 2% 4b h l 则，.所以45的列向量可以由a的列向量线性表现,故，考虑afi的行向量,可得r(ab) < r(s) 方法5, ibbx=0的解空间是v , abx=0的解空间是w,则v e w.故rank(b) = z-dim(v) > /-dim(w) = rank(ab).同理，考虑 bfafx = 0 与 /of = 0，可得 r(a)>r(ab).方法

23、6, 12取/维线性空间v的一个基(，；), n维线性空间(7的一个基y'，y2，一y”，m维线性空间w的一个基我，从，凡.设线性映射j 4/1对，线性映射 (8 4 b,即从 y'，y2，- rxp'爲 u嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis因为/w(义戶斤以r(a) = dim (imacb)< dim (imj4) = r(a).另一方面，因为汾沖吻'(卿)，所以r(b) = dim (im<b)= /-dim (z<b)> / -dim 汾r(卿)=dim (/= r(a6)又由于r（(a 0< r(），事实上s

24、的列向量可由£的列向量线性表示所以列向量可用0x线性表示.z0 -abe 0za 0、e e(a) + z?(a0、"a，0-ab、o >o >方法7,用块的初等变换故，同理可证r（ab）sr（b）方法8,因为（人0）所以 r(as) < r(a，ab)= r(a，0) = r(a) 因为z£ 0 £babbabhs)r r（a,b）<r（a）+ r（b）.证明：方法1，设= z，即a的列向量的极大无关组含r个向量.所以，做列的初等变换可使a除去r列外都为零;i3tr（5） = 5.同理可用列的初等变换使b除5,列外都为零.所以，

25、做列的初等变换可使 除 r + s 列外全为零.故r（a，b） < r + <s = r（a） + r（b） 嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis方法2,设r(a) = r, '，为4的列向量的极大线性无关组.设r (b) = s,么，是的列向量的极大线性无关组，则(a，)的列向量口j用久，/，"，么，5/2,，线性表出，故r(ab)sr + s = r(a) + r(b).方法3,设r(a) = r,则齐次线性方程组/of = 0含有r个独立的方程.设r(叫=则齐次线性方程组b次=0具冇s个独立的方程.这样x=0的独立方程的个数至多为r + s个.所

26、以 r(a，b) = r方法4,设a"b'rb'x=0的解空间为v，a次=0的解空间为w，b'x=0的解空间为因为dim(w + /) + dim(wnt/)二dim(w) + dim(/)，所以(a，b)rb'=m-dim(w 门(7) = (m dim(/) + dim(w + /) "< (m - dim(w) + (m dim(t/) = r(a) + r(6)a (p 0 b+ r(s)方法 6, (a，b) = (a，0) + (0，s).利用结论 “r(a + fi)sr(a) + r(b) ” .方法7,设r(a) =

27、z r(s) = s .对(a，b)的任意r + + l阶子式，必至少有r + 1列来自a或至少有s + 1列来自b.对这些列用laplace定理展开即可得到此子式为零.(5) r(a + b)<r(a)+ r(b).嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis证明：方法1，设久，么.2，么.,.为a的列空间的基，么，&，为b的列空间的 基.则a + fi的列向量都可以用他们线性表示，故r(a + b)5r + 1w(a) + r(b).方法2, a + b的每个列向量都可以由(a，线性表出，4fer(a + s)<r(a,b) = r(a) + r(b).方法3, r

28、(a) = r，r(b) = r故存在可逆矩阵c2，q，22,使得a = fcq，b = p2 £)22 .这里 c =，c o'qc<0 d,0、4、0 z);则 a + s=(/，p2)所以 r(a+b)sr<r(e, 0 0 0,d-ref 0 0 0)=r(a) + r(b)方法 4,设 a，s e fmxn, rank (a)二 r，rank (b) = 5.故存在 7 e fmx q e frx,p2e fmxq2e f側，使得 a = piqjb = p2q2.因而 =p2)ze?e2所以 r(a + s)sr(f2)4a) + r(b)方法 5,

29、r(a+b)<方法 6, r(a+b)<r方法7,因为a+ba a+b 0 bao、 0 bb 0 0 /i+厂r(a)+ r(fi)(a).嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis方法 8, r(a + b)<r(a + b,b) = r(a,b)<r(a) + r(b).方法9,131取n维线性空间v的一个基，. m维线性空间w的一个基 0，成，/ 设线性映射j对应a，线性映射对应5,即，a) =a(8 ( , z2, , , )pi，db因为妁4(j) +么.所以 dim /w( + «)<dim(/w() + 4 («) <

30、; dim 7w () + dim 7w(«).故 r(a+s)r(a) + r(b).方法10,设m + b)x=0的解空间为v, ax =0的解空间为w,的解空间为 t/,则因为 dim(w + f/) + dim(wn/) = dim(w) + dim(/).戶斤以 n-r(a+/?) = dim(v)> dim (w d ") = dim (iv)+ dim (/)-dim (w + (7)> (n _r(a) + (n 厂(b)_n = "_r(a) r(s) 4fer(a + s)<r(a) + r(b).(6) 、4ab)2r(a)

31、 + r(fi)-"，这里 ae f咖，be fnxl.(e 0、证明：方法1，设，则存在可逆矩阵p，(2,使得2 .所以、u ) j(e. 0、r(a6) = r(o 2®) - r(qb)-n-r) = r(a)+.方法2,设二r，二$，则存在可逆矩阵p，42,2,，使得嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis所以 = r(er 0x 0 0qp.£y o' 0 0设例二ch c12c21c22r(ab)>r(cu 0 0 0>rqp-nn-s = r + s-n(er 0)(es 0)a=pq，b = p：b ojh oje,方法

32、3,取/维线性空间v的一个基，, az维线性空间（；的一个基zp/2,z,，m维线性空间w的一个基成，爲，凡设线性映射j对应a,线性映 射（8对应b,即考虑j在v乃的限制映射x:4 vv .则1，' = 1、風（'=kera a1/b .因为dim （/wz）+ dimdim所以r（ab）= dim （/m«） = dim （i，'） =dimdim（7ca/m®）< r（b）-dim（7c） = r（5） +r（a）-n.方法4,取/维线性空间v的一个基q，, n维线性空间f；的一个基 m维线性空间w的一个基成，/?2,，凡.设线性映射j对应

33、a,线性映射对应b.因为 dim< dim 4-dim %er<b.所以"-厂(ab) <(n r(a) + (n r(s) 所以r(嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis但是r()> r(a) + r(6)(a0、(a-ab><0-aby、e，.o )o >方法5,a 0 e b)=r(£j + r(-ab) = n + r(ab)abc = (ap)(足 o)ec)所以 r(afic) > r(ap) + <£, 0)qc)-50 + r(尸2c)-5 = r(ab)+ r(bc)-r(s)

34、9;e0、，bbc、'ecvi0 '<ao >、oej-i<0-abc)/v方法2,b bc ab 0>r(ab) + r(bc)所以 4s) + r(?lbc) =方法3,设是有限线性空间，:vw,cb：wu,c：u 4 l是线性映射,分别对应矩阵考虑和上的导岀映射,我们有dim (/wcbx)4-dim (kercc i=dim，dim (/,cs)+dim (?ccrum)=dim(7) r(abc)>r(ab)+ r(bc)-r(s).g.所以证明：方法1，设r(b)= 5,则存在可逆矩阵2,，使得b=p嗲士嗲依铪夂 bachelor s

35、thesisdim (/nobj4)=dim (/期)-dim (rjqercn/,似)s dim-dim(7(ercn/m(s)=dim (/,"砌)-dim (/ot®) 4-dim (/otc®),所以 r(cba)4cb) + r(sa)-r(s).设 as = 0,则 r(a) + r(b)</2.证明：方法1,设ax = 0的解空间为v，b的列空间是v的子空间，所以 r(a) + r(b) s r(a)+ dim(v) = n.方法 2,由"r(as)>r(a)+ r(s)-n"直接得出.(e 0、方法3,设r，则存在可

36、逆矩阵使得a = p '(2.、u ) j(c (e 0又设2b=1 ，这里(是/*行矩阵.由题设，知r qb = 09 upc,=o.、c2 ji o oj所以 r(s) = r(qb) = r(c2)<n-r.(9)设tie 厂刈且/a2 = £，则 r(a+£) + r(/l-£) = h.证明:方法 1,0j(a+£)+(£-a) = 2£ 9ffrr(a + e)+ r(a-e)>r(2£)= n因为(a+£)(£-a) = 0,所以 r(a + £) + r(a-

37、e)n.方法2,用块的初等变换a + £00 a-ea+£ a+£ 0 a-e2e、 a-e02e2-£) a-e0a-e嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesis5.应用1. 设 “且 a2 = a.求证/ (/!) + "(/!-£) = ”.证明:因为4 + (£->1) = £，所以厂(>1) + 厂(>1一£)2厂(£) = «.因为 a2=a，所以 a2-a = 0,所以.a(a-f) = 0 所以 4a) + r(a-£)“2. 设 a，

38、s都是"方阵，而且 aba = b1 .证明 rank(£ + ab) + rank(e-ab) = n.证明:因为aba =圹，所以(£-ab)(£ + ab)= e-ab-ab-abab= e-e = 0.所以 r(£-as) + r(£+afi)/i乂因为 z? = r(2£) = a*(£-ab) + (£ + 24b)<4£-ab) + r(£+as).所以 4£-afi) + r(£ + ab) = n.3设4，42，4,都是/7阶方阵，且444,

39、 = 0，证明/(4) + 厂(2) + + 4人,)<0卜1)«.证明:因为4a2a, =0,所以44)+厂(4)+厂("4,)-2«"厂(4)+442卜"+厂(4,)-(/7卜1)/7.又，(/!,，次，4,) = 0 所以，(al) + r(a2) + + r(aw)<(m-l)".4.设人b都是"级矩阵，证明:如果ab= ba = 0，且r(?l2)=r(a)，那么r(a + b) = r(a) + r(s)14.证明:利用维数公式可得dim(r(y4) + dim(r(b) = dim(r(/l) +

40、(r(b) + dim(r(/l)n(r(b)然后只需验证嗲士嗲依铪夂 bachelor s thesiskera) + kerb) = ker)以及心r(/l)n=心"(>4 +fi)即可得结论.由/*(a) = r(a2)得到 keta) = kera2), range (a)=ranged a2).任取一个向量x, are r(a)= r(a2) are=狀(a2),必存在 y 使得ax= a2y.这样x可以拆分成ay + x-ay).其中 ve kerbx-aye kera),从而 ker)kera)+kerb).反过来当然有 ker(a)+ ker(b) ker(o)

41、，所以 ker(a)+ker(b)= ker(o)任取 xe ar(a + b),x 满足 a2x = a(a + b)% = 0,所以ker(a2) = ker(a),进一步乂有xe ar(6)，从而 ar(?a + b) cz kera)c kerb).反过来/cer(a)n/cer(b)c/r(a + b)是显然的，因此尺er( a) a ker(b、= ker(a-b).5设 a b，c 都是n 阶方阵，r(a) = r(ba).证明 r(ac) = r(bac).证明:因为r(a) = r(凡4)，且齐次线性方程组ax =0的解是是bax =0的解，所以 方程组九v = 0与bax = 0同解.要证二只要证明方程组acx=0与sacx=0同解即可.显然方程组acx=0的解是bacx=0的解.反之，设是bacx=0的解，则bacx( = 0，记，则bax, =0,故也是= 0的解，即二0，也即ac' = 0，所以是acx = 0的解，故 acx=0-bacx=0 同解，从而 r(ac) = r(bac),x = cx0.6. 设 a，b都是n 阶方阵，而且 ab =