再生型切削颤振仿真研究

1、再生型切削颤振仿真研究便用单口由度模型用于解秤颤振机理非常简洁直观。同时，stepan 17|及deshpande 36|的研丸表明.当系统的最低阶模态与高阶模态能够很好地区分时.使用单口由度系统仍然可以获得比较准确的结果。单口由度颤振模型简化了复杂 的蝕振动力学模型，关注十振动激振机理的简单闸述。故本章首先研丸单口由度 自由正交车削颤振°图2.1为假定工件为刚体的单自由度自由止交车削的动力学模 型。图2.1单自由度自由正交车削模型fig 21-dof model of free ortliogonal turning图2.1 y(f)是刀具术次切削产生的振纹.y(/-r)是刀具在时

2、n r z前在工件表面留下的振纹图中阴影区域即为切屑.对于车断加工而言.r即工件转动一周所用时间，对于平而创削而言，则指两次加工的时何间隔。v为垂直与切屑厚度方 向，切削力与y方向的夹角为“，主振方向与v方向的夹角为a。假设工件系统为 刚休刀具系统含一个口由度.其刚度为阻尼为co «f.为背吃刀虽.此处也即 稳态切屑厚度丸，设重叠系数为“，考虑重卷系数时，则动态切屑厚度儿为：(2.1)(2.2)hd (f) = hi +y(r)-/y(r-r)在木章屮不讨论刀具振动轨迹振离工件表而的特殊情况，即要求: 打>0假设切削力与切屑厚度呈线性关系：f(t)=k(jwhj (2.3)其中

3、气为切削力系数.w为切削宽度。考虑稳定颤振，可以假设.v及y(/-r)都是幅值相同的谐波|37-39|o即：v(r) = 4cos(<tir)(2.4)y(/ -r) = a cos|(d(t - r)|则描述图2j的动力学微分方程可写为:(26)m x(t)+c x(t)+/a(f) = 一f(f )cos( ft- a)考虑主振方向和y方向有:m v(/)+c v(/)+v(f) = -f(/)cos(<r)cos(/?- ez)联立式(2)(2.6)可得简化的单n rtl度|z| rtl止交乍削颤振动力学模型。先考虑式(2.4) 的简化给系统的影响。设瞬时切削厚度为h(t),

4、则：/!/)=.va)-y(a-r)(2-7)令:(2.8)v(/-r)= a cos(6>r- - 2 2则式(2.7)可变化为:h (r) = 4|(1-/)cos(o>r-)cos(-) -(1 + “)sin伽-*)sin(2.9)由三角关系可知:九=-a(l -"cos(牛)+ (1 + “)洎口(牛)i2 cos(ftjf -牛-卩)(2.10)令式(210)为则简化系数b有(21)(2j2)(23)忽略系统中的常量稳态切屑厚度(» 线性化单门山度颐掘方程可写为:m v(/)+ c y(f)+ ky(t) = abk , wcos(ct)cos( f

5、l - ct)cos(mt(p)(24)iii式(2.14)可以看出，前述简化的系统实际上就是侍阻尼单门iii度受迫振动系统。 设系统的固有频率为g，由上述方程可知，颤振时即半激励力频率血在g附近时 发生共振，共振频率也即颤振频率。这也说明了只研究失稳慎态情况下单口由度 系统仍能很好反应颤振情况。rfl式(2.4)可知瞬态切削厚度还可表示为(2.16)/.(/) = my(t) + n y(/)由式(2.3). (2.6). (2.16). (2.17)可得:¥(/)+ (2 + f/sin(pjr) y(t )4-(局 + p-p/cos(r)y(r) = 0 (2.18)其中:n

6、t(119)(2.20)s、皿分别为系统的阻尼比，固台频率，模态质址。从能城的角度分析切 削过程，外界向系统提供能虽，即主轴带动工件转动及刀具进给为振动系统提供 能虽.当qx)时.系统含倚止阻尼项，它使振动系统能战减少。而当q<()时，系 统含负阻尼项，它使振动系统能城增加。这样，当振动系统的阻尼发生止负交替 变化时,系统的所含能量在这样的循环中保持稳定.发生數振。2.2.2单自由度自由正交车削颤振线性分析在上节屮主要对单n rti度口由止交车削进行了简单的线性分析，本节将对其 进行非线性分析w再生颇振非线性特点主要在于切削力关于切屑厚度的非线性 关系以及时滞效应。切削力可表示为：f(z

7、) = hi/lj(f)r5(2.21)为简化分析，令主振方向与切削力方向同向，即：a =0 =0(2.22)同时，为简化分析设“由图2.1,设刀具系统等效弹簧阻尼系统的弹簧原长为4=/(t + w)(2.23)故对于任意时刻刀具仃m y(t)+ cy(t)+ kal =f(z)(2.24)在无振动稳定切削时，静态切削力f,有：巧人)(2.25)故切削力也可以写为：f(t) = ff +af(/)(2.26)式(2.24)即简化为:ap(tv(f)+2现 y(r)+<y 2y(/) =(2.27)处.则何弹簧的长度变化量为:人，在稳定切削的理想状态下，刀具位十理论位且时弹簧的长度为匚。忽

8、略稳态切 削厚度将弹簧质虽体位移的原点即y(/) =()处设在刀具位十理论的稳定切削位宜nj式(2.27)中.匚为振动系统阻尼比.©为其固有频率，m为模态质址将式(2.21)记为切削力关动态切屑厚度心(f)的函数，对其在静态切屑厚度九应用 泰勒级数展开.保留前三阶项.可得：?7/) = k(j4 +- (hd(?)-hf )h 1/4 - (/:/)- hi)2hf 4 + (/(/)-ht) 7 9/4)432128(2.28) 由式(2.1)、(2.7)知，式(228)可简化为:尸(')=£严(力尸+£(方卫)力2_吕3(°)讪广心+言(力心

9、)川)(229) 同时有稳态切削力f,可写为：ft=k(fwhi,4(2.30)故由式(3.29)及(3.30)可知：“卡朋厲内“一却勺穴严+总)”，4) (2.31)s3 乙i / c令:(232)1/44e为一与时间无关的常址，当给定切削参数时.e的值随即确定。由式(2.32)可知.e与切削宽度w及静态切屑厚度丸有关，即与背吃刀虽及进给虽:有关。则式(2.31)af(f) = «(%- '牛巴o/l.5仇)、96/1/(2.33)将式(2.7)、(2.33)带入式(2.27)可得:vi/ 2<yn vuh <<y/ +v(/ - r)= mmy(/ -诃

10、 <<y(/)-y(/- r)3) 8/rm12/i/jid：(2.34)t = 3 1(2.35):5v(r) =v(/)12/zx °(2.36)e r- ,(2.37)me：将式(235). (236)带入式(234)中得:v(/)+ 2 v(r)+(l+ r) v(/)- r y(t - zj =计(心)一y(f r)2 + (y(/)- v(z- r) ) (2.37)简记为:3广w) + 2 y(r)+(l +r)y(/)- ry(t - r) =(y(f) - y(/ - r)2 + (y一 $(/-“)")记状态空间向fi r(/):r(o =将

11、式(2.39)带入式(2.芻冋得:y(t) = ay(t) + by(t-r) + c(/)其中:(0 14l-(l + r) 一2鼻(0 (八"()(2.38)(2.39)(2.40)(2.41)(2.42)c(/)-乂 (z1100 、)-y(t- r)2-(y(f)-y(t- r)1) 丿(2.43)令：y(/) =aed(2.44)将式(2.44)带入式(2.40)可得其特征方程为：ae-a-be "|=0(2.45)上式中e为单位矩阵。将式(2.41m2.42)带入式(2.45河得：+ 24 a - re xr + (l + r) = ()(2.46)将式(2.4

12、7)带入式(2.46)得:由欧拉公式.上式可简化为:其中:a+血=0a = 一(； + l + r- rcos(/wr)b =rsin(o>r)为使式(2.50)恒成立.必有:4=0b=0由式(2.50)及式(2.51)得:*2(osin(69r)=r1 + r-cos(rwr)由式(2.52河得:s i n(t)t )1 - c o r ) t a(2.47)(2-48)(2.49)(2.50)(2.51)(2.52)(2.53)式(2.46)即使方程(2.40)含非零解的必要条件。当式(2.46)的两个解均含负实部时. 系统稳定。故可知系统的临界状态即稳定与失稳界限即使方程(2.46

13、)含-甘只有虚 部的根，令：故有:(2.54)j = 1,2,3 故得到相应的主轴转速为:(2.55)(2.56)(ry2-l)2 +4 点方2(d)2-1)2 . 6? -1 t =(克-rt?vian(),(o式(254)为广、r关于®的方程。由上式可知:由式(2.54x2.56)可得颤振稳定性瓣图。图2.2所示为§=0.05时的颤振稳定性瓣图，图中只画出了j为1至4的情况。肖j逐渐增大时，每“瓣"的幵口逐渐减小，并且向转速轴左方向移动，j越大时， 相邻的“瓣"越靠，即在低转速情况下稳定切削的极限广值变化越小。同时还可以发 现，对于任意一“瓣&quo

14、t;.其最小的广值均相同。这些瓣图即稳定界限所有瓣图的公 共下方区域即稳定区，稳定界限上方则为不稳定区。即对与任意给定的切削条件 或工况，只需计算出广的值，即可判断在该条件下是否是稳定切削。图2.3为不同 阻尼比情况下的稳定性瓣图，这些瓣图公除了不稳定区以上的稳定界限，只留下 稳定区与不稳定区的界限。由图2.3为不同阳尼比的颤振艇图，其屮虚线莊图为 =0.()1,双划线瓣图为"0.03,丈线瓣图为"0.03,相同切削条件下，随着振动 系统阻尼比的逐渐减小，系统的稳定极限广值减小，稳定切削区而积下降。1-a120.60402°?0j 0.4 qj6 0.81.41.

15、61-82.2 g=005时的稳定性期图fig. 2.2 the stability lobe diagram of g =0.05w2.3不同g值时的稳定性瓣图fig. 2.3 the stability lobe diagram of different g2.2.3单自由度自由正交切削颤振非线性分析在2.2.1节中切削力与切屑厚度的关系是线性的在223节中虽然式(2.21)采 用了非线性的切削力与切削厚度关系.但在随后的稳定性分析过程'i仍然对其进 行了线性化，为更精确地分析切削颤振，分析颤振时振动状态，也为了解前这种 线性化对系统的彤响，木节将对口由止交切削颤振进行非线性分析。

16、图2.4为在mauab/simulink中搭建的仿真模型,仿克参数如表2.1 oaln i图24单哎正交切削颤振ii红fig. 2.4 nonlinear simulation model of free orthogonal cutting w ith single degree of freedom表2单自由度切削颤振仿戌参数fig2.1 simulalioii paipmeicm of 1dof culling chuttercfhin hn'kg0.2917e9().0251157.9().529ft (a>(b)05住tfzt5010is跨 h<1)(c)切m变履

17、763nrr2o9d!2coo*8®1800-7901700:0510152025w m(1)(d»图2.5不rl切削宽度条件下振动位移及切削力图fig. 2.5 displaoement and cuning force under different culling width图2.5是在表2.1的条件下，半切削力与切削厚度为非线性关系，即按式(2.21) 进行仿克时，重合度“=1,稳态切削厚度时滞r=().12s条件下.不同切削 宽度的振动位移图及切削力图。由图2.5可知.当切削宽度为lmm时.切削过 程稳定，振动很快衰减，如图2.5(a)所示；当切削宽度为1.173

18、2mm时，切削振动保 持一个恒定的振幅几乎不衰减,如图2.5(b)所示：当切削厚度为1.2mm时，切削 振动的振幅逐渐增大.如图2.5(c)所示。图2.5(d)为当切削宽度为1.1732mm时切 削过程对应的切削力，可以看出此时切削力也保持某个振幅振动。下面根据三ie线 性动力学理论简单定性地证明半切削宽度为1.1732mm出现切削颤振。图2.6为切削宽度为1.1732mm时的切削振动相轨迹图。图2.6(a)为0s-90s的 相轨迹，图2.6(b)为30a90s期间的相轨迹图图2.6(c)为88.5a90s期间的相轨迹图。由上图可知，切削振动的相轨迹在30s后就儿乎亳无变化.呈环状。而从仿直幵始 至90s内的相轨迹图出现在图2.6(b)、(c)的环内环外。38期円的轨锻憎-1.21080-6-0402心动何駅債)2.