六自由度运动平台的仿真研究

1、六自由度运动平台的仿真研究天津工程机械研究院杨永立摘要：本文分析了六自由度运动平台分别采用球钱链和万向节铁链进行连接 时的自由度，运用欧拉角、旋转变换的方法推导出位置反解方程，介绍了数值迭 代法进行位置正解的过程。关键词：并联，局部自由度，位置反解，位置正解。1. 简介运动平台按结构形式可分为串联和并联两大类。与串联形式相比，并联形式 具有刚度大、承载能力强、结构简单、运动负荷小、能实现包括横移、纵移、升 沉等多个口由度运动等特点。同时，串联形式的优点也很明显，其具有运动空间 大，测量精度高，运动、受力分析相对简单、控制、测量的实现相对容易，且每 个自由度都能独立运动等特点。六自由度运动平台（

2、如图1所示）是由六条油缸通过万向节较链（或球较链）将上、下两个平台连接而成，下平台固定在基础上，借助六条油缸的伸缩运动， 完成上平台在三维空间六个口由度（x, y, z, a, b, y ）的运动，从而可以 模拟出各种空间运动姿态。2. 自由度的确定若在三维空间有n个完全不受约朿 的物体，任选其中一个作为固定参照物， 因每个物体相对参照物都有6个运动门 由度，则n个物体相对参照物共有6（n-l） 个运动自由度。若在所有物体之间用运 动副联接起来组成机构，设第i个运动副 的约束为w （1到5之间的整数），如果 运动副的总数为g,则机构的自由度m为:m = 6(n 一 1)也/=!利用上述公式计算

3、一下如图1所示运动平台（采用球较链）的口由度数。将油 缸分解为缸筒和活塞杆，则总的构件数n=14,油缸与上下平台z间的连接为12 个球较链（约束为3）,缸筒和活塞杆构成6个既可以相对移动，又可以相对转 动的运动副（约束为4）,则平台的自由度m为：m = 6(/? 一 i)-弘 =6 (14-1)-(3 x 12+4x6)=18/=i计算结果岀人意料，平台似乎无法只通过六条油缸进行驱动。但是，如果保持上 平台和缸筒固雄不动，曲球较链的特性可知，活塞杆仍然可以相对其轴线转动；同理，缸筒也具有同样的效应。实践证明，这种转动并不影响上平台的空间运动姿态，因此属于局部自由度。在六口由度运动平台的实际设计

4、中，由于球较链 的刚度差，结构不稳定，所以一般采用万向节饺链（如 图2所示，约束为4）来代替图1中的球较链，则口出 度m为：8m = 6（ n 一 1）也 =6 （14 1） （4 x 12+4 x 6）=63. 六自由度运动平台空间姿态的解算要实现对平台空间姿态的控制和测量，必须掌握它两个方向上的解算方法, 即位置反解和位置正解。3.1位置反解（逆向解）:已知输岀件的位置和姿态，求解输入件的位置称为机构的位置反解。在运动 平台的实际应用当中，用户所给定的一般都是平台的六个空间姿态参数x, y,乙q, 0, y,然而要实现对平台的控制，需要的是六条油缸的长度li、l2 l6,这正好是已知输出求

5、输入，属于位置反解。也就是说，要实现对平台空间姿 态的控制，就必需推导出平台的位置反解方程。如图1所示，在上平台建立动坐标系o-xyz,在下平台建立静坐标系oxy乙那么，上平台的运动可分解为随o-xyz坐标原点o沿oxyz三个坐标轴方向上 的平移(x、y、z),以及绕他标轴的旋转(a, b, y ) o为了避免发生角度 间的“耦合”，一般采用欧拉角来描述刚体的旋转状态，而欧拉幷的定义乂随旋 转次序的不同而不同。本文将欧拉角定义为依次绕z轴旋转丫，绕y轴旋转b, 绕x轴旋转a o下平台各餃点al、a2、-a6的坐标(xai,yai,zai)、(xa2,ya2,za2)(xa6,ya6,za6)和

6、上平台各较点al、a2、a6的动坐标 (xal,yal,zai ) >(xa2,ya2,za2)(xa6,ya6,za6)为已知,只要求出对应姿态参数 x,y, z, a , b, y的上平台各较点的静坐标(xai,yai,zal)、(xa2,ya2,za2)(xa6,ya6,za6),运用两点间距离公式便可以求出li、l2-l6o以al和al为例來计算与其相连的油缸的长度llo在如上所述对运动进行 分解的情况下，静坐标(xai,yai,zai)和动坐标(xal,yal,zal)有如下变换公式：具中t是关丁“ a、b、y的旋转变换矩阵,公式中只有矩阵t未知，下面就来 = txki+y_&

7、#171;i _z求该旋转变换炬阵。图3欧拉角坐标系根据木文定义的欧拉角，建立如图3所示的四个坐标系。-厂乂、。'-巧'、o"-巧"、of w 首先绕z轴旋转y,其变换关系如下:x=x'cos y y'sin yy= xr sin y + y'cos yz=z'写成矩阵形式为:xcos/-sin/ysin/cos/z00o- 厂x 厂x0x9y=cxy1fz_z_绕)，'轴旋转b,其变换关系为:0sin 0xx10xny=bxy"0cos/?z"绕*轴旋转q,其变换关系为:xn100mxxr=0co

8、s <7-sin axttf y=axy,f,ff_0sin acos afffz_zm _将上述三个变换公式合并，得:xxy= cxbxaxttf yrtf由上述变换过程可知，在只有旋转，没有平移的情况下，(x“i,y“i,z汨)等 同于(x,y,z),同为静坐标,而(xab yal,zal)等同于(/,*/)，同为动坐标,所以，旋转变换矩阵t=cxbxa=sin crsin/ + cos a sin 0 cos y一 sin a cos y + cos a sin 0 sin ycos a cos cos 0 cos y 一 cos crsin/ + sin a sin 0 cos

9、/ cos i sin / cos a cos y + sina sin /3 sin y-sin 0sin a cos 0将矩阵t代入前面的变换公式，即可求出al的静坐标(xal, yalzal),从而可以求出油缸的长度li为:厶二 j(x如-x+(打一匕)2 +(z 创 _zj2同理可得:a2-xa2)2+(ya2-ya2)2(za2-za2)2s = j(x“6 一乂狀尸 +(打6 一乙6)2 +(z“6 乙处尸3.2位置正解(顺向解)：已知机构输入件的位置，求解机构输出件的位置和姿态称为机构的位置正 解。由于六自由度运动平台是并联机构，直接测量平台的六个自由度的空间姿态 相当困难，但可

10、以通过位移传感器测出每条油缸的长度，再经过位置正解间接求 出平台的空间姿态。到目前为止，述没有直接的正解方程式，只能采用数值迭代 的方法，利用计算机快速运算的特点来逼近求解平台姿态。日前所提出的迭代求 解的方法很多，本文所采用的是牛顿法，其基本原理就是将非线性方程组变成线 性方程组，求出近似解，然后在此近似解基础上进一步迭代，逐步逼近非线性方 程组真解。由位置反解方程组可得：fi(x, y, z, a, b, y )=li2- ( xal-xai)2+( yai-yai)2+( zal-zai)2=0 f2(x, y, z, a, b, y )=l22 - ( xa2-xa2)2+( ya2-

11、ya2)2+( za2-za2)2=o f6(x, y, z, ci, 0, y )=l62 - ( xa6-xa6)24-( ya6-ya6)2+( za6-za6)2=0 此时，六条油缸长度l】、l2 -l6已知，需耍求解平台的空间姿态x, y,乙a , b, y。设 x=(x, y, z, a , b , y)' , f(x)=(f】()，f2(), f?(),仃()，f5()，f6()， 则位置正解的迭带公式为：xk+i二xk-f (xk)一】f (xq移项，得到六个方程六个未知数的线性方程组：f (x/ 池+1 - xk)+ f (xao求解方程组便可以得到xk+。选择适当的初始点x()(如：x()= (0,0,0,0,0,0)和终 止条件(如：ixk+】xklve,其中e为所求解的精度),经过多次迭代便可求出满 足精度要求的x, y, z, a, b, 丫值。4.结论本文运用solidworks软件建立了六自由度运动平台的三维模型(如图4所 示)，并构造了与图3对应的欧拉角坐标系(如图5所示)，分别输入油缸的长 度和平台的空间姿态参数，经验证，本文所