排列组合公式及恒等式推导、证明(版)教学文稿

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除排列组合公式及恒等式推导、证明（word 版）说明：因公式编辑需特定的公式编辑插件，不管是word 还是 pps 附带公式编辑经常是出错用不了。下载此word 版的，记得下载MathType 公式编辑器哦，否则乱码一堆。如果想偷懒可下截同名的截图版。另外，还有PPt 课件（包含了排列组合的精典解题方法和精典试题）供学友们下载。一、排列数公式：Anm = n(n - 1)(n - 2)L(n - m +1) =n!(n - m)!n= n(n -1)(n -1)32 1AnL创推导：把 n 个不同的元素任选m个排次序或 n 个全排序，按计数原理分步进行

2、 ：第一步，排第一位：有n种选法；第二步，排第二位：有（n-1 ） 种选法；第三步，排第三位：有（n-2 ） 种选法；第 m步，排第 m位： 有（n-m+1）种选法；最后一步，排最后一位：有1种选法。根据分步乘法原理，得出上述公式。二、组合数公式：m= n(n - 1)(n - 2)L (n - m +1) =Cnm = Anmn!Amm!m!(n - m)!C nn =1只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除推导：把 n 个不同的元素任选m个不排序，按计数原理 分步进行 ：第一步，取第一个：有n种取法；第二步，取第二个：有（n-1 ） 种取法；第三步，取第三个：有（n-2

3、 ） 种取法；第 m步，取第 m个：有（n-m+1）种取法；最后一步，取最后一个：有1种取法。上述各步的取法相乘是排序的方法数，由于选 m个，就有 m!种排排法，选 n 个就有 n! 种排法。故取 m个的取法应当除以 m!, 取 n 个的取法应当除以 n! 。遂得出上述公式。证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。将部分排列问题Anm 分解为两个步骤：第一步，就是从n 个球中抽 m个出来，先不排序，此即定义的组合数问题 C nm ；第二步，则是把这m个被抽出来的球全部排序，即全排列Amm 。根据乘法原理， Anm = C nm Amm即：m= n(n - 1)(n - 2)L

4、(n - m+1)Cnm = Anm=n!Amm!m!(n - m)!只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除组合公式也适用于全组合的情况，即求C(n,n) 的问题。根据上述公式，C(n,n)=n!/n!(n-n)!=n!/n!0!=1。这一结果是完全合理的， 因为从 n 个球中抽取所有n 个出来，当然只有 1 种方法。三、重复组合数公式：重复组合 定义 : 从 n 个不同的元素中每次取一个，放回后再取下一个，如此连续 m次所得的组合。重复组合数公式：R nm = C nm+ m- 1（m可小于、大于、等于n,n 1）推导： 可以把该过程看作是一个“放球模型”：n 个不同的元

5、素看作是 n 个格子，其间一共有（ n-1 ）块相同的隔板，用 m 个相同的小球代表取 m 次；则原问题可以简化为将 m 个不加区别的小球放进 n 个格子里面，问有多少种放法；这相当于 m 个相同的小球和（ n-1 ）块相同的隔板先进行全排列：一共有（m+n-1 ）！种排法，再由于 m 个小球和（ n-1 ）块隔板是分别不加以区分的，所以除以重复的情况： m ！* （n-1 ）！于是答案就是：R m = ( m + n - 1)! =C mnn +m - 1四、不全相异的全排列只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除在不全相异的 n 个物体中，假设有 n1 个物体是相同的，

6、n2 个五题是相同的， ， nk 个物体是相同的。 n 个物体中不相同的物体种类数一共有 k 种。那么，这些物体的全排列数是 n!/(n 1!n 2! nk!) 。可以想成： n 个物体直接全排列，排列完了以后，去重，第一种物体有 n1! 种，第二种物体有 n2! 种，以此类推。例：有 3 个红球， 2 个白球，把这五个球排成一行，问有多少种排法？红球和红球没有区别，白球和白球没有区别。答：一共有 10 种，aaabb,aabab,aabba,abaab,ababa,baaab,baaba,abbaa,babaa,bbaaa 。五、排列恒等式的证明： A nm = ( n - m + 1) A

7、 nm - 1n !n !m证明：右边 = ( n - m + 1)( n - m + 1)!=( n - m )!= A n左边 =右边 A nm=nmA nm- 1n -证明 ： 右边 = nn?( n - 1)n != A nm- m( n - m - 1)!( n - m )!左边 =右边m= nAm - 1A nn - 1( n- 1)!n !m证明：右边 = n=( n - m )!= A n( n -m )!只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除左边 =右边 nAnn = Ann+11 - Ann证明：右边 = Ann+11 - Ann = (n +1)!-

8、n! = (n +1)gn!- n! = ngn! = nAnn右边 =左边 A nm+1 = A nm + mA nm - 1证明：右边 =n!+mn!= (n - m +1)n!- mgn! =(n +1)! = Anm+1(n - m)!(n - m +1)!(n- m +1)!(n - m +1)!1!+ 2?2! 3?3! L + n ?n ! (n +1)!- 1证明：左边 =(2-1)1！+（3-1）2！+（4-1）3!+ （ n+1-1）n!=2!-1!+3!-2!+4!-3!(n+1)!-n!=(n+1)!-1！=右边六、组合恒等式的证明首先明弄清组合的两个性质公式：C nm

9、 = C nn - m互补性质： 取出有多少种，剩下就有多少种要么含有新C nm+1 =C nm +C nm - 1根据分类计数原理 :要么含有新加元素要么不含新加元素 C nm = m +1 C nm +1 = n - m +1C nm - 1n - mm只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除m +1m +1(m +1)n !n !mn - mC n =m !( n - m)!= C n(n - m)( m +1)!(n - m - 1)!证明：n - m +1C nm - 1 = n - m +1gn !=n != C nmmm(m - 1)!(n - m +1)!m

10、!( n - m)!m=nm C n-C n - 1nm证明：右边 =nCnm-1 =ng(n - 1)!=n!=Cnmn - mn - m m!(n - m- 1)!m!(n - m)! Cm=nCm- 1nmn- 1证明：ng( n- 1)!=mn != Cnm右边 = m( m - 1)!(n-m )!( n -m )!=左边rrrrr +1C r+ C r +1+ C r + 2+ L + C n= C n +1证明：根据组合性质，左边各式可写成：只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除rr +1C r =C r +1rr +1C r +1 =C r +2rr +1C

11、 r +2 = C r +3rr +1C r +3 = C r +4M- C rr +11- C rr+21- C rr+31C nr - 1 = C nr +1 - C nr -+11C nr =C nr +11 - C nr +1左右两边相加即得：Crr +Crr+1 +Crr+2 +L +Cnr =Cnr+11 C n0 + C n1 + L+ C nn= 2 n证明：用数学归纳法 证明。1）当 n=1 时， C 10 +C11= 2 = 21 所以等式成立。2）假设 n=k 时，（k 1 ， k N* ）时等式成。立即：C k0 +C k1 +C k2 +L +C kkk= 2当 n=

12、k+1 时，012kk +1C k +1+C k +1+C k +1+L +C k +1+C k +100112k - 1kk +1= C k +1+ (C k+C k) + (C k+C k) +L + (C k+C k) +C k +1= (C k0 +C k1 +C k2 +L +C kk ) + (C k0 +C k1 +C k2 +L +C kk )= 2g2k= 2k +1等式也成立由 1) 、2)得，等式对 n N* 都成立。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除也可用二项式定理证明（略） Cn1 +Cn3 +C n5 L =C n0 +Cn2 +C n4 L

13、 = 2n - 1证明：用归纳法同上（略）也可利用上述结论证明（略）本课件尽量避开用二项式定理，但这比较简单，暂且用一下：135设 a =C n +C n +C n +L024b =C n +C n +C n +L由（ 1+1）n 可得： a+b=2n=2×2n-1由（ 1-1 ）n 可得 a-b=0a=b=2n-1(不懂的去学学二项式定理) C n1 + 2C n2 + 3C n3 +L+ nC nn = n g2n - 1证明：m m - 1由 mC n = nC n - 1 可得 :（还记得这个恒等式吗，不记得就回过头去看的证明）左边=nCn0-1 +nCn1- 1 +nCn2- 1 +nCn3-1 +L nCnn-11=n(Cn0-1 +Cn1-1 +Cn2-1 +Cn3-1 +L Cnn-11)=ng2n-1注：同时利用了的结论。只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除 CmrCn0 +Cmr- 1C