第三章中值定理与导数的应用(三峡大学高等数学教案)

1、学习必备欢迎下载第三章中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点 ：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。

2、教学难点：1、 罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、 极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。 3 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数 f(x)在点 x0的某邻域u(x0)内有定义并且在 x0处可导如果对任意xu(x0)有f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0)那么 f (x0) 0罗尔定理如果函数y f(x)在闭区间 a, b上连续在开区间 (a, b)内可导且有 f(a) f(b)那么在 (a, b)内至少在一点使得 f ( ) 0简要证明(1)如果 f(x)是常函数则 f (x) 0定理的结论显然成立(2)如果 f(x)不是常函数则f(x

3、)在(ab)内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点(a b)于是0)()(lim)()(xfxfffx0)()(lim)()(xfxfffx所以 f (x)=0. 学习必备欢迎下载二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数 f(x)在闭区间 a b上连续在开区间 (a b)内可导那么在 (a b)内至少有一点(a b)使得等式f(b) f(a) f ( )(b a) 成立拉格朗日中值定理的几何意义f ( )abafbf)()(定理的证明引进辅函数令(x) f(x) f(a)abafbf)()(x a)容易验证函数f(x)适合罗尔定理的条件(a)(b) 0(x)在闭区间 a b 上连

4、续在开区间(a b)内可导且(x) f (x)abafbf)()(根据罗尔定理可知在开区间(a b)内至少有一点使( ) 0即f ( )abafbf)()(0由此得abafbf)()( f ( ) 即f(b) f(a) f ( )(b a)定理证毕f(b) f(a) f ( )(b a)叫做拉格朗日中值公式这个公式对于b0 或x0)或xx x (x0)应用拉格朗日中值公式得f(xx) f(x) f (xx)x (0 1)如果记 f(x)为 y则上式又可写为y f (xx)x (0 1)试与微分d y f (x)x 比较d yf (x)x 是函数增量y 的近似表达式而f (xx)x 是函数增量y

5、 的精确表达式作为拉格朗日中值定理的应用我们证明如下定理定理如果函数f(x)在区间 i 上的导数恒为零那么 f(x)在区间 i 上是一个常数证在区间 i 上任取两点x1x2(x1x2)应用拉格朗日中值定理就得f(x2) f(x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2)由假定f ( ) 0所以 f(x2) f(x1) 0即f(x2) f(x1)因为 x1x2是 i 上任意两点所以上面的等式表明f(x)在 i 上的函数值总是相等的这就是说f(x)学习必备欢迎下载在区间 i 上是一个常数例证明当 x 0 时xxxx)1ln(1证设 f(x) ln(1 x)显然 f(x)在区间 0 x上满足拉格朗

6、日中值定理的条件根据定理就有f(x) f(0) f ( )(x 0) 0 x。由于 f(0) 0 xxf11)(因此上式即为1)1ln(xx又由 0 x有xxxx)1ln(1三、柯西中值定理设曲线弧c 由参数方程)()(xfyxfx(a x b) 表示其中 x 为参数如果曲线c 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线那么在曲线c 上必有一点x使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦ab曲线 c 上点 x处的切线的斜率为)()(ffdxdy弦 ab 的斜率为)()()()(afbfafbf于是)()()()()()(ffafbfafbf柯西中值定理如果函数f(x)及 f(x)在闭区间 ab上连续在

7、开区间 (a b)内可导且 f(x)在(a b)内的每一点处均不为零那么在 (a b)内至少有一点使等式)()()()()()(ffafbfafbf成立显然如果取 f(x) x那么 f(b) f(a) b a f (x) 1因而柯西中值公式就可以写成f(b) f(a) f ( )(b a) (a b)这样就变成了拉格朗日中值公式了作业： p134：2；7； 10；11（2） ；12 学习必备欢迎下载 3. 2 洛必达法则一、当ax或x时的未定式00型和型的情形定理 1 设（ 1）当ax时，函数)(xf及)(xf都趋于零；（ 2）在点a的某去心领域内，)(xf及)(xf都存在且0)(xf；（ 3

8、）)()(limxfxfax存在（或无穷大） ，则)()(lim)()(limxfxfxfxfaxax例1.求bxaxxsinsinlim0，)0(b；例 2 求123lim2331xxxxxx例 3 求30sinlimxxxx定理 2 设（ 1）当x时，函数)(xf及)(xf都趋于零；（ 2）当nx |时，)(xf及)(xf都存在且0)(xf；（ 3）)()(limxfxfx存在（或无穷大） ，则学习必备欢迎下载)()(lim)()(limxfxfxfxfxx例 4 求xxx1arctan2lim例 5 求0,lnlimnxxnx例 6 求为正整数nexxnx,lim3例 7 求xxxxxt

9、antanlim20二、 0,00,1 ,0型的未定式这几种类型都可以化为未定式00型和型的情形。1. 0型例 8. 求0,lnlim0nxxnx2.型例 9. 求)1sin1(lim0 xxx3.00,1 ,0型例 10. 求xxx0lim例 11. 求111limxxx例 12. 求xxxln10)(cotlim例 13. 求xxxxxsintanlim20作业： p138：1（1） （2） （4） （5） （7） （9） （ 11） （13） （14） （15）学习必备欢迎下载 3. 3 泰勒公式对于一些较复杂的函数为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多项式表示的函数只要

10、对自变量进行有限次加、减、乘三种运算便能求出它的函数值因此我们经常用多项式来近似表达函数在微分的应用中已经知道当|x|很小时有如下的近似等式ex1 x ln(1 x) x这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子但是这种近似表达式还存在着不足之处首先是精确度不高这所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小其次是用它来作近似计算时不能具体估算出误差大小因此对于精确度要求较高且需要估计误差时候就必须用高次多项式来近似表达函数同时给出误差公式设函数 f(x)在含有 x0的开区间内具有直到(n 1)阶导数现在我们希望做的是找出一个关于(x x0)的 n次多项式pn(x) a 0a 1(x x0) a 2(x

11、x0) 2 an(x x0)n来近似表达f(x)要求 pn(x)与 f(x)之差是比 (x x0)n高阶的无穷小并给出误差 | f (x)pn (x)|的具体表达式我们自然希望pn(x)与 f(x)在 x0的各阶导数 (直到 (n 1)阶导数 )相等这样就有pn(x) a 0a 1(x x0) a 2(x x0) 2 an(x x0)npn(x) a 12 a 2(x x0)nan(x x0)n 1 pn(x) 2 a 2 3 2a 3(x x0)n (n 1)an(x x0)n 2pn(x) 3!a 34 3 2a 4(x x0) n (n 1)(n 2)an(x x0)n 3pn (n)(

12、x) n! an学习必备欢迎下载于是pn(x0) a 0pn(x0) a 1pn(x0) 2! a 2pn(x) 3!a 3pn (n)(x) n! an按要求有f(x0) pn(x0) a0f (x0) pn(x0) a 1f(x0) pn(x0) 2! a 2f(x0) pn(x0) 3!a 3f(n)(x0) pn (n)(x0) n! an从而有a 0f(x0) a 1f (x0)(! 2102xfa)(! 3103xfa)(!10)(xfnann)(!10)(xfkakk(k 0 1 2n)于是就有pn(x) f(x0) f (x0) (x x0)(! 210 xf(x x0) 2

13、)(!10)(xfnn(x x0)n泰勒中值定理如果函数f(x)在含有 x0的某个开区间(a b)内具有直到 (n 1)的阶导数则当 x在(a b)内时f(x)可以表示为 (x x0)的一个 n 次多项式与一个余项rn(x)之和)()(!1)(! 21)()()(00)(200000 xrxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn其中10) 1()()!1()()(nnnxxnfxr(介于 x0与 x 之间 )这里多项式nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp)(!1)(! 21)()()(00)(200000称为函数f(x)按(x x0)的幂展开的n 次近似多项式公式200000)(! 21)

14、()()(xxxfxxxfxfxf)()(!100)(xrxxxfnnnn称为 f(x)按(x x0)的幂展开的n 阶泰勒公式而 rn(x)的表达式其中10) 1()()!1()()(nnnxxnfxr( 介于 x 与 x0之间 )称为拉格朗日型余项当 n 0 时泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x) f(x0) f ( )(x x0) ( 在 x0与 x 之间 )因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广如果对于某个固定的n 当 x 在区间 (a b)内变动时 |f(n 1)(x)|总不超过一个常数m则有估计式学习必备欢迎下载1010) 1(|)!1(|)()!1()(| )(|nnnnxxnm

15、xxnfxr及0)(lim0)(0nxnxxxxr可见妆 xx0时误差 |rn(x)|是比 (x x0)n高阶的无穷小即rn (x) o(x x0)n在不需要余项的精确表达式时n 阶泰勒公式也可写成200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!1000)(nnnxxoxxxfn当 x00 时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是)(!) 0(! 2) 0() 0()0()()(2xrxnfxfxffxfnnn或)(!) 0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf其中1) 1()!1()()(nnnxnfxr由此得近似公式nnxnfxfxffxf!)0(

16、! 2)0()0() 0()()(2误差估计式变为1|)!1(| )(|nnxnmxr例 1写出函数f(x) ex的 n 阶麦克劳林公式解因为f(x) f (x) f(x)f( n)(x) ex所以f(0) f (0) f(0)f( n)(0) 1于是12)!1(!1! 211nxnxxnexnxxe(0)并有nxxnxxe!1! 2112这时所产性的误差为|rn(x)| |)!1(nexxn 1|)!1(|nex| x |n 1当 x 1 时可得 e 的近似式!1! 2111nex其误差为|rn|0则 f(x)在a b上的图形是凹的(2)若在 (a b)内 f(x)0则 f(x)在a b上的

17、图形是凸的简要证明只证 (1)设21, xxx1x2a b且 x1x2记2210 xxx由拉格朗日中值公式得2)()()()(21101101xxfxxfxfxf011xx2)()()()(12202202xxfxxfxfxf220 xxx1x 2yxo 221xx221xxf2)()(21xfxff(x2) f(x1) x1x 2yxo 221xx221xxf2)()(21xfxff(x2) f(x1) 学习必备欢迎下载两式相加并应用拉格朗日中值公式得2)()()(2)()(1212021xxffxfxfxf02)(1212xxf21即)2(2)()(2121xxfxfxf所以 f(x)在a

18、 b上的图形是凹的拐点连续曲线 y f(x)上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线y f(x)的凹凸区间和拐点的步骤(1)确定函数y f(x)的定义域(2)求出在二阶导数f(x)(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4)判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点注根据具体情况（1） （3）步有时省略例 1判断曲线y ln x 的凹凸性解xy121xy因为在函数y ln x 的定义域 (0)内y 0所以曲线y ln x 是凸的例 2判断曲线y x3的凹凸性解y3x 2y6x由 y0得 x 0因为当 x0 时 y 0 时 y 0所以曲线在 0)内为凹的例 3求曲线 y 2x 33x

19、22x 14 的拐点解y 6x 26x 12)21(12612xxy令 y0得21x因为当21x时 y0当21x时 y0 所以点 (212120)是曲线的拐点例 4求曲线 y 3x 44x31 的拐点及凹、凸的区间解 (1)函数 y 3x 44x31 的定义域为 ()(2)231212xxy)32(3624362xxxxy(3)解方程 y0得01x322x(4)列表判断( 0) 0 (0 2/3) 2/3 (2/3) f(x) 0 0 f(x) 1 11/27 学习必备欢迎下载在区间 (0和2/3)上曲线是凹的在区间 02/3上曲线是凸的点 (0 1)和(2/311/27)是曲线的拐点例 5问

20、曲线 y x 4是否有拐点？解y4x 3y12x 2当 x0 时 y 0在区间 ()内曲线是凹的因此曲线无拐点例 6 求曲线3xy的拐点解(1)函数的定义域为()(2) 3231xy3292xxy(3)无二阶导数为零的点二阶导数不存在的点为x 0(4)判断当 x0当 x0 时 y 0因此点(0 0)曲线的拐点作业： p152：3（1） （3） （5） ；5（1） （2） （4） ；8（1） （3） ； 9（1） （3） ；12 3 5 函数的极值与最大值最小值一、函数的极值及其求法极值的定义定义设函数 f(x)在区间 (a, b)内有定义x0(a, b)如果在 x0的某一去心邻域内有f(x)f

21、(x0)则称 f(x0)是函数f(x)的一个极大值如果在 x0的某一去心邻域内有f(x) f(x0)则称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值设函数 f(x)在点 x0的某邻域 u(x0)内有定义如果在去心邻域u(x0)内有 f(x) f(x0) (或 f(x) f(x0)则称 f(x0)是函数f(x)的一个极大值(或极小值 )函数的极大值与极小值统称为函数的极值使函数取得极值的点称为极值点函数的极大值和极小值概念是局部性的如果 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值那只是就x0附近的一个局部范围来说f(x0)是 f(x)的一个最大值如果就 f(x)的整个定义域来说f(x0)不一定是最大值关

22、于极小值也类似极值与水平切线的关系在函数取得极值处曲线上的切线是水平的但曲线上有水平切线的地方函数不一定取得极值定理 1 (必要条件 )设函数 f(x)在点 x0处可导且在 x0处取得极值那么这函数在x0处的导数为零即 f (x0) 0证为确定起见假定f(x0)是极大值 (极小值的情形可类似地证明)根据极大值的定义在x0的某个去心邻域内对于任何点xf(x) f(x0)均成立于是当 xx0时0)()(00 xxxfxf因此f (x0)0)()(lim000 xxxfxfxx学习必备欢迎下载当 xx0时0)()(00 xxxfxf因此0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx从而得到f (

23、x0) 0 驻点使导数为零的点(即方程 f (x) 0 的实根 )叫函数 f(x)的驻点定理就是说可导函数f(x)的极值点必定是函数的驻点但的过来函数 f(x)的驻点却不一定是极值点考察函数f(x) x3在 x 0 处的情况定理 (第一种充分条件)设函数 f(x)在点 x0的一个邻域内连续在 x0的左右邻域内可导(1) 如果在 x0的某一左邻域内f (x) 0 在 x0的某一右邻域内f (x) 0那么函数 f(x)在 x0处取得极大值(2) 如果在 x0的某一左邻域内f (x) 0 在 x0的某一右邻域内f (x) 0那么函数 f(x)在 x0处取得极小值(3)如果在 x0的某一邻域内f (x

24、)不改变符号那么函数f(x)在 x0处没有极值定理 (第一种充分条件)设函数 f(x)在含 x0的区间 (a, b)内连续在 (a, x0)及 (x0, b)内可导(1)如果在 (a, x0)内 f (x) 0在(x0, b)内 f (x) 0那么函数f(x)在 x0处取得极大值(2)如果在 (a, x0)内 f (x) 0在(x0, b)内 f (x) 0那么函数f(x)在 x0处取得极小值(3)如果在 (a, x0)及(x0, b)内 f (x)的符号相同那么函数f(x)在 x0处没有极值定理 2 (第一充分条件)设函数 f(x)在 x0连续且在 x0的某去心邻域(x0 x0)(x0 x0

25、)内可导(1)如果在 (x0 x0)内 f (x) 0在(x0 x0)内 f (x) 0那么函数 f(x)在 x0处取得极大值(2)如果在 (x0 x0)内 f (x) 0在(x0 x0)内 f (x) 0那么函数 f(x)在 x0处取得极小值(3)如果在 (x0 x0)及(x0 x0)内 f (x)的符号相同那么函数f(x)在 x0处没有极值定理 2 也可简单地这样说当 x 在 x0的邻近渐增地经过x0时如果 f(x)的符号由负变正那么 f(x)在 x0处取得极大值如果 f (x)的符号由正变负那么 f(x)在 x0处取得极小值如果 f (x)的符号并不改变那么 f(x)在 x0处没有极值(

26、注定理的叙述与教材有所不同) 确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f (x)(2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点(3)列表判断 (考察 f (x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极值点如果是极值点还要按定理2 确定对应的函数值是极大值还是极小值)(4)确定出函数的所有极值点和极值例 1 求函数32) 1()4()(xxxf的极值解 (1)f(x)在 ()内连续除 x1 外处处可导且313) 1(5)(xxxf学习必备欢迎下载(2)令 f (x) 0得驻点 x 1 x1 为 f(x)的不可导点(3)列表判断x (1) 1 ( 1 1) 1 (1) f (x) 不可

27、导0 f(x) 0 343(4)极大值为f( 1) 0极小值为343) 1(f定理 3 (第二种充分条件)设函数 f(x)在点 x0处具有二阶导数且f (x0) 0f(x0) 0那么(1)当 f(x0) 0时函数 f(x)在 x0处取得极大值(1)当 f(x0) 0时函数 f(x)在 x0处取得极小值证明在情形 (1)由于 f(x0) 0 按二阶导数的定义有0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx根据函数极限的局部保号性当 x 在 x0的足够小的去心邻域内时0)()(00 xxxfxf但 f (x0) 0 所以上式即0)(0 xxxf从而知道对于这去心邻域内的x 来说f (x)与 x

28、 x0符号相反因此当 x x00 即 x x0时 f (x) 0当 x x00 即 x x0时 f (x) 0根据定理2 f(x)在点 x0处取得极大值类似地可以证明情形(2)定理 3 表明如果函数f(x)在驻点 x0处的二导数f(x0) 0那么该点x0一定是极值点并且可以按二阶导数f(x0)的符来判定f(x0)是极大值还是极小值但如果 f(x0) 0定理 3 就不能应用讨论函数 f (x)x4g(x) x3在点 x 0 是否有极值？提示f (x) 4x 3f (0) 0 f(x) 12x2f(0) 0但当 x 0 时 f (x) 0当 x 0 时 f (x) 0所以 f(0) 为极小值g (

29、x) 3x2g (0) 0g(x) 6xg(0) 0但 g(0)不是极值例 2求函数 f(x) (x21)31 的极值解(1)f (x) 6x(x21)2(2)令 f (x) 0求得驻点x11 x20 x31(3)f(x) 6(x21)(5x21)(4)因 f(0) 6 0 所以 f (x)在 x 0 处取得极小值极小值为 f(0) 0(5)因 f( 1) f(1) 0 用定理 3 无法判别因为在1 的左右邻域内f (x) 0所以 f(x)在 1 处没有极值同理 f(x)在 1 处也没有极值二、最大值最小值问题学习必备欢迎下载在工农业生产、工程技术及科学实验中常常会遇到这样一类问题在一定条件下

30、怎样使“产品最多” 、 “用料最省” 、 “成本最低” 、 “效率最高” 等问题这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题极值与最值的关系设函数 f(x)在闭区间 a b上连续则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得如果最大值不在区间的端点取得则必在开区间 (a b)内取得在这种情况下最大值一定是函数的极大值因此函数在闭区间 a b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理函数在闭区间ab上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者最大值和最小值的求法设 f(x)在(a b)内的驻

31、点和不可导点(它们是可能的极值点)为 x1x2xn则比较f(a) f(x 1)f(xn) f(b) 的大小其中最大的便是函数f(x)在a b上的最大值最小的便是函数f(x)在a b上的最小值例 3 求函数 f(x) |x23x 2|在 3 4上的最大值与最小值解)2, 1 (23 4, 2 1, 323)(22xxxxxxxf)2, 1(32)4,2() 1, 3(32)(xxxxxf在( 3 4)内 f(x)的驻点为23x不可导点为x 1 和 x 2由于 f( 3) 20 f(1) 041)23(ff(2) 0 f(4) 6 比较可得f(x)在 x3 处取得它在 3 4上的最大值 20在 x

32、 1 和 x 2 处取它在 3 4上的最小值0例 4工厂铁路线上ab 段的距离为100km工厂 c 距 a 处为 20km ac 垂直于 ab为了运输需要要在 ab 线上选定一点d 向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3: 5 为了使货物从供应站b 运到工厂 c 的运费最省问 d 点应选在何处？解设 ad x (km)则 db 100 x 2220 xcd2400 x设从 b 点到 c 点需要的总运费为y那么y 5k cd 3k db (k 是某个正数 )即24005xky3k(100 x) (0 x 100)dc20kmab100km学习必备欢迎下载现在问题

33、就归结为x 在0 100内取何值时目标函数y 的值最小先求 y 对 x 的导数) 34005(2xxky2400 xcd解方程 y0得 x 15(km)由 于y|x 0400ky|x 15380k2100511500|kyx其 中 以y|x 15380k 为 最 小因 此 当adx 15km 时总运费为最省注意f(x)在一个区间 (有限或无限开或闭 )内可导且只有一个驻点x0并且这个驻点x0是函数 f(x)的极值点那么当 f(x0)是极大值时f(x0)就是 f(x)在该区间上的最大值当 f(x0)是极小值时 f(x0)就是 f(x)在该区间上的最小值应当指出实际问题中往往根据问题的性质就可以断

34、定函数f(x)确有最大值或最小值而且一定在定义区间内部取得这时如果f(x)在定义区间内部只有一个驻点x0那么不必讨论f(x0)是否是极值就可以断定f(x0)是最大值或最小值例 5 把一根直径为d 的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h 和宽 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量w (261bhw)最大 ? 解 b 与 h 有下面的关系h 2d 2b 2因而)(6122bdbw(0bd)这样w 就是自变量b 的函数b 的变化范围是(0 d)现在问题化为b 等于多少时目标函数w 取最大值？为此求 w 对 b 的导数)3(6122bdw解方程 w0 得驻点db31由于梁的最大抗弯截面模量一定存在而

35、且在 (0d)内部取得现在函数)(6122bdbw在f(x 0) o ax 0bx y f(x) y f(x 0) o ax 0bx y f(x ) y dhb学习必备欢迎下载(0 d)内只有一个驻点所以当db31时 w 的值最大这时2222223231dddbdh即dh321:2:3:bhd解把 w 表示成 b 的函数261bhw)(6122bdb(0b0相反时 s0dxds21 y于是 ds21 ydx这就是弧微分公式因为当x0 时s mnx 又s与同号所以202200)(1lim|)()(limlimxyxyxxsdxdsxxx21y因此dxyds21这就是弧微分公式二、曲率及其计算公式曲线弯曲程度的直观描述设曲线 c 是光滑的在曲线 c 上选定一点m0作为度量弧s 的基点设曲线上点m 对应于弧 s 在点 m