最新分式培优讲义

1、精品文档讲义分式姓名：精品文档精品文档分式知识点一：分式的定义一般地，如果 A ， B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子A 叫做分式， A 为分子， B 为分母。B知识点二：与分式有关的条件分式有意义：分母不为 0（ B 0）分式无意义：分母为 0（ B=0 ）分式值为 0：分子为 0 且分母不为0（ A=0 且 B 0）分式值为正或大于0：分子分母同号（或）分式值为负或小于0：分子分母异号（或）分式值为 1：分子分母值相等（ A=B ）分式值为 - 1：分子分母值互为相反数（A+B=0 ）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变。字母

2、表示：，其中 A、B、C 是整式， C0。拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0 这个限制条件和隐含条件B0。知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。注意：分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。精品文档

3、精品文档知识点五：分式的通分分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。确定最简公分母的一般步骤： 取各分母系数的最小公倍数； 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； 相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。知识点六：分式的四则运算与分式的乘方分式的乘除法法则：

4、分式乘分式 ，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。式子表示为：分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。式子表示为分式的乘方 ：把分子、分母分别乘方。式子分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序精品文档1 的分式，再通分。精品文档先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。注意：在运算过程中，要

5、明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。知识点七：整数指数幂引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实数，并且正正整数幂的法则对对负整数指数幂一样适用。即（）（） （） （任何不等于零的数的零次幂都等于1） m， n 均为整数。科学记数法若一个数 x 是 0<x<1 的数，则可以表示为a 10-n （ 1 a10 ，即 a 的整数部分只有一位， n 为整数）的形式，n 的确定：n=从左边第一个 0 起到第一个不为0 的数为止所有的0 的个数的相反数。 如 0.000000125= 1.25 10 7若一个数 x

6、是 x>10 的数则可以表示为 a10 n （ 1 a 10 ，即 a 的整数部分只有一位， n 为整数）的形式， n的确定： n=比整数部分的数位的个数少1。如 120 000 000= 1.2 108知识点七分式方程的解的步骤去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0。知识点八：列分式方程基本步骤审：仔细审题，找出等量关系。设：合

7、理设未知数。列：根据等量关系列出方程（组）。解：解出方程（组）。注意检验验：检验并答题。精品文档精品文档计算专练11x，然后从中选取一个你认为合适 的数作为 x 的值代入求值1、化简 ()22,1, 1xx 112x 2化简求值： a(41) a 1 a 2 a a 21 xyx2 y22y，其中 a化简：3y223xx6xy 9yx y221 x1223a b 3c2bc42b34a2)(xy )2 (x2 xy)3 ( xy )23 )(2 )( )()( )(yy(3bcabax 2yy x2a1112x 6(x 3) x2x 6x 1x2 11 x11x；3 x2；x2 4x 412

8、4x2x 62(x9)aa2 2a a 12x 4 (2 x)2aa 1 a2 4 a2 3a 2(a )3 ( a6c)x2x 1bcx22xx2 4x 4xaa22a2a1a21a 1a1(x2y )xy(11)xyx yx 2yxyaa2aa12a21(a)a 11精品文档精品文档a2223xx2a 42a 2 a 8a 16x 1a 1a2 2a 8÷2-4）· a 4a4a 44a2x 1 x 1xa 1（aa 22b 2x yy2x y2 3x13x23x 2a+b+y xx yy x4 9x223x 3x 2(x+1)÷a bx 12x 223111

9、a 3 b 222( x 2 y 3 ) 1 (x2 y 3 )2233.14 01 2 11a b32005032210123(1)2 11(2)3 12015 (2004 ) 022014223321x11x12xx22x3x2 2 xx 2 x2x 26 53x 2x 1精品文档精品文档124x5x 1x 122x 51x 15 2xx31x1( x1)( x2)精品文档精品文档分式典型题1xya2abx 211、代数式 ,4,0,a,x2中，是整式的有 _，是分式的有 _.x2b1( x1)( x2)2、若 M=x21,则当 x_时， M 有意义；当 x=_ 时， M=0；当 x=_

10、时， M=4.3、当 x_时，分式x2的值为正数 .5x4、在正数范围内定义一种运算11，则 x*( x+1)=_.* ，其规则为 a* b=ba5、不论 x 取何值时，下列分式总有意义的是（）x1B.x 2C.xD.xA.(x2) 2x 2x22x22x25x6的值为（）6、若 x 9=0,则分式x3A.1B.5C.1 或 5D.57、若分式 | m |1 的值为零，则m 取值为 ()m2mA. m=± 1B.m= 1C.m=1D.m 的值不存在8、每千克 m 元的糖果 x 千克与每千克n 元的糖果 y 千克混合成杂拌糖， 这样混合后的杂拌糖果每千克的价格为()A. nxmy 元B

11、. mxmy 元C. mn 元D. 1(xy )元xyxyxy2mn3x9、如果把分式x2 yA.扩大 2 倍中的 x、 y 的值都扩大2 倍，那么分式的值（）B.扩大 6 倍C.扩大 3 倍D.不变10、甲、乙两人加工某种机器零件，已知甲每天比乙多做a 个，甲做m 个所用的天数与乙做n 个所用的天数相等（其中m n），设甲每天做x 个零件，则甲、乙两人每天所做零件的个数分别是（）A.am、anB.an、amC.am、anD.am、anmnmnmnmnmnmnnmnm11、下列各式中，是分式的是()x122x1xA.2B.3xC. x3D. 1212、当 a 为任何实数时，下列分式中一定有意义

12、的一个是()a1B.1a21a1A.a1C.1D.1a2aa2精品文档精品文档13、当 m_时，关于 x 的方程x2m 有增根；x3x3若关于 x 的方程=无解，则 m=14、已知 xyz ( x 0) ，求分式2x3y3z 的值。2342x3y3z15、已知113 ，求 5xxy5y 的值 .xyxxyy16、若方程 2xa1的解是正数，求a 的取值范围 .x2已知关于x 的分式方程=1 的解是非正数，求a 的取值范围 .217、已知 a +3a+1=0, 求（ 1） a+12141;（ 2） a +a2 ;（ 3） a +a4a18、已知 a、b、 c 均不为 0，且 a+2b3b c2c

13、a ,求 c2b 的值。5372b3a精品文档精品文档19、已知 a2 10a 25b 3 ，求代数式b4a3ab 22a2bb2a2的值ab2b3abb220、若 xy z 0, xyz 0xyz的值。，求z xx yy z11ab21、已知5( a b), 求b( a b)的值aba(a b)a4a3 b a2b2ab3a3ab222、化简：3b ab 32a2b2a2b b3a23、计算：（巧算）1221x 2x3x5x 4x 2 x 1 x 1 x 2x 1x2x4x 31111xx( x 1)(x 1)( x 2)( x 2013)( x 2014)24、已知 x 为正整数，且222

14、x18 也为正整数，求所有符合条件的x 的值。x33 xx29精品文档精品文档分式培优题一、填空ab是。1、若 a、b 满足+ =2，则的值bax与 3x 互为倒数2、当 x_ 时，x3x3、如果，则；4、当 m=时，分式 m24m3 的值为零 .5 、已知1- 1=4，则aabb=。m23m2ab2a2b7ab6、若 a b c=1 3 5，则 ab c =， a2b2c2=。aa 27、已知： a2b = 5 ，则 a =8 、已知，则=。b3b9、如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为，第（ 2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为， ，依此类推, 由正边形“扩展”而来

15、的多边形的边数记为（ n 3） . 则的值是,当的结果是时， n 的值.10、先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题(1)计算精品文档精品文档（2）探究（用含有的式子表示）（3）若的值为，求的值二、选择题11、如果 m 个人完成一项工作需要d 天，则（ m+n）个人完成这项工作需要的天数为（）A+B -C mdd nd ndDmnmn12、若 x+1求x2的值是（）1B1C11=3,4x 2A Dxx18102413、如果 a =2，则 a2abb2 ( )A 4B 1C 3D 2ba 2b 25514、如果满足，那么 a 21的值是( )A 4B 4C 4D 14a 2151715、

16、已知分式6a18 的值是正整数，求整数a 的值。a 2916、已知：的值17、已知 abc0 ，求分式 3a2b3c 的值。345abc精品文档精品文档18、已知 x13 ，求分式 x 21的值，能求出 x31， x 41的值吗？xx2x3x419、已知 3x 4y z0,2x y 8z o ，求 x2y 2z2的值。xyyz2xz20、已知xyz，a bc互不相等） ，求x y z的值。abb cc( , ,aab1bc1ac1abc21、已知 a,b,c为实数，且,，的值是多少？a b 3b c 4a c 5ab bc ca22、（ 1）请你任意写出3 个正的真分数： _ ，_，_ ，给每

17、个分数的分子、分母同加一个相同正数得到三个新分数：_ _ ，_ _，_，（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是 a （ ，均为正数），给其分子分母同加一个正数，得 am ，则两个分数的大小关系是bbma m _ a 并证明你的结论b mb精品文档精品文档分式方程培优题1、若关于 x 的方程 m1xx =0 有增根，则 m的值是（）x 11A3 B 2C 1D -12、已知方程x23有增根，则这个增根一定是（）x33xA 2B3C 4D 5| x |13、若 x22x3 的值为零，则 x 的值是 ()A. ±1B.1C.-1D. 不存在xa4、分式

18、3x1中，当 x=-a 时，下列结论正确的是()A. 分式的值为零B. 分式无意义 C.若 a1 时 ,分式的值为零D. 若 a1 时,分式的值为零2x m33=1 的解是正数，则 m 的取值范围是（）5、关于 x 的方程x - 1A 、 m -1B 、 m -1 且 m 0C、 m -1D 、 m -1 且 m -26、某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合作所需天数的a 倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合作所需天数的 b 倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合作所需天数的c 倍，则1+1+1 的值是（）A、1B、2C、 3D、 4a 1b1c17、若关于 x 的方程 ax1 -1=0 无实数根

19、，则 a 的值为 _x18、若关于 x 的方程2=1-m无解，则 m=x - 3x 39、若分式方程2+5=m会产生增根，则m=x1 1xx2110、若关于 x 的分式方程2xa =-1, 的解是正数，则a 的取值范围是x2111111、计算 x2x4x6x812、解方程：x 1 x 3 x 5 x 7x5 x6x8x9b2 a 23 b 2c24，求11、已知 a 、 c 为实数，且满足0的值。13(b3) c2a bb c精品文档精品文档2a 2 2a 1a4的值14、已知 a 2a 1 0，求（2） ÷a 2a a 4a 4a2【应用与探究】15、先阅读下列一段文字，然后解答问

20、题已知：方程 x- 1=11 的解是 x1=2， x2=- 1；方程 x- 1 =2 2的解是 x1=3， x2=-1 ；x22x33方程 x- 1=33 的解是 x1=4，x2=-1 ；方程 x- 1=4 4的解是 x1=5，x2=- 1 x44x55问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程x- 1=10 10 的解，并写出检验x1116、阅读理解题：阅读下列材料，关于x 的方程：x+ 1=c+ 1 的解是 x1 =c， x2= 1 ；x-1 =c- 1 的妥是 x1=c，x2=-1 ；xccxcc22的解是 x=c，x2；x+33的解是 x =c， x =3x+=c+=c+xc12cxc12

21、c（ 1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x 的方程 x+ mcm （ m 0）与它们的关系， ?猜想它的解xc是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证（ 2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论： ?如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数，方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于2a2x 的方程： x+.x 1a117、福兴商场文具专柜以每枝a（ a 为整数）元的价格购进一批“英雄 ”牌钢笔，决定每枝加价2 元销售 .由于这种品牌的钢笔价格优、质量好、外表美，很快就销售一空.结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为399

22、a+805(元 ).你能根据上面的信息求出文具专柜共购进多少枝钢笔及每枝钢笔的进价a 是多少元吗？精品文档精品文档18、求方程2 x 2 -xy-3x+y+2006=0 的正整数解。19、甲、乙两人同时从 A 地到 B 地，甲前一半路程用速度 a，后一半路用速度 b；乙前一半时间用速度 a，后一半时间用速度 b，问哪个先到达 B 地？分式方程应用题1、抗震救灾抢修损坏的桥梁工程必须在规定日期内完成，保证救灾物质顺利通过。如果甲工程队单独做正好如期完成；若乙工程队单独做需要超过 4 天才能完成。现由甲、乙两队合作 3 天，余下的工程由乙队单独做正好按期完成，问规定日期是多少天？2、南宁市2006

23、 年的污水处理量为 10 万吨 / 天， 2007 年的污水处理量为 34 万吨 / 天， 2007 年平均每天的污水排放量是2006 年平均每天污水排放量的1.05倍，若 2007 年每天的污水处理率比2006 年每天的污水处理率提高（污水处理率污水处理量）40%污水排放量（1）求南宁市2006 年、 2007 年平均每天的污水排放量分别是多少万吨？（结果保留整数）（2）预计我市2010 年平均每天的污水排放量比2007 年平均每天污水排放量增加20%，按照国家要求 “2010年省会城市的污水处理率不低于2007 年每天污水处理量的基 70%”，那么我市 2010 年每天污水处理量在础上至少

24、 还需要增加多少万吨，才能符合国家规定的要求？精品文档精品文档3、岳阳王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6 个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5 个月的时间完成（1）甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月的时间？（2）已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多 6 万元，按要求该工程总费用不超过141 万元，工程必须在一年内竣工（包括 12 个月）为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月，乙队做b 个月（ a、 b 均为整数）分工合作的方式施工，问有哪几种施工方案？4、小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B 铅笔，请根据下列情景解决

25、问题。一次购买铅笔 300 支以上 ( 不包括 300 支 ) ，若给九年级学生每人购买1 支，只能按零售价付款， 需要 120 元；若多购买 60 支，则可可以按批发价付款； 购买 300 支以下 ( 包括按批发价付款，同样需要120 元。300 支 ) ，只能按零售价付款。售货员小明(1) 这个学校九年级学生总数在什么范围内？(2) 若按批发价购买 6 支与按零售价购买 5 支的所付款相同，那么这个学校九年级学生5、甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏， 商定：用球拍托着乒乓球从起跑线 l 起跑，绕过 P 点跑回到起跑线 （如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜结果：

26、甲同学由于心急，掉了球，浪费了 6 秒钟，乙同学则顺利跑完事后，甲同学说： “我俩所用的全部时间的和为50 秒”，乙同学说： “捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2 倍”根据图文信息，请问哪位同学获胜？精品文档精品文档6、金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2 ；若由甲队先做10 天，剩下的3工程再由甲、乙两队合作30 天可以完成 .(1) 求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为0.84 万元，乙队每天的施工费用为0.56 万元 .工程预算

27、的施工费用为50 万元.为缩短工期以减少对住户的影响， 拟安排甲、乙两队合作完成这项工程， 则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.7、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000 米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程.已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20 米，且甲工程队铺设350 米所用的天数与乙工程队铺设 250 米所用的天数相同 .（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10 天，那么为两工程队分配工程量（以百米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来.8、某校原有 600 张旧课桌急需维修，经

28、过 A、B、C 三个工程队的竞标得知， A、B 的工作效率相同，且都为 C 队的 2 倍，若由一个工程队单独完成， C队比 A 队要多用 10 天（1）求工程队 A 平均每天维修课桌的张数；（2）学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6 天完成维修任务三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360 张，为了不超过6 天时限，工程队决定从第3 天开始，各自都提高工作效率，提高后， A、B 的工作效率仍然相同，且都为 C 队的 2 倍这样他们至少还需要 3 天才能完成整个维修任务求工程队 A 提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围精品文档精品文档9、某工厂有 10

29、0 名工人在 A 型生产线上工作经工厂多方考察，发现其生产受到限制，于是决定引入B 型生产线 B 型生产线上每人每日生产量比A 型生产线多 30 件一工人在 B 型生产线上生产 100件产品的时间与原来在 A 型生产线上生产40 件产品的时间相同（1） A 型生产线上每人每日可生产多少件产品？（2）工厂决定从这 100名工人中分派一部分工人到B 型生产线工作分工后，继续在A 型生产线上工作的工人的日均产量可增加25% ，若要保证工厂分工后，A 型生产线每日的总产量不少于分工前的每日总产量，而 B 型生产线每日的总产量不低于分工前A 型生产线每日总产量的40% ，则有多少种分派方案？（不写出具体

30、方案）（3）设工厂每日的总产量为P ，在（ 2 ）题条件下，当多少人分派到B 型生产线时， P 有最大值？请写出此时的分派方案，并求出P 的最大值10、“玉树地震”的灾情牵动着千万人的心，汇川中学的同学们踊跃为灾区捐款，小易同学对1 班和 2 班捐款情况进行了统计， 1 班的捐款人数比 2 班多 3 人，其中 1 班共捐款 2400 元， 2 班共捐款 1800 元， 2 班平均每人的捐款钱数是 1 班平均每人捐款钱数的 4 倍。5（1）求 1 班、 2 班各有多少人捐款？（2）慈善总会欲将此善款全部用于购买帐篷和矿泉水对口支援结古县官贝村，该村至少需要40 顶帐篷和160件矿泉水，一顶帐篷的

31、价格为48 元，一件矿泉水的价格为12 元。因道路毁坏，只能用一架直升飞机将所购物资运往目的地。该直升飞机的货运空间为20.8 立方米，而一顶包装好的帐篷体积为0.16 立方米，一件矿泉水的体积为 0.08 立方米。 应当如何安排购买方案， 才能将所需物资一次性运往目的地？用必要的计算说明理由。（ 3）因直升飞机飞行一次所需燃料费用甚多，故应最大程度利用飞机货运空间。在上述方案中，选用那种方案使得它的利用程度最高，说明理由。精品文档精品文档11、某工厂计划将一批货物从甲地运到乙地,有 A,B,C 三种方式可供选择,选 择方式 A 的平均速度比选择方式B 每小时少 30 千米 ,但两者所用的运输时间相同.选择方式 B 的平均速度是方式C 的两倍 ,但运输时间是方式 C的 40 , 这三种运输方式所需各项成本见下表. 经测算 , 总费用 ( 含运输费和装卸费，其它费用忽略不计) 最少的方式是 A, 最多的方式是C.运输方式ABC经过的路程 (千米 )500800a运输费 (元千米吨 )2.521装卸费用合计 (元 )390002500061000(1) 求选择方式 B 的平均速度；(2) 求这批货物的重量