人教A版2020届高考数学一轮复习讲义：数学归纳法_20210103224738

1、数学归纳法知识讲解一、数学归纳法的定义定义：对于某些与自然数有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当取第一个值时命题成立；然后假设当(，)时命题成立，证明当命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.二、数学归纳法的基本思想基本思想：数学归纳法是完全归纳法的一种.它是一种归纳演绎的推理方法.数学归纳法的理论依据是“自然数归纳原理”：设a(n)表示关于自然数n的一命题，如果满足条件：(i)a（1）正确；(ii)假设a(k)成立，推断a(k+1)也成立、那么a(n)对一切自然数n都成立.其中第(i)是验证，它是证明的基础；第(ii)是以假设a(k)成立，通过演绎推理，推证出a(k+1)也

2、正确.即先验证使结论有意义的最小的正整数，如果当时，命题成立，再假设当(，)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于的正整数，命题都成立.三、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：1.证明：当取第一个值结论正确；2.假设：假设当(，)时结论正确，证明当时结论也正确.3.得出结论：由1，2可知，命题对于从开始的所有正整数都正确.<注意点> 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉. 用数学归纳法证题时，两步缺一不可；（2）证题时要注意两凑：一凑归纳假设，二凑目标. <重点> 数学归纳法

3、大致可分为两个步骤，第一步，验证命题对某个自然数n=成立，（nn），一般取=1，第二步假设n=k（kn，k）的时候，命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.至此就可以得到结论，命题对于和比大的所有自然数都成立.如果将证明数学命题用建筑高楼来比喻，这两步中，第一部可以看作是奠基部分，第二步可以看作是建设部分，整个命题的基础就在第一步，如果忽略第一步，或者是第一步错误的话，那么不管第二步的证明有多巧妙和精彩，都如大厦建在沙子上一样，是不稳固的；而整个命题的递推过程在于第二步，如果递推过程出现了问题或者瑕疵，那么就如同建筑中的“烂尾楼”一般，得不到一个圆满的结局.由此可见，这两步都非常重要，缺一不可

4、.注：数学归纳法是证明有递推性或可转化为递推性命题的有效手段，它的思路明晰，形式优美，但也要看到它的局限性，那就是并不具有普遍性，在无法转化为递推形式的命题中，数学归纳法一般是没有用武之地的.四、数学归纳法证明命题步骤1.归纳奠基(或递推基础)2.归纳递推(或归纳假设)五、数学归纳法可以证明的命题恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等 典型例题一选择题（共10小题）1用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+1n+n12（n1，nn*）的过程中，从n=k到n=k+1时左边需增加的代数式是（）a12k+2b12k+112k+2c12k+1+12k+2d12k+1【解答】解：当n=k

5、时，左边的代数式为1k+1+1k+2+1k+k， 当n=k+1时，左边的代数式为1k+2+1k+3+1k+k+12k+1+12k+2，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：12k+1+12k+21k+1=12k+112k+2故选：b2利用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-nn+1（nn*）的过程中，由n=k到n=k+1时，不等式的左边增加的项数为（）a1b2k1c2kdk【解答】解：用数学归纳法证明1+12+13+12n-nn+1的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+12k-k，则当n=k+1时，左边=1+12+13+12k+1-k-1，由n

6、=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k-k+1+12k-k+2+12k+1-k-1，共（2k+1k1）2k+k1+1=2k1项，故选：b3已知n为正偶数，用数学归纳法证明112+1314+1n-1=2（1n+2+1n+4+12n）时，若已假设n=k（k2为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）an=k+1时等式成立bn=k+2时等式成立cn=2k+2时等式成立dn=2（k+2）时等式成立【解答】解：若已假设n=k（k2，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明n=k+2成立故选：b4用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，在第二步时，正确的证

7、法是（）a假设n=k（kn*），证明n=k+1命题成立b假设n=k（k为正奇数），证明n=k+1命题成立c假设n=2k+1（kn*），证明n=k+1命题成立d假设n=k（k为正奇数），证明n=k+2命题成立【解答】解：由于相邻的两个奇数相差2，根据数学归纳法证明数学命题的步骤，在第二步时，假设n=k（k为正奇数）时，xn+yn能被x+y整除，证明n=k+2时，xn+yn 也能被x+y整除，故选：d5利用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-1f（n）（n2，nn*）的过程中，由n=k变到n=k+1时，左边增加了（）a1项bk项c2k1项d2k项【解答】解：用数学归纳法证明等式1+12+1

8、3+12n-1f（n）（n2，nn*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+12k-1，则当n=k+1时，左边=1+12+13+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1，由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k+12k+1+12k+1-1，共（2k+11）2k+1=2k项，故选：d6用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-1n2（nn*），第二步由k到k+1时不等式左边需增加（）a12kb12k-1+1+12kc12k-1+1+12k-1+2+12kd12k-1+1+12k-1+2+12k【解答】解：用数学归纳法证明等式1+12+13+12n-1f（n）

9、（n2，nn*）的过程中，假设n=k时不等式成立，左边=1+12+13+12k-1，则当n=k+1时，左边=1+12+13+12k-1+12k-1+1+12(k+1)-1，由n=k递推到n=k+1时不等式左边增加了：12k-1+1+12(k+1)-1=12k-1+1+12k，故选：d7用数学归纳法证明“1-12+13-14+12n-1-12n=1n+1+1n+2+12n”时，由n=k的假设证明n=k+1时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为（）a1k+1+12k+12k+1b1k+1+12k+12k+1+12k+2c1k+2+12k+12k+1d1k+2+12k+1+12k+2【解答】解

10、：由所证明的等式，当n=k+1时，右边=1(k+1)+1+12(k+1)-1+12(k+1)=1k+2+12k+1+12k+2故选：d8用数学归纳法证明“1+12+13+12n-1n（n2）”时，由n=k的假设证明n=k+1时，不等式左边需增加的项数为（）a2k1b2k1c2kd2k+1【解答】解：n=k时，左边=1+12+13+12k-1，当n=k+1时，左边=1+12+13+12k-1+12k+12k+1+12k+1-1左边增加的项数为2k+11（2k1）=2k+12k=2k故选：c9用数学归纳法证明1+12+13+12n-1n（nn且n1），第二步证明中从“k到k+1”时，左端增加的项数

11、是（）a2k+1b2k1c2kd2k1【解答】解：当n=k时，左端=1+12+13+12k-1，那么当n=k+1时 左端=1+12+13+12k-1+12k+12k+1-1=1+12+13+12k-1+12k+12k+2k-1，左端增加的项为12k+12k+1+12k+2k-1，所以项数为：2k故选：c10用数学归纳法证明n22n（n为自然数且n5）时，第一步应（）a证明n=0时，n22nb证明n=5时，n22nc证明n=1时，n22nd证明n=6时，n22n【解答】解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；结合本题，n=5时，右=25=32，左=52=25，n22n不成立

12、，第一步应证明n=5时，n22n故选：b二填空题（共2小题）11用数学归纳法证明：（n+1）（n+2）（n+n）=2n×1×3××（2n1）时，从“k到k+1”左边需增加的代数式是（k+1）（k+2）（k+k）（4k+1）【解答】解：从“k到k+1”左边需增加的代数式是：（k+2）（k+3）（k+k）（k+1+k）（k+1+k+1）（k+1）（k+2）（k+k）=（k+2）（k+3）（k+k）（k+1+k）（k+1+k+1）（k+1）=（k+1）（k+2）（k+k）（4k+1），故答案为：（k+1）（k+2）（k+k）（4k+1）12用数学归纳法证明为：

13、1+c+c2+c3+cn+1=1-cn+21-c（c1），当n=1时，左边为1+c+c2【解答】解：当n=1时，左边=1+c+c2，故答案为：1+c+c2三解答题（共3小题）13设正项数列an的前n项和为sn，且sn=12（an+1an），（1）求a1，a2，a3，并猜想数列an的通项公式（2）用数学归纳法证明你的猜想【解答】解：（1）由于sn=12（an+1an），当n=1时，a1=12（a1+1a1），可得a1=1，当n=2时，a1+a2=12（a2+1a2），可得a2=21，当n=3时，a1+a2+a3=12（a3+1a3），可得a3=32，猜想：an=nn-1（nn+）（2）证明：当n

14、=1时，已证假设n=k（k1）时，ak=kk+1成立，则当n=k+1时，ak+1=sk+1sk=12（ak+1+1ak+1）12（ak+1ak）即ak+1+1ak+1=（ak+1ak）=（kk-1+1k-k-1）=2kak+1=k+1k由可知对nn+，成立14已知数列an的前n项和sn满足：sn=an2-2an+22an，且an0，nn+（1）求a1，a2，a3；（2）猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明【解答】解：（1）a1=s1=a12-2a1+22a1，所以，a1=-1±3，又an0，所以a1=3-1.s2=a1+a2=a22+1a2-1，所以 a2=5-3，s3=a1+a2+a3=a32+1a3-1所以a3=7-5（2）猜想an=2n+1-2n-1证明：1°当n=1时，由（1）知a1=3-1成立2°假设n=k（kn+）时，ak=2k+1-2k-1成立ak+1=sk+1-sk=(ak+12+1ak+1-1)-(ak2+1ak-1)=ak+12+1ak+1-2k+1所以ak+12+22k+1ak+1-2=0ak+1=2(k+1)+1-2(k+1)-1所以当n=k+1时猜想也成立综上可知，猜想对一切nn+都成立15数列an中，已知a1=12，an=an1+1n(n+1)（n2，nn*）（1）计算a2，a3，a4的值，并