2022届高三数学一轮复习（原卷版）第十一章 11.3离散型随机变量及其分布-教师版

1、 第1课时进门测判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量()(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象()(3)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(×)(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的()(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关(×)(6)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小()作业检查无第2课时阶段训练题型一离散型随机变量分布列的性质例1(1)设x是一个离散型随机

2、变量，其分布列为x101p23qq2则q等于()a1 b.±(2)设随机变量的分布列为p(i)a()i，i1,2,3，则实数a的值为()a1 b. c. d.答案(1)c(2)d解析(1)23qq21，q23q0，解得q±.又由题意知0<q2<，q.(2)随机变量的分布列为p(i)a()i，i1,2,3，a()2()31，解得a.故选d.思维升华(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式已知随机变

3、量x的分布列为p(xi)(i1,2,3,4)，则p(2<x4)等于()a. b. c. d.答案b解析由分布列的性质知，1，则a5，p(2<x4)p(x3)p(x4).题型二离散型随机变量分布列的求法例2连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1a2ak6，则称k为你的幸运数字(1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k1，则你的得分为6分；若k2，则你的得分为4分；若k3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分的分布列解(1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件a，则它包含事件a1，a2，a3，其中a1：三次恰好均为2；a

4、2：三次中恰好1,2,3各一次；a3：三次中有两次均为1，一次为4.a1，a2，a3为互斥事件，则p(a)p(a1)p(a2)p(a3)c()3c··c··c·c()2·.(2)由已知得的可能取值为6,4,2,0，p(6)，p(4)()22×c××，p(2)，p(0)1.故的分布列为6420p思维升华求离散型随机变量x的分布列的步骤：(1)理解x的意义，写出x可能取的全部值；(2)求x取每个值的概率；(3)写出x的分布列求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原

5、理、古典概型等知识袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量，则p(6)_.答案解析p(6)p(取到3只红球1只黑球)p(取到4只红球).题型三离散型随机变量的均值与方差例3在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题规定：至少正确回答其中2题的便可通过已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；且每题正确回答与否互不影响写出甲考生正确回答题数的分布列，并计算其均值和方差解(1)甲正确回答的题目数可取1,2,3.p(1)，p(2)，p(3).

6、故其分布列为123pe()1×2×3×2.d()(21)2×(22)2×(23)2×.思维升华求离散型随机变量的均值与方差可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给a组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和x(单位：分)的均值为()a0.9 b0.8 c1.2 d1.1答案a解析由题意得x0,

7、1,2，则p(x0)0.6×0.50.3，p(x1)0.4×0.50.6×0.50.5，p(x2)0.4×0.50.2，e(x)1×0.52×0.20.9.第3课时阶段重难点梳理1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母x，y，表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量2离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量x可能取的不同值为x1，x2，xi，xn，x取每一个值xi(i1,2，n)的概率p(xxi)pi，则表xx1x2xixnpp1p2pipn称为离散型随机变量x的概率分布列，

8、简称为x的分布列，有时也用等式p(xxi)pi，i1,2，n表示x的分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质pi0，i1,2，n；i1.3离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量x的分布列为xx1x2xixnpp1p2pipn(1)均值称e(x)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量x的均值或数学期望它反映了离散型随机变量取值的平均水平(2)方差称d(x)(xie(x)2pi为随机变量x的方差，它刻画了随机变量x与其均值e(x)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量x的标准差4均值与方差的性质(1)e(axb)ae(x)b.(2)d(axb)a2d(x)(a，b为常数)重点题

9、型训练典例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列错解展示现场纠错解p(1)0.9，p(2)0.1×0.90.09，p(3)0.1×0.1×0.90.009，p(4)0.13×0.90.000 9，p(5)0.140.000 1.的分布列为12345p0.90.090.0090.000 90.000 1纠错心得(1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率(2)验证随机变量的概率和是否为1.1抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为x，那么x4表示的事件是()a

10、一颗是3点，一颗是1点b两颗都是2点c甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点d以上答案都不对答案c解析根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，c正确2设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量x去描述1次试验的成功次数，则p(x0)等于()a0 b. c. d.答案c解析设x的分布列为x01pp2p即“x0”表示试验失败，“x1”表示试验成功，由p2p1，得p，故选c.3设随机变量的分布列为p(k)(k2,4,6,8,10)，则d()等于()a8 b5c10 d12答案a解析e()(246810)6，d()(4)2(2)20222428.4随机变量的分布列如图所示，其中a，b，c成等差

11、数列，若e()，则d()_.-101pabc答案解析由分布列的性质可得abc1，由期望公式可得，(1)×a0×b1×c，由等差数列知，ac2b，综上，解得a，b，c.代入方差计算公式即可得结果作业布置1某射手射击所得环数x的分布列为x45678910p0.020.040.060.090.280.290.22则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()a0.28 b0.88 c0.79 d0.51答案c解析根据x的分布列知，所求概率为0.280.290.220.79.2设x是一个离散型随机变量，其分布列为x101p12qq2则q等于()a1 b1± c1

12、 d1答案c解析由题意知即解得q1.3从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是()a. b. c. d.答案c解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为p.4一只袋内装有m个白球，nm个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了x个白球，下列概率等于的是()ap(x3) bp(x2)cp(x3) dp(x2)答案d解析由超几何分布知p(x2).5一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率都为0.6，现有4颗子弹，则射击停止后剩余子弹的数目x的均值为()a2.44 b3.376c2.37

13、6 d2.4答案c解析x的所有可能取值为3,2,1,0，其分布列为x3210p0.60.240.0960.064e(x)3×0.62×0.241×0.0960×0.0642.376.6袋中装有大小完全相同，标号分别为1,2,3，9的九个球现从袋中随机取出3个球设为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3,4,5，则有两组相邻的标号3,4和4,5，此时的值是2)，则随机变量的均值e()为()a. b.c. d.答案d解析依题意得，的所有可能取值是0,1,2.且p(0)，p(1)，p(2)，因此e()0×1×2×.7甲

14、、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得1分)；若x是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则x的所有可能取值是_答案1,0,1,2,3解析x1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，x0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，x1，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对，x2，甲抢到2题均答对，x3，甲抢到3题均答对8设离散型随机变量x的分布列为x01234p0.20.10.10.3m若随机变量y|

15、x2|，则p(y2)_.答案0.5解析由分布列的性质，知020.10.10.3m1，m0.3.由y2，即|x2|2，得x4或x0，p(y2)p(x4或x0)p(x4)p(x0)0.30.20.5.9已知随机变量的分布列为p(k)，k1,2,3，n，则p(2<5)_.答案解析p(2<5)p(3)p(4)p(5).10两封信随机投入a，b，c三个空邮箱，则a邮箱的信件数的均值e()_.答案解析两封信投入a，b，c三个空邮箱，投法种数是329，a中没有信的投法种数是2×24，概率为，a中仅有一封信的投法种数是c×24，概率为，a中有两封信的投法种数是1，概率为，故a邮

16、箱的信件数的均值e()×0×1×2.11一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为_，_.答案20解析记此人三次射击击中目标次数为x，得分为y，则xb(3，)，y10x，e(y)10e(x)10×3×20，d(y)100d(x)100×3××.12一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为x，则x的均值是_答案解析根据题意知x0,1,2，而p(x0)；p(x1)；p(x2).故e(x)0×1×2×.*13.某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且nn*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表