2022届高三数学一轮复习（原卷版）第5讲 数列通项公式与前n项和（解析版）

1、第5讲 数列通项公式与前n项和高考预测一：等差等比公式法求和 1已知等比数列满足：，（）求数列的通项公式；（）是否存在正整数，使得？若存在，求的最小值；若不存在，说明理由【解析】解：（）设等比数列的公比为，则由已知可得解得故（）若，则，故是首项为，公比为的等比数列，从而若，则是首项为，公比为的等比数列，从而故综上，对任何正整数，总有故不存在正整数，使得成立2记为等差数列的前项和已知（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的的取值范围【解析】解：（1）根据题意，等差数列中，设其公差为，若，则，变形可得，即，若，则，则，（2）若，则，当时，不等式成立，当时，有，变形可得，又由，即，则有，即，则有，

2、又由，则有，则有，综合可得：的取值范围是，高考预测二：裂项相消求和3已知各项均为正数的等比数列的前项和为，且，（）若等差数列满足，求，的通项公式；（）若_，求数列的前项和在；这三个条件中任选一个补充到第（）问中，并对其求解【解析】解：（）设数列的公比为，则，解得（舍负），代入得，；则，设数列的公差为，则；（）选择：，则，选择：，则，；选择：由（）知；4为数列的前项和，已知，（1）求通项公式；（2）设，数列的前项和，若，求整数值【解析】解：（1），两式相减，得，数列为常数列，所以（2）由（1）可得，令，则，数列的前项和，若，且为整数，当为奇数时，由，可得，当为偶数时，由，可得，5记为数列的前项和

3、已知，（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解析】解：（1）由题意，当时，整理，得，解得，或（舍去）当时，由，可得：，两式相减，可得，整理，得，数列是首项为4，公差为3的等差数列数列的通项公式为，（2）由（1）知，故6已知数列为各项非零的等差数列，其前项和为，满足（）求数列的通项公式；（）记，求数列的前项和【解析】解：由题设可得：，；由（）可得：，当为偶数时，当为奇数时，综上，7已知数列满足，数列满足，（1）证明数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的前项和【解析】（1）证明：，又，数列为首项、公比均为2的等比数列，；（2）解：由（1）可得：，即，又，当时，又当时，

4、也适合上式，高考预测三：错位相减求和8已知数列满足为实数，且，且，成等差数列（）求的值和的通项公式；（）设，求数列的前项和【解析】解：（）数列满足为实数，且，且，成等差数列，所以，即所以，由于，所以，解得当时，当时，所以数列的通项公式为：（）由（）得：，所以，则，得，整理得9设等差数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，求数列的前项和【解析】解：（1）设等差数列 的首项为，公差为，由， 得解得，因此（2）由题意知：所以， ，两式相减得整理得，所以数列 的前 项和10设等差数列的公差为前项和为，等比数列的公比为已知，（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和【

5、解析】解：（1）由题设知：，解得：或，当时，；当时，（2）当时，由（1）可得，则，又，两式相减可得：，整理得：高考预测四：分组求和11已知等差数列前10项的和是120，前20项的和是440（1）求的通项公式；（2）若等比数列的第2项和第5项分别是6和162，求数列的前项和【解析】解：（1）设等差数列的公差为，由题设条件知：，解得：，；（2）设等比数列的公比为，由题设条件知：，解得：，所以其前项和为12已知为数列的前项和，且，2，（1）求证：数列为等比数列：（2）设，求数列的前项和【解析】证明：当时，整理得，是以1为首项，以2为公比的等比数列解：由得，当为偶数时，；当为奇数时，可得综上，为奇数），为偶数）13设是等差数列，是等比数列已知，（）求和的通项公式；（）设数列