高中数学极值点偏移问题

1、极值点偏移问题一：极值点偏移（俗称峰谷偏）问题的定义沈阳市第十一中学数学组：赵拥权对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点 , 方程(f(x)=m)的解分别为且< <b.则称函数 f(x)在区间（a,b）上极值点 偏移；（1）（2）则称函数 f(x)在区间（a,b）上极值点则称函数 f(x)在区间（a,b）上极值点偏移；偏移；二：极值点偏移的判定定理对于可导函数在区间（a,b）上只有一个极大（小）值点 ,方程的解分别为且< <b.（1） 若峰偏右）（2） 若偏左）（3） 若偏左）（4） 若偏右）则则则则即函数 f(x)在区间（a,b）上极大值点 右偏；（即即

2、函数 f(x)在区间上（a,b）极小值点 左偏;（即谷即函数 f(x)在区间上（a,b）极大值点 左偏;（即峰即函数 f(x)在区间上（a,b）极小值点 右偏;（即谷x=x=y=f(x)y=mxx= x=拓展：1） 若f ( a +x ) = f (b -x )， 则f ( x )的 图 象 关 于 直 线x =a +b2对 称 ； 特 别 地 ， 若f ( a +x ) = f ( a -x )2） 若函数 f(x)满足（或 f(x)=f(2a-x)），则有下列之一成立：f ( x )的图象关于直线 x =a 对称f(x)在递增，在(a,2a)递减,且 f(a-x)<（>）f(a

3、+x)(f(x)<(>)f(2a-x)f(x)在(0,a)递减,在(a,2a)递增,且 f(a-x)>(<)f(x+a)(f(x)>(<)f(2a-x)则函数 f(x)在(0,2a)的图象关于直线 x=a 偏移(偏对称)(俗称峰谷偏函数)其中 极大值左 偏（或右偏）也称峰偏左（或右）极小值偏左（或偏右）也称谷偏左（或右）；性质：1)f ( x )的 图 象 关 于 直 线x =a对 称 若则<=> ,( =0, );2)已知函数是满足条件的极大值左偏（峰偏左）若,及极值点偏移解题步骤：求函数 f(x)的极值点 ；则则 构 造 函 数 F(x)=f

4、(x+)-f( (F(x)=f( )-f( , F(x)=f(x+ )-f( ,F(x)=f(x)-f()确定 F(x)单调性1 22结合 F(0)=0（F(- )=0,F(判断 F(x)符号从而确定 f(x+ ),f( ( f(x+ )与 f(f(x)与 f(答题模式：的大小关系;已知函数 y=f(x)满足1 求函数 f(x)的极值点 ；2 构造函数 F(x)=f(x+ )-f(, 为函数 y=f(x)的极值点,求证：确定 F(x)单调性判断 F(x)符号从而确定 f(x+ ),f(的大小关系;假设 F(x)在(0,+ 单调递增则 F(x)>F(0)=0，从而得到 x>0 时 f

5、(x+ )>f(1.（2016 年全国 I 高考）已知函数的两个零点，证明： +x <2.2. (2010 年高考天津卷理科 21)（本小题满分 14 分）有两个零点. 设 x ，x 是已知函数 f(x)=xe-x（xÎR）.() 求函数 f(x)的单调区间和极值；()已知函数 y=g(x)的图象与函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称，证明当 x>1 时， f(x)>g(x)()如果x ¹x ,1 2且f ( x ) = f ( x ), 1 2证明x +x >2 1 2证明：由题意可知 g(x)=f(2-x),得 g(x)=(2-x

6、)ex -2令 F(x)=f(x)-g(x),即F ( x ) =xe-x+( x -2)ex -2于是F '( x ) =( x -1)(e2 x -2-1)e-x当 x>1 时，2x-2>0,从而e2x-2-1 >0, 又e -x >0, 所以F(x)>0,从而函数 F（x）在1,+)是增函数。又 F(1)=e-1 -e-1=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x).00)证明：（1）若( x -1)(x -1) =0,由（I）及f(x ) =f(x ), 则x =x =1.与x ¹x 矛盾。 1

7、2 1 2 1 2 1 2（2）若( x -1)(x -1) >0,由（I）及f(x ) =f(x ), 得x =x .与x ¹x 矛盾。 1 2 1 2 1 2 1 2根据（1）（2）得( x -1)(x -1) <0, 不妨设x <1, x >1. 1 2 1 2由（）可知，f(x )2>g(x )2, 则g(x )2=f(2-x )2，所以f(x )2>f(2-x )2, 从而f(x ) > f(2-x ) .因为 x >1 ，所以 2 -x <11 2 2 2，又由（）可知函数 f(x)在区间（-，1）内事增函数，所以 x

8、 > 2 -x ,即 x +x1 2 1 2>2.3. 已知函数 f ( x ) =ln x -ax2+(2 -a ) x （I）讨论 f ( x ) 的单调性；（II）设 a >0 ，证明：当 0 <x <1 1 1时， f ( +x ) > f ( -x) ； a a a（III）若函数 y = f ( x) 的图像与 x 轴交于 A，B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x ，证明： f ¢（x ）0解：（I） f ( x )的定义域为 (0, +¥), f¢(x) =1 (2 x +1)(ax -1) -2 ax +(2

9、 -a ) =-x x.（i）若 a £0, 则 f¢(x) >0, 所以 f ( x )在(0, +¥)单调增加.（ii）若a >0, 则由f1¢(x) =0得x = ,a且当1 1 x Î(0, )时, f ¢(x) >0, 当x > 时, fa a¢(x) <0.所以1 1f ( x)在(0, ) 单调增加，在 ( , +¥)a a单调减少.（II）设函数g ( x) = f (1 1+x ) - f ( -x ), a a则g ( x) =ln(1 +ax) -ln(1-ax

10、) -2 ax ,a a 2 a 3 x 2g ¢(x) = + -2 a = . 1 +ax 1 -ax 1 -a 2 x 2当0 <x <1a时, g ¢(x) >0, 而g (0) =0, 所以g ( x) >0.故当0 <x <1 1 1时 ， f ( +x ) > f ( -x ). a a a8 分（III）由（I）可得，当a £0时, 函数 y = f ( x )的图像与 x 轴至多有一个交点，故a >0，从而f ( x )的最大值为1 1f ( ), 且f ( ) >0. a a111210不妨

11、设A( x ,0), B ( x ,0),0 <x <x , 则0 <x < 1 2 1 2 11a<x .2由（II）得f (2 1 1-x ) = f ( + -x ) > f ( x ) =0. a a a从而2 x +x 1 x > -x , 于是x = 1 2 > .a 2 a由（I）知，f ¢(x ) <0. 04 已 知 函 数(m若 f(x) 有 两 个 极 值 点且求证:5. 已知函数= (a若 f(x) 有两个不同零点且其极值点为 求证 :23（已知函数=(a，其图象与轴交于 A( )B( )两点且求证：6.

12、已知函数）= (a若 f(x)有两个不同零点且求证：7. 已 知 函 数=(a若 f(x) 有 两 个 不 同 零 点且求 证 ：8. 已知函数-1= f(求证:9已知函数= (a若 f(x)有两个不同零点且求证：10. 已知函数=f(求证:11. 已 知 函 数=(a若 f(x) 有 两 个 不 同 零 点且求 证 ：12. 已知函数= (a若 f(x)=c 有两个不同根求证：13. 已知函数令= (ag(x)在(0,3)单调递增求 a 范围;满足证明当 a=2 时,函数 h(x)=f(x)-mx 的图象与轴交于 A( 数,(k14已知函数若;若对都有 f(x)求 k 范围;若证明：且 f(

13、;15. 已知函数(aB(且又是 h(x)导函12 f(x)的极值点为 若存在16. 已知函数且(a );求证: ;11 若 f(x)存在两个极值点 ，证明： ;17. 已知函数与 g(x)=3-在(1,1)处有相同切线；若 y=2(x+n) 与 y=f(x)图象有两个交点,求 n 范围；若18. 已知函数两个极值点 ，(a证明： ；若 f(x)=g(x)+(a+1)19. 已知函数有两个不同零点 , 证明： ;,(a ;若 f(x)=lng(x)-a 与 y=m,(m;图象有两个交点 A 、B,线段 A 、B 中点为证明：20. 已知函数1 求 a 值；2 令 g(x)=若存在图象的一条切线为 x 轴；满足证明:21. 已知函数 F(x)与 f(x)=lnx关于直线 y=x 对称；若 xf(x)对恒成立,求 a 最大值；设 f(x)(1, )上存在在 (1, )的实根求证：，若在区间22已知函数, (a；1 若函数 f(x)的图象在 x=0 处的切线方程为 y=2x+b,求 a,b 的值2 若函数 f(x)在 R 上单调递增