高中数学第1章空间向量与立体几何1.2空间向量基本定理学案(含解析)新人教A版选择性必修第一

1、1.2 空间向量基本定理学 习 目 标核 心 素 养1. 了解空间向量基本定理及其意义. 2. 掌握空间向量的正交分解(难点 ) 3. 掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法( 重点 ) 1. 通过基底概念的学习，培养学生数学抽象的核心素养 . 2. 借助基底的判断及应用，提升逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. (1) 共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对 (x，y) ，使得pxayb. (2) 共面向量定理的推论：空间一点p在平面mab内的充要条件是存在有序实数对(x，y) ，使得mpxmaymb，或对于空间

2、任意一定点o，有opxomyoazob(xyz1) 今天我们将对平面向量基本定理加以推广，应用上面的几个公式我们可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理1空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z) ，使得pxay bzc. 其中 a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底思考： (1) 零向量能不能作为一个基向量？(2) 当基底确定后，空间向量基本定理中实数组(x，y，z) 是否唯一？ 提示 (1) 不能因为0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面(2)

3、 唯一确定2正交分解(1) 单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底常用i，j，k表示(2) 正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解1思考辨析 ( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 若oa，ob，oc不能构成空间的一个基底，则o，a，b，c四点共面( ) (2) 若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量( ) (3) 只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底( ) 提示 (1) (2) (3) 2已知 a，b，c是空间的一个基底，则可以和向量pab，qab构成基底的向量是( )

4、aabbca2bda2c 答案 d3在长方体abcd-a1b1c1d1中，可以作为空间向量一个基底的是( ) aab，ac，ad b ab，aa1，ab1cd1a1，d1c1，d1ddac1，a1c，cc1c 由题意知，d1a1，d1c1，d1d不共面，可以作为空间向量的一个基底 4已知空间的一个基底a，b，c ，mabc，nxaybc，若m与n共线，则x_，y_. 1 1 由m与n共线，得1x 1y11，x1，y 1. 基底的判断【例 1】(1) 设xab，ybc，zca，且 a，b，c 是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x ，x，y，z，b，c，z ，x，y，abc其中可以作为空间

5、一个基底的向量组有( ) a1 个b2 个c3 个d4 个(2) 已知 e1，e2，e3 是空间的一个基底，且oae1 2e2e3，ob 3e1e22e3，oce1e2e3，试判断 oa，ob，oc能否作为空间的一个基底(1) c如图所示，令aab，baa1，cad，则xab1，yad1，zac，abcac1. 由于a，b1，c，d1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，abc也不共面，故选c. (2) 解假设oa，ob，oc共面，由向量共面的充要条件知，存在实数x，y，使oaxobyoc成立，e1 2e2e3x( 3e1e22e3) y(e1e2e3) ，即e12e

6、2e3(y3x)e1(xy)e2(2xy)e3e1，e2，e3 是空间的一个基底，e1，e2，e3不共面y3x1，xy2，2xy 1，此方程组无解即不存在实数x，y使得oaxobyoc，所以oa，ob，oc不共面所以 oa，ob，oc 能作为空间的一个基底基底判断的基本思路及方法(1) 基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底(2) 方法：如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底假设ab c，运用空间向量基本定理，建立，的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底 跟进训练

7、1设向量 a，b，c 是空间一个基底，则一定可以与向量pab，qab，构成空间的另一个基底的向量是( ) aabbccda或bc 由题意和空间向量的共面定理，结合pq(ab) (ab) 2a，得a与p，q是共面向量，同理b与p，q是共面向量，所以a与b不能与p，q构成空间的一个基底；又c与a和b不共面，所以c与p，q构成空间的一个基底 用基底表示向量【例 2】如图，四棱锥p-oabc的底面为一矩形，po平面oabc，设oaa，ocb，opc，e，f分别是pc，pb的中点，试用a，b，c表示：bf，be，ae，ef. 思路探究 利用图形寻找待求向量与a，b，c的关系利利用向量运算进行分拆直至向量

8、用a，b，c表示 解连接bo( 图略 ) ，则bf12bp12(boop) 12(cba) 12a12b12c. bebccebc12cpbc12(coop) a12b12c. aeappeaoop12(pooc) ac12(cb) a12b12c.ef12cb12oa12a. 基向量的选择和使用方法(1) 尽可能选择具有垂直关系的，从同一起点出发的三个向量作为基底(2) 用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑加法，否则考虑减法；如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘 跟进训练 2点p是矩形abcd所在平面外一点，且pa平面abcd，m，n分别是pc，pd上

9、的点，且pm23pc，pnnd，则满足mnxabyadzap的实数x，y，z的值分别为 ( ) a23，16，16b23，16，16c23，16，16d23，16，16d 如图所示， 取pc的中点e，连接ne，则mnenem12cd(pmpe) 12cd23pc12pc12cd16pc12ab16( apabad) 23ab16ad16ap，比较知x23，y16，z16，故选 d. 正交分解在立体几何中的应用 探究问题 1取单位正交基底比一般的基底的优点有哪些？ 提示 若取单位正交基底i，j，k，那么 |i| |j| |k| 1. 且ijjkik0，这是其他一般基底所没有的2正方体abcd-a

10、bcd中，o1，o2，o3分别是ac，ab，ad的中点， 以ao1，ao2，ao3 为基底，如何表示向量ac. 提示 acabadaa12(abad) 12(adaa) 12(abaa) ao1ao2ao3. 【例 3】如图，已知平行六面体abcd-a1b1c1d1中，底面abcd是边长为a的正方形，侧棱aa1长为b，且a1aba1ad120，求异面直线bd1和ac所成角的余弦值 思路探究 取基底 ab，ad，aa1 用基底表示向量bd1和ac 求|bd1| ， |ac| 和bd1ac 求bd1与ac的夹角余弦值 得异面直线所成角的余弦值 解ab，ad，aa1 可以作为空间的一个基底，且|ab

11、| a，|ad| a，|aa1| b，ab，ad90，aa1，ab120，aa1，ad120.又bd1adaa1ab，acabad，|bd1|2 |ad|2 |aa1|2|ab|2 2adaa1 2adab2aa1aba2b2a22abcos 120 02abcos 120 2a2b2，|ac|2|ab|22abad|ad|22a2，|bd1| 2a2b2，|ac| 2a. bd1ac (adaa1ab) (abad) adab |ad|2aa1abaa1ad|ab|2abad0a2abcos 120 abcos 120 a20ab. |cos bd1，ac| |bd1ac|bd1|ac| a

12、b|2a2b22ab4a22b2. 异面直线bd1和ac所成角的余弦值为b4a2 2b2. 1 变结论 在本例条件不变的前提下，求|ac1|. 解由条件可知 |ab| |ad| a，|aa1| b，且ab，aa1ad，aa1120，abad. |ac1|2|abadaa1|2ab2ad2aa12 2abad2abaa12adaa1a2a2b2 04abcos 120 2a2b22ab. |ac1| 2a2b22ab. 2 变结论 在本例条件不变的前提下，证明bd面aa1c1c. 解由条件知，bdadab，bdaa1aa1(adab) aa1adaa1ababcos 120 abcos 120

13、0. bdaa1. 又因四边形abcd为正方形，acbd. bd面aa1c1c. 基向量法解决长度、垂直及夹角问题的步骤(1) 设出基向量(2) 用基向量表示出直线的方向向量(3) 用|a| aa求长度，用ab0?ab，用 cos ab|a|b|求夹角(4) 转化为线段长度，两直线垂直及夹角问题1基底中不能有零向量因零向量与任意一个非零向量都为共线向量，与任意两个非零向量都共面，所以三个向量为基底隐含着三个向量一定为非零向量2空间向量基本定理说明，用空间三个不共面的向量构成的向量组a，b，c 可以表示空间任意一个向量，并且表示结果是唯一的3用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运

14、算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示1若 a，b，c为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( ) aa，ab，abbb，ab，abcc，ab，abdab，ab，a2bc 空间基底必须不共面a中a12abab，不可为基底； b中b12(ab) (ab) ，不可为基底；d中32(ab) 12(ab) a2b，不可为基底 2o，a，b，c为空间四点，且向量oa，ob，oc不能构成空间的一个基底，则( ) aoa，ob，oc共线boa，ob共线cob，oc共线do，a，b，c四点共面d 由题意知，向量oa，ob，oc共面，从而o，a，b，c四点共面 3若 a，b，c是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xaybzc0，则x，y，z满足的条件是 _xyz0 由于 a，b，c是空间的一个基底，所以当xaybzc0 时，xyz0. 4正方体abcd-a1b1c1d1中，取ab，ad，aa1为基底， 若g为面bcc1b1的中心， 且agxabyadzaa1，则xyz _. 2 如图，agabbgab12b