高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数学案苏教版选修2

1、12.3 简单复合函数的导数1. 了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则2. 能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些简单复合函数的求导( 仅限于形如f(axb)的导数 ) 1复合函数的概念由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数如ysin 2x由ysin u及u 2x复合而成2复合函数的求导法则若yf(u) ，uaxb，则yxyuux，即yxyua其中yx，yu分别表示y关于x的导数及y关于u的导数1判断 ( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 下列函数都是复合函数( ) yx31x1；ycosx4；y1ln x；y(2x3)4. (2) 函数y1(3x1)2的导

2、数y6(3x 1)3.( ) (3) 函数yx(1ax)2(a0) ，且y|x 25，则实数a的值为 1.( ) 答案： (1) (2) (3) 2函数yx2cos 2x的导数y _答案： 2xcos 2x2x2sin 2x3函数y (2 017 8x)3的导数y _答案： 24(2 017 8x)24曲线y cos 2x6在x6处切线的斜率为_答案： 2 复合函数的概念指出下列函数的复合关系：(1)y(abxn)m；(2)y(x24x)3；(3)ye2x2；(4)y2sin(2 x2) 【解】(1)yum，uabxn. (2)yu3，ux24x. (3)yeu，u2x2. (4)y2sin

3、u，u2x2. 判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x的基本函数经过有限次四则运算而得到的函数1. 指出下列函数的复合关系：(1)ycos(3x 1) ；(2)ye3x22；(3)y1(1 5x)3. 解： (1)ycos u，u3x1；(2)yeu，u3x22；(3)yu3，u15x. 求复合函数的导数求下列函数的导数(1)y(2x3)2；(2)ye2x；(3)ysin ( x)( 其中 ，均为常数 ) 【解】(1) 函数y(2x3)2可

4、以看作函数yu2和u2x3 的复合函数根据复合函数求导法则有yxyuux(u2) (2x3) 4u8x12. (2) 函数y e2x可以看作函数yeu和u 2x的复合函数根据复合函数求导法则有yxyuux(eu) ( 2x) 2eu 2e2x. (3) 函数ysin ( x) 可以看作函数ysin u和ux的复合函数，根据复合函数求导法则有yxyuux(sin u) ( x) cos u cos( x) 求复合函数的导数的步骤2. 求下列函数的导数(1)y5log2(2x1) ；(2)ycos53 7x；(3)y2x1；(4)ycos2x. 解： (1) 设y5log2u，u2x1. 则yxy

5、uux5uln 2210uln 210(2x1)ln 2. (2) 设ycos u，u53 7x. 则yxyuux sin u( 7) 7sin53 7x. (3)y122x1(2x1)12x1. (4)y 2cos x(cos x) 2cos xsin x sin 2x. 复合函数导数的综合应用已知函数f(x) ln1x1x. 求曲线yf(x) 在点 (0 ，f(0) 处的切线方程【解】因为f(x) ln(1 x) ln(1 x) ，所以f(x) 11x11x，f(0) 2. 又因为f(0) 0，所以曲线yf(x)在点 (0 ，f(0) 处的切线方程为y2x. 求复合函数的导数的关键是要分清

6、函数的复合关系，也就是明确复合函数是由哪些基本初等函数复合而成，适当选定中间变量3. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素铯137 的衰变过程中，其含量m( 单位：太贝克 ) 与时间t( 单位：年 ) 满足函数关系：m(t) m02t30，其中m0为t0 时铯 137 的含量，已知t30 时，铯 137 含量的变化率为10ln 2(太贝克 / 年) ，求m(60) 的值解：因为m(t) 130ln 2m02t30，所以m(30) 130ln 2m023030 10ln 2，解得m0600， 所以m(t) 6002t30， 所以

7、t60 时，铯 137 的含量为m(60) 6002603060014150( 太贝克 ) (1) 求复合函数的导数的关键是要分清函数的复合关系，也就是明确复合函数是由哪些基本初等函数复合而成，适当选定中间变量(2) 求复合函数的导数时，分步求导中的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中要特别注意的是中间变量的系数，如(cos 2x) 2sin 2x，而 (cos 2x) sin 2x. (3) 根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求y sin2x3的导数，设y sin u，u2x3，则yxyuuxcos u2 2cos 2x3. 求

8、ysinnxcos nx的导数【解】y (sinnx) cos nx sinnx(cos nx) nsinn1x(sin x) cos nxsinnx( sin nx) (nx) nsinn1xcos xcos nx sinnx(sin nx) nnsinn1x(cos xcos nxsin xsin nx) nsinn1xcos(n1)x (1) 易把复合函数的结构搞错，意识不到“sinnx” “cos nx”均为复合函数易将求导公式、求导法则用错最后结果易因化简不到位致误(2) 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注

9、意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果1函数y (3x2)2的导数y _解析：y 2(3x2)(3x2) 6(3x2) 答案： 18x12 2若f(x) sin3x4，则f4_解析：f(x) 3cos 3x4，所以f4 3. 答案： 3 3设曲线yeax在点 (0 ，1) 处的切线与直线x2y10 垂直，则a_解析：由题意知y|x0aeax|x 0a2. 答案： 2 a 基础达标 1若f(x) (2xa)2，且f(2) 20，则a( ) a1 b 2 c3 d 4 解析：选 a设f(x) t2，t 2xa，则f(x) 2t24t4(2xa) ，f(2) 4(4a) 20，所以a1. 2函数y (

10、x2a)(xa)2的导数为 ( ) a3x2b 3x23a2c2x22a2d 2x2解析：选 by (x2a) (xa)2(x2a)(xa)2 (xa)2 2(x2a)(xa) (xa) 3x23a2. 3曲线yx2x1在点 (1，1) 处的切线方程为( ) axy1 0 b xy10 cxy2 0 d xy20 解析：选 cyx2x12x1x2(2x1)21(2x1)2，当x1 时，y 1，所以k 1，由点斜式得切线方程为：y1 (x 1)，即xy 20. 4已知f(x) e xsin x，则f12_解析：f(x) (ex) sin xex(sin x) exsin x excos x ex

11、(sin xcos x) ，所以f12 e2 sin2cos2 e2 . 答案： e25函数yxsin2x2cos 2x2的导数为 _解析：因为yxsin2x2cos 2x2x2sin(4x) x2sin 4x，所以yx2sin 4x x2(sin 4x) 12sin 4x 2xcos 4x. 答案：12sin 4x2xcos 4x6已知a0，f(x) ax22x1ln(x1) ，l是曲线yf(x) 在点p(0 ，f(0) 处的切线，则切线l的方程为 _解析：f(x) ax22x1ln(x 1)，f(0) 1. 所以f(x) 2ax 21x12ax2(2a2)x1x1，f(0) 1，所以切点p

12、的坐标为 (0 ，1) ，l的斜率为 1，所以切线l的方程为xy 10. 答案：xy 10 7求下列函数的导数：(1)yxsin2x；(2)yxe1 2x；(3)ycos xsin 3x. 解： (1)y (x) sin2xx(sin2x) sin2xx2sin x(sin x) sin2xxsin 2x. (2)y e12xx(e12x) e12xxe12x(1 2x) e12xxe12x( 2) (1 2x)e12x. (3)y (cos xsin 3x) (cos x) sin 3x cos x(sin 3x) sin xsin 3x3cos xcos 3x. 8 已知函数f(x) 在

13、r上满足f(x) 2f(2 x)x28x8， 求曲线yf(x) 在点 (1，f(1)处的切线方程解：对f(x) 2f(2 x) x2 8x8 两边求导，得f(x) 2f(2x) 2x 8，于是f(1) 2f(1) 28，解得f(1) 2，故切线斜率为2. 又f(x) 2f(2x) x28x 8，令x1，得f(1) 2f(1) 188，解得f(1) 1，即切点坐标是(1，1) ，所以切线方程为y 12(x1) ，即y2x1. b 能力提升 1已知函数yeaxb，则y _解析：yeax b可由yeu，uaxb复合而成，从而yxyuuxeuaaeax b. 答案：aeaxb2已知函数f(x) x1x

14、aln(x 1) ，若a2，则曲线yf(x) 在点 (0，f(0) 处的切线方程为 _解析：f(x) xa(x1)(xa)21x1a 1(xa)21x1. 当a2 时，f(0) 21(0 2)210174，而f(0) 12，因此曲线yf(x) 在点 (0 ，f(0) 处的切线方程为y 1274(x0) ，即 7x4y20. 答案： 7x4y20 3求曲线yln(2x1)上的点到直线2xy30 的最小距离解：设点p(x0，y0) 为已知曲线上任意一点，由题意得点p到直线 2xy30 的最小距离为曲线yln(2x1) 在点p处的切线与直线 2xy3 0 平行时的距离由y ln(2x1) 12x1(2x1)22x1，知点p处的切线斜率为22x01. 由22x012，得x01，y0ln(2x01) 0. 所以点p(1 ，0)处的切线方程为y2(x1)，即 2xy20. 2xy 30 与 2xy20 的距离为|3 ( 2)|22(1)25. 4( 选做题 ) 日常生活中的饮用水通常是经过净化的随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加已知将1 吨水净化到纯净度为x% 时所需费用 ( 单位：元 ) 为c(x) 5 284100 x(80 x100) 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时