高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4-新人教B版高中必修4数学学案

1、3.3 三角函数的积化和差与和差化积1. 能根据公式s和 c进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.( 难点 ) 2. 了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力 .( 重点 ) 基础初探 教材整理积化和差与和差化积公式阅读教材 p149内容，完成下列问题. 1. 积化和差公式：cos cos 12cos() cos() ；sin sin 12cos()cos() ；sin cos 12sin() sin() ；cos sin 12sin() sin(). 2. 和差化积公式：设x，y，则xy2，xy2. 这样，上面的四个式子可以写成，sin x s

2、in y2sin xy2cos xy2；sin x sin y2cos xy2sin xy2；cos x cos y2cos xy2cos xy2；cos x cos y 2sin xy2sin xy2. 判断 (正确的打“”，错误的打“”)(1)sin(ab) sin(ab) 2sin acosb.( ) (2)sin(ab) sin(ab) 2cos asinb.( ) (3)cos(ab) cos(ab) 2cos acosb.( ) (4)cos(ab) cos(ab) 2cos acosb.( ) 【答案】(1) (2) (3) (4) 质疑手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“

3、小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_ 解惑： _ 疑问 2：_ 解惑： _ 疑问 3：_ 解惑： _ 小组合作型 积化和差与和差化积公式在给角求值中的应用(1) 求值： sin 20 cos 70 sin 10 sin 50 .(2) 求值： sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 .【精彩点拨】在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系. 【自主解答】(1)sin 20cos 70 sin 10 sin 50 12(sin 90 sin 50 )12(cos 60 cos 40 )1412sin 50 12cos 40 1412s

4、in 50 12sin 50 14. (2) 原式 cos 10 cos 30 cos 50 cos 70 32cos 10 cos 50 cos 70 3212cos 60 cos 40 cos 70 38cos 70 34cos 40 cos 70 38cos 70 38(cos 110 cos 30 )38cos 70 38cos 110 316316. 给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数. 再练一题 1. 求 sin220 cos250sin 20 cos 50 的值. 【解】原式1cos 40 21cos 100 212(si

5、n 70 sin 30 )112(cos 100 cos 40 ) 12sin 70 143412( 2sin 70 sin 30 ) 12sin 70 3412sin 70 12sin 70 34. 积化和差与和差化积公式在给值求值中的应用(2016平原高一检测) 已知cos cos 12，sin sin 13，求sin() 的值 . 【导学号： 72010090】【精彩点拨】解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解. 【自主解答】cos cos 12， 2sin2sin212. 又 sin sin 13，2cos2sin213. sin20，由，得tan232，即 t

6、an232. sin()2sin2cos2sin22cos222tan21tan222321941213. 对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止. 再练一题 2.(2016 银川高一检测)已知 sin 45，32，求 sin 2，cos 2，tan 2的值 . 【解】32， sin 45，cos 35，且2234，sin 21cos 2255，cos 21cos 255，tan 2sin 2cos 2 2. 探究共研型 三角函数公式在解决三角形问题中的应用探究 1 解决与三角形有关问题时应注意哪些隐含条件的应用？【提示

7、】注意三角形中的隐含条件的应用，如abc，abc等. 探究 2 在abc中有哪些重要的三角关系？【提示】在abc中的三角关系：sin(ab) sin c，cos(ab) cos c，sinab2cosc2，cosab2sinc2，sin(2a2b) sin 2c，cos(2a2b) cos 2c. 在abc中，求证： sin asin bsin c4sina2sinb2cosc2. 【精彩点拨】利用和差化积进行转化，转化时要注意abc.【自主解答】左边 sin(bc)2sinbc2cosbc22sinbc2cosbc2 2sinbc2cosbc22cosbc2sinbc2sinbc24sina

8、2sinb2cosc2右边，原等式成立. 证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、 变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证 . 再练一题 3. 在abc中，求证： sin asin bsin c4cos a2cos b2cos c2. 【证明】由abc180，得c180 (ab) ，即c290ab2，cos c2sin ab2. sin asin bsin c2sinab2cosab2sin(ab) 2sinab2cosab22sinab2cosab22sinab2cosab2cos ab22cos c22co

9、s a2cos b24cos a2cos b2cos c2，原等式成立. 构建体系 1. 计算 sin 105 cos75的值是( ) a.12b.14c.14d.12【解析】sin 105 cos 75 12(sin 180 sin 30 ) 14. 【答案】b 2.sin 75 sin 15 的值为( ) a.12b.22c.32d.12【解析】sin 75 sin 15 2cos75152sin751522221222. 故选 b. 【答案】b 3. 函数ysinx6cos x的最大值为 ( ) 【导学号： 72010091】a.12b.14c.1 d.22【解析】ysinx6cos x

10、12sinx6xsinx6x12sin2x61212sin2x614. 取最大值14. 【答案】b 4. 已知 sin() 23，sin() 15，则 sin cos _. 【解析】sin cos 12sin() 12sin() 122312151330. 【答案】13305. 化简下列各式：(1)cos acos120bcos120bsin bsin120asin120a；(2)sin a 2sin 3asin 5asin 3a2sin 5asin 7a. 【解】(1) 原式cos a2cos 120 cos bsin b2cos 120 sin acos acos bsin bsin a2

11、sin ab2sin ba22cos ab2sin ba2tan ab2. (2) 原式sin asin 5a2sin 3asin 3a sin 7a2sin 5a2sin 3acos 2a2sin 3a2sin 5acos 2a2sin 5a2sin 3acos 2a 12sin 5acos 2a 1sin 3asin 5a. 我还有这些不足：(1)_ (2)_ 我的课下提升方案：(1)_ (2)_ 学业分层测评( 二十九 ) ( 建议用时： 45 分钟 ) 学业达标 一、选择题1.sin 37.5cos 7.5 ( ) a.22b.24c.214d.224【解析】原式12sin(37.57

12、.5 ) sin(37.5 7.5 )12(sin 45 sin 30 ) 122212214. 【答案】c 2.(2016 吉林高一检测)sin 10 sin 50 sin 35 sin 55 ( ) a.14b.12c.2 d.4 【解析】原式2sin 30 cos 20 sin 35 cos 35 cos 20 12sin 70 2cos 20 cos 20 2. 【答案】c 3. 若 cos()cos() 13，则 cos2sin2等于 ( ) a.23b.13c.13d.23【解析】 cos()cos() 12(cos 2cos 2) 12(2cos21) (1 2sin2) cos

13、2sin2，cos2sin213. 【答案】c 4.(2016 沈阳高一检测)在abc中，若 sin asin bcos2c2，则abc是( ) a.等边三角形b.等腰三角形c.不等边三角形d.直角三角形【解析】由 sin asin b cos2c2，得12cos(ab) 12cos(ab) 1cos c2，12cos(ab) 12cos c1212cos c，即 cos (ab) 1，ab0，即ab. abc是等腰三角形. 【答案】b 5. 求值： sin 20 sin 40 sin 60 sin 80 ( ) a.12b.22c.32d.1 【解析】sin 20 sin 40 sin 60

14、 sin 80 2sin 30 cos 10 sin 60 sin 80 212sin 80 32sin 80 32. 【答案】c 二、填空题6. 函数ycos3 2xcos32x的最大值是 _. 【解析】ycos3 2xcos32x12cos32x32xcos32x32x12cos 23cos 4x12cos 4x14. 取最大值14. 【答案】147. 直角三角形中两锐角为a和b，则 sin asin b的最大值为 _. 【解析】ab2，sin asin b12cos(ab) cos(ab) 12cos(ab) ，又2ab2， 0cos(ab) 1，sin asin b有最大值12. 【答

15、案】128.(2016 日照高一检测)化简： sin 42 cos 12 sin 54 _. 【导学号： 72010092】【解析】sin 42 cos 12 sin 54 sin 42 sin 78 sin 54 2cos 60 sin18 sin 54 sin 54 sin 18 2cos 36 sin 18 2cos 36 sin 18 cos 18 cos 18 cos 36 sin 36 cos 18 2cos 36 sin 36 2cos 18 sin 72 2cos 18 12. 【答案】12三、解答题9.(2016 济 宁 高 一 检 测 ) 已 知a，b，c是 abc的 三

16、个 内 角 ，y tan a22cos a2sin a2cos bc2，若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？并证明你的结论. 【解】a，b，c是abc的三个内角，abc，a22bc2. ytan a22sinbc2cosbc2cos bc2tan a22 sin b2cos c2cos b2sin c22cos b2cos c2tan a2tan b2tan c2. 因此，任意交换两个角的位置，y的值不变 . 10. 求函数f (x) sin xsin xsinx3的最小正周期与最值. 【解】f (x)sin xsin x sinx3sin x2cosx6sin6 sin xcosx612

17、sin2x6sin612sin2x614. 最小正周期为t22.sin2x6 1,1 ，取最大值34，取最小值14. 能力提升 1. 若 sin sin 33(cos cos ) 且(0 ，) ， (0 ，) ，则等于 ( ) a.23b.3c.3d.23【解析】，(0，) ， sin sin 0，cos cos 0，cos cos ，又在 (0 ，) 上，ycos x是减函数，0，由原式可知：2sin2cos2332sin2sin2，tan23，23，23. 【答案】d 2. 在abc中，若b30，则cos asin c的取值范围是( ) a. 1,1 b. 12，12c. 14，34d. 34，14【解析】cos asin c12sin(ac) sin(ac) 1412sin(ac) ， 1sin(ac) 1，cos asin c 14，34. 【答案】c 3.sin220 cos2803sin 20 cos 80