高中数学3.1.2导数的概念导学案新人教版选修1-1-新人教版高二选修1-1数学学案

1、导数的概念导学案学习目标1. 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念; 2. 理解导数的概念, 知道瞬时变化率就是导数, 体会导数的思想及其内涵; 3. 会求函数在某点的导数. 学习重点瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.学习难点：导数的概念 . 学法指导自由的探究学习知识链接一、自主学习二、合作探究探究 : 计算运动员在49650t这段时间里的平均速度, 并思考以下问题: (1) 运动员在这段时间内使静止的吗？(2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程 : 如图是函数105 .69 .4)(2ttth的图像 , 结合图形可知,)0()4965(hh, 所以)/(00496

2、5)0()4965(mshhv虽然运动员在49650t这段时间里的平均速度为)/(0ms, 但实际情况是运动员仍然运动, 并非静止 , 可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. 1. 瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 . 运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度 , 那么 , 如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t时的瞬时速度是多少？考察2t附近的情况 : 思考 : 当t趋近于0时, 平均速度v有什么样的变化趋势？结论 : 当t趋近于0时, 即无论t从小于2的一边 , 还是从大于2的一边趋近于2时 , 平均速度v都趋近于一个确定的值13.1. 从物理的角度看, 时间t

3、间隔无限变小时, 平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度. 因此 ,运动员在2t时的瞬时速度是13.1 /m s为了表述方便, 我们用0(2)(2)lim13.1ththt表示“当2t,t趋近于0时 , 平均速度v趋近于定值13.1”小结 : 局部以匀速代替变速, 以平均速度代替瞬时速度, 然后通过取极限, 从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值. 2. 导数的概念从函数)(xfy在0 xx处的瞬时变化率是: 0000()()limlimxxfxxf xfxx我们称它为函数( )yf x在0 xx出的 导数 , 记作0()fx或0|xxy即0000()()()limxf xxf xfxx说明 :

4、 (1) 导数即为函数)(xfy在0 xx处的瞬时变化率; (2)0 xxx, 当0 x时 ,0 xx, 所以0000( )()()limxf xf xfxxx. 三、典例分析例 1 (1) 求函数23xy在1x处的导数 . (2) 求函数xxxf2)(在1x附近的平均变化率,并求出该点处的导数. 分析 : 先求)()(00 xfxxfyf, 再求xy, 最后求xyx0lim. 解: (1) 法一定义法 ( 略) 法二2222111133 13(1 )|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx(2)xxxxxy32)1()1(2200( 1)( 1)2( 1)limlim (3)3

5、xxyxxfxxx例 2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热, 如果第xh时, 原油的温度 ( 单位 :c) 为2( )715(08)f xxxx, 计算第2h时和第6h时, 原油温度的瞬时变化率, 并说明它们的意义. 解:在第2h时和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是(2)f和(6)f根据导数定义0(2)()fxf xfxx22(2)7(2)15(27215)3xxxx所以00(2)limlim(3)3xxffxx同理可得 :(6)5f在第2h时和第6h时, 原油温度的瞬时变化率分别为3和5, 说明在第2h附近 , 原油温度大约以3/ch的速率下降在第6h附近 , 原油温度大约以5/ch的速率上升 . 注: 一般地 ,0()fx反映了原油温度在时刻0 x附近的变化情况. 四、课堂练习1. 质点运动规律为32ts,求质点在3t的瞬时速度为 . 2. 求曲线3)(xxfy在1x