安徽大学2009—2010学年第一学期高等数学试卷附答案

1、高等数学c（三） （a 卷）第 1 页 共 6 页安徽大学20092010 学年第一学期高等数学c（三） 考试试卷（ a 卷）（闭卷 时间 120 分钟）题 号一二三四总分得 分阅卷人一、选择题 （每小题 3 分，共 15 分）1 .设a, b 为两个互斥事件，且p( a) 0, p(b) 0 ，则下列结论中正确的是（）. a. p(b a) 0 ; b. p(b a) 0 ; c. p( a b) p( a) ; d. p( ab) p( a)p(b) . 2设( x ,y ) 为二维随机变量，满足：p( x 0,y 0) 3 ， p( x 0) p(y 0) 4 , 则7 7 p(max

2、x ,y 0) （）. a27; b. 3 ; c. 74 ; d. 5 . 7 7 3. 设x 是随机变量，且ex ， dx 2 ( 0) ，则对任意常数 c ，恒有（). a. e( x c)2 ex 2 c 2 ; b. e( x c)2 e( x )2 ; 函n x 21 n 1 n a. i ; b. max x ; c. x ; d. x2. i 1 1 i n in i 1 n i 1 5.下列叙述中恒正确的是 ( ). ii得分院/系专业姓名学号答题勿超装订线-装-订-线-c. e( x c)2 e( x )2 ; 4设总体x 服从正态分布n 的简单随机样本，则下列样本d. e

3、( x )2 e( x c)2 . ,2 ，其中已知，2 未知， x , x , x 是取自总体x 1 2 n 数中不是统计量的是（）. 高等数学 c（三） （a 卷）第 2 页 共 6 页y n nn 11 n 2a. 设 x1, x 2, xn是来自总体 x n ( ,2 ) 的样本，则样本方差 s 2 ( x ii 1 x ) 是2 的无偏估计，其中x 为样本均值 ; b.设1 和2 都是参数的无偏估计，如果 d1 d2 , 则2 比1 有效; c.设 x 2 (n) ， y 2 (m) ，且x 与y 独立，则x y 2 (n m) ; d.设x n (0,1) ，y 2 (n) ，则x

4、 t(n) . 二、填空题 （每小题 3 分，共 15 分）6.若 6 把钥匙中有 2 把能打开门，今任取两把，则能打开门的概率为. 7.若随机变量服从参数为 1 的指数分布，则方程 x 2 2x 0 有实根的概率为. 8.设随机变量 xu(0,)（均匀分布），则e(sin x ) = . 9.设x b(10,0.4) ( 二项分布 ) ，利用 chebyshev 不等式估计概率 p( x 4 2) . 10.假设总体x 服从参数为的 poisson 分布， x 1 , x 2 , x n 是取自总体x 的简单随机样1 n * 21 n 2本，记 x x i , s i 1 ( x i x )

5、 i 1 分别表示样本均值与修正样本方差，如果?a x (2 3a)s * 2 为的无偏估计，则 a . 三、解答题 （本大题共 5 小题，共 60 分）11.（本小题 10 分）甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，现从甲袋中任取 2 球放入乙袋，再从乙袋中取一球。（1）求取出的球是白球的概率；（2）如果已知从乙袋中取出的球是白球，求先从甲袋中取出的球是一白一黑的概率。得分得分n 高等数学c（三） （a 卷）第 3 页 共 6 页12.（本小题 10分）设二维离散型随机变量( x ,y ) 联合分布列为y 1 2 3 x 1 1 6 1 9 1 18 2 1 3

6、 a b 其中a, b 为某待定常数。(1 )求在y 2 的条件下x 的条件分布；(2) 问a, b 取何值时, x与y 独立? 院/系专业姓名学号答题勿超装订线-装-订-线-高等数学 c（三） （a 卷）第 4 页 共 6 页13 （本小题 15 分）已知二维连续型随机变量( x ,y ) 的联合密度为ae( xy ) ,f (x, y) 0 x y ，0，其它(1 )求常数 a 的值；(2 )求( x ,y ) 的边缘密度函数；(3) 求z x y 的密度函数。14.（本小题 15 分） 已知随机变量x 和y 分别服从正态分布 n (1,32 ) 和 n (0,42 ) , 且x 与y 的

7、相关系数xy1 , 设z x2 3 y . 2 (1) 求z 的数学期望ez ; (2) 求z 的方差dz ; ( 3 )求x 与z 的相关系数xz . 高等数学c（三） （a 卷）第 5 页 共 6 页1 5 .（本小题 10 分）已知总体x 的分布为p( x x) p x (1 p)1x , (x 0,1) 其中0 p 1为未知参数，设x1, x 2 , xn 是来自于总体x 的简单随机样本，求参数p 的极大似然估计量，并判断该估计量是否为无偏估计量？院/系专业姓名学号答题勿超装订线-装-订-线-高等数学 c（三） （a 卷）第 6 页 共 6 页四、应用题 （本大题 10 分）1 6 .

8、根据长期经验和资料的分析 , 某厂生产的一种钢索，它的断裂强度x (kg / cm2 ) 服从正态分布 n ( ,2 ) ，与2 皆未知现从该厂生产的产品中随机抽取一个容量为9 的样本，测得样本均值x 510kg / cm 2，修正样本标准差 s* 20kg / cm2 。问能否据此样本认为这批钢索的断裂强度为 500kg / cm2 ？（取 0.05 ）. （其中 t0.025 (8) 2.31 ， t0.05 (8) 1.86 ，t0.025 (9) 2.26 ， t0.05 (9) 1.83 ）. 得分第 1 页共 3 页c c c 5 5 5 安徽大学20 09 20 10 学年第一

9、学期 高等数学 c(三) （a 卷）考试试题参考答案及评分标准一. 选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.b; 2.d; 3.d; 4.a; 5.c. 二. 填空题（每小题 3 分，共 15 分）6. 35; 7. 1 e 1; 8. 2; 9. 25; 10. 1 . 2三. 解答题1 .解: 记 ai “从甲袋中所取两球中含有i 个白球”，i 0,1,2 ，b “从乙袋中所取一球为白球”。则c 2 p( a ) 2 1 c1c1， p( a ) 3 2 6 c 2 3 ， p( a ) 3 ，0 2 10 1 2 10 2 2 10 则由全概率公式有21 4 6 5 3 6 13 p(

10、b) p( ai )p(b ai ) i 0 再利用贝叶斯公式有10 10 10 10 . 10 10 25 p( a1| b) p( a1 )p(b | a1 ) p( ai )p(b ai ) i 0 15 .26 1 2 .解:(1) 首先注意到p(y 2) 1 a ，由条件分布定义知，9p( x 1y 2) p( x 1,y 2) 1 ,p(y 2) 9a 1p( x 2 y 2) p( x 2,y 2) 9a .p(y 2) 9a 1(2) 首先由联合分布性质知，1 1 1 1 a b 1 ，6 9 18 3 另外，由x与y 独立，则p( x 1,y 2) p( x 1)p(y 2)

11、 ，得到1 1 (1 a) ，9 3 9 2 dx dydx dz 联合，解得，a 2 , b 1 . 9 9 13. 解: (1)由于1f(x,y)dxdyae( xy)dydx1a，得a 2 . 0 x 2(2)由f x (x) f (x, y)dy 得,则当 x 0 时, f x (x) f (x, y)dy 2e( xy ) dy 2e2 x ,x 2e2 x ,从而 f x (x) x 0, 0, 其它. 同理, fy ( y) f (x, y)dx ，则当y 0 时, fy ( y) f (x, y)dx y 2e( xy ) dx 2ey (1 ey ) ，0 2ey (1 ey

12、 ) ,从而 fy ( y) y 0, 0, 其它. (3)由卷积公式知, z x y 的密度函数为 f z (z) f (x, z x)dx ,故当 z 0 时有zf z(z) 2 f (x, zx)dx 2ez dx ze z .0 zez ,0 z 0, 因此z 的密度函数为f z (z) 0, 其它. 14. 解: (1) ez e( x y ) 1 ex 1 ey 1 1 1 0 1 . 3 2 3 2 3 2 3 (2) dz d(1 x 1 y ) d( x ) d(y ) 2 cov( x ,y ) 3 2 3 2 3 2 1 dx 1 dy 2 1 (1 )9 4 3 2 x

13、y 1 9 1 16 1 1 3 4 3 9 4 3 2 （3）cov(x,z)cov(x,xy)1cov(x,x)1cov(x,y)3 2 3 2 1 dx 1 1 32 1 1 3 4 0 故xz 3cov(x , z ) 2 xy 0. 3 2 2 第 2 页共 3 页dx dyz第 3 页共 3 页s* / n nn n 0 15. 解: 设 x1 , x2 , xn 是相应于样本x 1 , x 2 , x n 的样本值 , 则似然函数为：故对数似然函数为l( p) pxi(1 p)1 xii 1 xip i 1 (1p) nxii 1 n n ln l( p) xi ln p (n xi ) ln(1 p), i 1 i 1 d ln l xi n xi而i 1 i 1 ，dp p 1 p d ln l xi n xi 1 n再令 0 , 即i1i 1 0 ,可解得p 的极大似然估计值为p?x . dp p 1 p ?1nn i 1 从而得p 的极大似然估计量为p ni 1 x i . ep ?e1nxn i 1 1 n n i 1 exip，故p ?为参数p 的无偏估计 . 16. 解:由题意x n ( ,2 ) ，选用统计量与2 皆未知.