一种复杂海洋环境声场算法的初步研究

1、一种复杂海洋环境声场算法的初步研究摘 要海洋坏境复杂多变，而声波作为海洋坏境中唯一可以远距离传播的波动形 式.它在海洋中的传播可以通过建立数值模型进行计算，快速声场预报模式对于 声纳性能预报和海洋环境参数层析反演十分重要。如何建立快速、精确的声场计 算模型是提高声场预报质量的丽提。本文首先回顾了现有的声场计算模型，并总结了各自的优缺点及其适用范 围，并对目前比较流行的两种计算模型简正波方法和抛物方程方法作了详细 的介绍，它们也是我们提岀的声场计算模型的基础。对于水平均匀和水平缓变的海洋波导來说，现有的声场计算模型已经比较成 熟，绝热简正波理论、抛物方程(pe)方法都能给出快速、精确的声场预报。

2、对 于水平变化较大的海洋坏境，由于水平变化对声场的影响，用绝热近似方法來计 算声场会产生较大的偏差；而耦合简正波理论，虽然计算精度高,但计算时间太 长：抛物方程方法计算精度比耦合简正波的稍差，只能计算远场，且处理向后散 射有困难，但计算速度快。耦合简正波-抛物方程(cmpe)方法在水平方向采用抛 物方程法求解简正波系数方程,可以克服由于耦合简正波理论的分段水平均匀近 似带來的缺陷，耦合系数中考虑了海底倾斜的影响，可以加大水平步长，同时可以 很方便地应用于三维声传播问题。耦合简正波计算机算量繁多的关键在于耦合矩阵的计算，需要逐点计算局地 简正波及其微分系数，高精度计算要求水平分区多，结果在精度和

3、计算量之间存 在一定的矛盾。本文借鉴cmpe的诸多优点，探讨了一种基于简正波理论的局地 简正波声场计算方法，基本思想是：利用求解低维矩阵问题代替现有简正波模型 的差分问题，减少了耦合简正波计算中各点的局地本征函数和波数的计算量。首 先，通过矩阵分解技术可以得到各水平位置水平波数和局地本征函数：然后水平 方向上简正波系数则是通过抛物近似方法來求得，加快了计算速度，但不可避免 的牺牲了计算精度，例如波数累计误差。并且现在这套方法还不能处理变海深的 坏境。本文给出了数值算法和简单算例，并与现有的数值方法计算结果作了比较。关键词：简正波：抛物方程：奇异值分解；变换矩阵;the basic study

4、of sound field computation methodof complicated oceanabstractsound is the only wave form which can propagate long distance in complicated ocean, whose propagation is estimated by means of numerical mode. it is important issue to invert the parameters of ocean environment by the numerical code of sou

5、nd field. how to establish rapid and precise numerical mode for sound field is also the key to improve the sonar technology.the article firstly recalls the numerical modes in existence, and summarizes the characteristics of them. two modes - normal mode (nm) theory and parabolic equation (pe) method

6、 which are the basis of our new method are given.the numerical methods for simple oceanic wave guide are robust, which compute rapidly and accurately, for instance adiabatic normal mode theory and parabolic equation method however, for the wave guide varying rapidly in horizontal direction, there ar

7、e bigger errors for these methods. the coupling nm theory is of higher accurate, but slowly. pe method compute rapidly, but precision worse and only for far-field, moreover it is difficult to solve backward scattering component coupling nm-pe method (cmpe) is an improved mode for complex wave guide,

8、 can increase computing step and fits 3d problem-considering the characteristic of cmpe method, a new method of sound field calculation which is based on normal mode theory is proposed. by solving a lower dimensional matrix problem instead of difference problem, eigenfunctions and wave numbers can b

9、e calculated more quickly. firstly, the eigenfunctions and wave numbers of different range are calculated by matrix decomposition technique- then, using the information of normal modes, the coefficient vectors of mode are estimated by means of resolving the difference equation with respect to range.

10、 the speed of computation is step on the juice, but the precision is degraded, for example, the accumulative error of wave numbers. and, some problem like the depth of sea being changed with range can not be resolved now. the numerical method and some simple example are given in the article, and com

11、paring the result with other method.key words: normal mode; parabolic equation; svd; transformation matrixhi1绪论11引言声波在海洋坏境能够远程传播，掌握声波在海洋中的传播规律是认识海洋的 一种有效的途径，海洋声学就是研究声波在多变的海洋坏境下的基本传播规律和 海洋坏境参数反演的一门学科。如何快速精确的得到海洋环境的参数以及海洋环 境预报，这需要良好的声场计算方法。由于海洋坏境条件复杂多变，使声波在海洋信道中的传播也存在着强烈的变 化，数值模型成了水声学研究中的标准研究工具之一因为只有数

12、值方法才允许 我们考虑海洋声学问题中的全部复杂情况，而且数值实验比海上实验更快捷更节 省。再者，随着现代声纳作用距离的增加，在水声探测、通信等过程中经常遇到 海洋内部的不均匀结构（锋面、涡流等），导致接收信号的畸变，因而在声场计算. 目标探测等方面产生一系列问题，因此在复杂海洋环境中，提取坏境参数、进行 快速声场预报，在军事上具有重要意义。这些工作都离不开复杂海洋坏境的声场 计算。因此，自上世纪70年代中期以來，随着计算机技术和计算物理学的发展， 海洋声学数值模型的开发和应用得到了迅猛的发展。各国投人了大量的人力物力 从事计算声学的研究，努力发展适用范围广.运算速度快、计算精度高的海洋声 场的

13、计算模型与算法。近几十年來意大利saclant水下研究中心、美国华盛顿nrl （海军研究实验室）、中科院声学所等在内的各国实验室已发展了大量的海洋声场 的计算方法，并形成了诸多可描述海洋中声传播模型（即波动方程的计算机解法） 的计算机标准软件。各种计算模型根据其优缺点应用于不同的计算环境，现在根 据各种算法的不足，特别是为了提高计算速度和精度以更好的应用于海洋环境中 声场的快速预报而进行的各种改进仍然是计算声学研究领域的研究热点。在计算声学领域应用比较广泛的计算机软件主要是基于简正波、抛物方程、 多途展开和射线等方法役目前各种软件的开发或改进也大都是在上述理论框架 下进行的，以期望提高不同的软

14、件某一方面的计算能力，如计算速度、计算精度 等，这些改进方法常常是对精度和运行时间的某种合理折中方案。简正波方法（常用的模式如：kraken、couple、snap、snaprd、orca等）对 于与距离无关（range-independent）的水平分层介质问题是一种标准的计算方法， 其优点是计算精确，物理图像比较清晰。但对与距离相关（range-dependent） 的问题，较为麻烦，可利用evans"）、pierce等人提出的简正波耦合方法得到较 精确的解，其基本思想是将水平变化的声波导分成若干段，每一段内近似认为介 质特性无水平变化，在毎一个水平分段内都重复range-ind

15、ependent的算法。目询 常用的简正波程序主要包括意大利saclant水下研究中心fb. jensen等提出的 snap.snaprd.porter提出kraken程序，黄国海军海洋研究和发展机构的evans 提出的耦合简正波计算程序couple等。抛物方程方法(pe、for3d、mmpe、ram)具有对坏境适应能力强的优点，较 耦合简正波方法计算速度快，较射线声学方法计算精度高，待别是可以精确计算 低频声场，是目前计算三维声传播问题常用的方法之一，但目前的算法计算速度 慢、频率低，处理后向散射困难，对于海底介质跃变边界的处理也较为麻烦。pe 算法最初由hardin和tapper严在70年

16、代引入水声学的.如今，pe算法已成为海 洋声学中求解与距离有关的传播问题的最通行的波动理论方法。for3d算法由美海军水下作战中心和耶鲁大学提出，已有的抛物方程计算程序还包括mmpe、ram 等。此外，abawi和kuperman1'01将耦合简正波与抛物方程方法结合提出了 cmpe算法，中科院声学所的研究人员结合绝热简正波理论和抛物方程方法，提出了ampet,算法，并提出了改进的cmpe. cmpe3d算法克服了常规抛物方程方法的某些缺陷，在一定程度上提高了计算速度和精度。但目前这些计算程序大都不 能处理深海高频问题。除此之外，对于一些复杂的海洋环境(海洋环境随着水平距离变化)，尤其

17、是 对于水平不变或者变化相对缓慢的海区，近年來发展的声场计算模型很多，例如： 绝热简正波理论、抛物方程方法等等，我国学者提出的广义相积分(wkbz)理论" 及波束位移射线简正波(bdrm)理论冋分别在深海和浅海坏境中，实现了声场的 快速、精确预报。对于水平变化较大的海洋环境,必须考虑水平变化对声场的影响.这种情况 下如果用绝热近似方法来计算声场会产生较大的偏差；而耦合简正波理论,计算时 间太长，不能广泛应用；抛物方程(pe)方法计算精度比耦合简正波的稍差，适于计 算远场，且处理后向散射有困难。文献10将耦合简正波理论与抛物方程方法结合 起來提出了一种全新的宙场计算模型:耦合简正波-抛

18、物方稈(cmpe)方法。cmpe 方法在水平方向采用抛物方程法求解简正波系数方程，可以克服由于耦合简正波 理论的分段水平均匀近似带来的缺陷，耦合系数中考虑了海底倾斜的彫响，可以加 大水平步长，同时可以很方便地应用于三维声传播问题。总之，现有的基于简正波理论的计算模型基本上都是基于水平分层的差分算 法，对存在简正波耦合的随距离变化的海洋波导，需要对每一个水平分层重复相 同的差分运算，并且当声源频率较高时，所需计算的简if波数目很多耦合矩阵 的计算变得相当复杂，计算量比较大.虽然计算精度相对较高，但计算速度太慢. 不能广泛应用.鉴于此，本文探讨了一种基于简正波理论的声场计算方法，利用 求解低维矩阵

19、问题代替现有简正波模型的差分问题.减少了耦合简正波计算中各 点的局地本征函数和波数的计算址，通过矩阵分解技术可以得到各水平位置水平 波数和局地本征函数；而水平方向上简正波系数则同样借用抛物近似方法來求得, 加快了计算速度，但不可避免的牺牲了计算精度。1.2论文研究的目的及意义世界上大部分海区海洋水文坏境复杂：存在中尺度涡、锋面、强海洋内波， 海底地形起伏：陆坡或陆架，水深变化在这些区域非常快.由于上述复杂海洋坏 境存在，会产生声传播的起伏、衰减.折射等效应，严重形响声纳的远程探测， 因此，这些区域的水声场数值预报十分重要。这不仅对物理海洋监测、海洋地质 勘察、海洋渔业具有重要的现实意义，同时也

20、是提高海军作战能力的重要坏节。国内外已有相当多的数值预报方法（主要用于传播损失与声场分布预报），不 同的方法往往优缺点并存，对于不同的水声应用常常采用不同的方法。本文的任 务就是初步探讨一种基于耦合简正波的声场计算方法，在保证一定计算精度前提 下提高声场计算速度。本文通过利用参考波导下的简正波本征函数作为一组基, 对复杂波导的简正波本征函数作线形展开，展开系数构成变换矩阵，考虑声速扰 动的影响，用矩阵分解技术來求解各水平位置的变换矩阵和水平波数，代替了耦 合矩阵的求解，减少了耦合简正波计算中各点的局地本征函数和波数的计算量， 将差分问题化作了求解低维矩阵问题。在水平方向采用抛物方程法求解简正波

21、系 数方程，可以克服由于耦合简正波理论的分段水平均匀近似带來的缺陷。13论文的内容与结构本文的主要内容是寻求一种复杂海洋波导的快速声场计算方法，这种方法基 于耦合简正波理论，但是克服了现有的耦合简正波的耦合矩阵计算速度慢的问题, 至于简正波的系数则是通过抛物近似方法求解系数方程得到，这种方法在远场的 精度可以得到保证，这是简正波理论和抛物近似方法的优点。本文给出了这种声 场计算方法的理论推导及简单的数值计算，并与现有的声场计算模型的结果作了 比较，当然这种方法只是初步研究，还存在很多的问题，譬如没有考虑到海深的 变化、各号简if波衰减（波数的虚部）随距离的变化、水平波数累计误差等。本文的组织结

22、构共分为5章，各章的内容安排如下：第一章“绪论”，介绍声场计算的研究背景及其更要性概述现有的声场计算方法 的研究成果和发展现状；阐明了本文的研究目的及意义.并给出了论文的 主要思路和结构框架。第二章"声场数值计算模型”，介绍两种声场数值计算的模型一简正波模型和抛 物方程模型，给出了两种模型的基本理论和具有代表性的数值算法，它们 也是本文研究工作的丽提和基础。第三章“基于耦合简正波和抛物近似的声场计算方法”，通过利用参考波导下的简jf波本征函数作为一组基，对复杂波导的简正波本征函数作线性展开，展 开系数构成变换矩阵，用矩阵分解技术來求解各水平位置的变换矩阵和水 平波数，减少了耦合简正波

23、计算中各点的局地本征函数和波数的计算童 将差分问题化作了求解低维矩阵问题。在水平方向采用抛物方程法求解简 正波系数方程。本章给出了两种简单情况的理论推导.第四章“数值方法与算例”，本章利用第三章推导的理论为基础.给出了声场计算 的数值方法，并给出了简单算例；计算结果与现有的计算模型做了比较。第五章“总结与工作展望”，总结本文的成果，进一步展望以后的研究工作。2简正菠模型与抛物方程模型海洋声学研究的基础是波动方程（以柱坐标为例）：丄龚=/（卞）（2.1）pc dr为声场势函数：c为声速，通常为配位函数，即心心小1为时间/（和） 是随空间和时间变化的体枳注入函数。当仅仅考虔单频简谐声源情况时方程（

24、2） 可以化为helmholtz方程（也可以通过时频傅立叶变换得到）：(2.2)式中为声源频率，波数吃）二旦,/（厂的是/（和）的傅立叶变换对。上式 c（r）及其边界值问题的求解确定了声波的传播情况。而（2.2）式得求解技术与问题的 维数、环境的声速变化.边界条件.声源及接收器的分布和频率、带宽等因素有 关依抵数学处理方法的不同，求解这一边界值问题的方法可以分为射线方法、 简正波方法.和抛物方程方法等几种。对于与距离有关的传播问题，耦合简正波 可以给出声场的准确结果，但耦和简正波方法中耦合项的计算十分困难，计算量 比较大海洋坏境水平变化充分缓慢时，为简化问题可以引入绝热近似，用绝热 简正波方法

25、可以获得较准确的计算结果。抛物方程方法是一种比较有效的声场分 析方法.抛物方程方法可以方便地处理海洋声速、海底地形等环境参数的水平变化, 较耦合简正波方法有更快的计算速度，较射线声学方法有更高的计算精度。抛物方 程方法在三维声场的计算中具有较大的优势。下面简要介绍两种声场计算模型一 一简正波方法和抛物方程方法的理论基础。2.1简正波模型简正波方法是描述海洋声场传播规律的理论之一，它将声场分解为垂直方向 的驻波和水平方向的行波的结合。早期有perkeris提出简单的两层海洋模型理论 叨，后来williams在简正波方法研究方面取得了新进展【。随着对复杂海洋环境 声场计算方法的研究，有关简正波耦合

26、的理论渐渐出现，早在20世纪60年代 a.d.piercef4j和d.m.milde?36）就简正波耦合及绝热近似条件进行了理论研究；j.a.fawcett得到了满足能量守恒形式的耦合简正波理论；r.b.evans、m.b.porter、 a.voronvich等对简正波耦合理论和数值计算作了深入的研究：knoble等人结合 了 u-k方法和lanzaos方法给岀了基于简正波耦合得声场计算方法w王宁提岀了简正波耦合的绝热近似判据卩叮»2.1.1简正波理论【山考虔2维柱对称问题(z,r)平面)，声源频率为勿、声源深度为兀，声源强度为 s“激发的简正波场。当考虑的波导为水平均匀的简单情况

27、时，我们写出声场的 helmholtz 方程：1 d ( dp z x 3 z 1 dp花(丽+鼻§(厂 0(z 一 z,)inr(23)利用分离变量法.令p(r,z) = (r)(z) ,(2.3)两边同除以陨厂)肖，得:(2.4)令上式的两部分都等于常数疋异于是得到深度方向的模式方程:旳却右警田需七以)=。(2.5)边界条件/(0) = 0表示压力释放表面。(2.5)式所表示的模式方程是典型的 sturm-douville特征值问题，它的主要特性是：模式方程有无限个类似于振动弦模 式的解，模式用深度方向的分布函数匕,(2)和水平波数表示；函数必,(z)是深度 方向的特征函数，是特

28、征值；这类sturm-liouville问题的模式是正交的，即：计g我们假定模式已经归一化，即(2.6)(2.7)这些模式构成了一个完备集，即可以把任何一个函数表示成简正模式之和。例 如，可以把声压写成：8(2.8)p(r,z) = (r)m(z)代入式(2.3)得到:+如爲虫丄ydzp dz 丿 c2(z)(2.9)一种复杂海洋环境声场算法的初步研究利用方程(2.5)进一步简化得到：号也*.+昭盅(厂必(2.10)sa§(门 6(z-zj inr根据(2.6). (27), (2.10)(21)丄细+佛(厂)=込些也 r dr dr n2nr 这是一个标准方程，它的解为：4p匕)选

29、择h糾还是丹卩取决于辐射条件，当厂too时声波应向外辐射，又假定时间 关系为exp(tgf)，故采用第一类汉克尔函数。于是得到：於小命晔(s(22)若采用远场时汉克尔函数的渐进式，则声场可以表示为:p(r9z)z(2.13)这样，我们就将声场展开为各阶模式之和的形式。简正波方法需要解与深度有关的方程。对于理想液体波导，我们可以经过理论 推导得到解析解，在实际的问题中由于声速的深度分布比较复杂，简正波深度方向 的模式方程一般只能利用数值方法來求解，即求解水平波数斤“和深度方向分布的特 征函数几(z),常用的数值求解模型有kraken。作为简正波理论的数值实现， kraken可以快速的计算出简正波

30、声场的波数和深度方向分布的模态函数，是进行 简正波声场数值计算的有效模型。2.1.2简正波耦合简正波模型除了可以处理与距离无关的问题.还可以推广到处理与距离有关 的问题。即耦合模式简正波。根je evans131处理此问题的基本原理，将水平变化的声波导分成若干段，每一段内近似认为介质特性无水平变化。如下所示，在仅考 虑前向传播成分时，简正波声场的形式可以写为：*/詁p(r，z)= x肓(2.14)一种夏杂海洋坏境声场算法的初步研究则乙t与乙段间的声场为；ps）二十号加记址=exp（叱（s）&=aycyh/（r/）,h为对角阵，矩阵元素为址，c为耦合系数矩阵其矩阵元素为定义传播矩阵为：p

31、cnnncn hn ch(2.15)(26)(2.17)n+1二工pgn*=j(2.21)则由此声场的形式为:p（rn x 工（力尸”巴:（z j exp（处九）（2.18）mn根据简正波耦合强度的不同，耦合系数矩阵p可以近似为不同的形式：当简正 波耦合很弱时，可以采用简正波绝热近似，p为对角阵；简正波耦合较弱时，可以 仅考虑相邻简正波间的耦合，此时p为三对角阵。当不考虑间接耦合（即仅考虑”t/w的耦合）和模式耦合引起的简正波的能 量变化时，p可以表示为（wangning,2002） l20j,）:p祕=-cxp(/<£)jexph(ar； -)r住戸)dr, mn (2.19

32、)其中l为声传播距离，当考虑间接耦合即考虑巾t/ft加的耦合时可以利用（2.19）式得到：1仙v吐，(了圧就>(2.20)=-exp；z) jexphu；, - a;； )rpilt.(r)dr.这里我们可以利用简ie波绝热判据【叫(2.22)lo max通过(2.22)式來判断是否可以利用绝热近似來简化简正波耦合问题。2.1.3数值方法在分层介质条件下，简正波方程的解是一个复杂的特征值问题，kraken方法 采用有限差分方法求解方程，可以得到快速精确的解。则离散化模式问题就变成 为以下代数特征值问题：(/-q/)x = okraken模型将整个深度d划分成n个等间隔的宽度h=d / n

33、,相应地得到n + 1个点，1 2 3 zz zzz含有界面的有限差分网格假设p为常数，则垂直简正波函数满足以下模式方程-”)y(z)= o厂伙 2)炊0)+=opfb(k2)i/(d) +/(d) = 0(2.23)p将前向差分、后向差分和中心差分估计，代入(2.23)式得忆 +(-2 + h2l-r - k； ”$ + 肖”严 0j=1 n-ll(z)4%+却¥+去“w扣。g p h cz(0)24% + 丄绘-k； % 扣 0(2.24)g p h cl(d)2将(2.24)式中第一式写为占匕)+占卜2 + /7，( ?幻机(2.25)hp hp<?2(zz)hp再将上式

34、所有的差分方程联立，可得记为x伙;)0 = 0(2.26)d严其中在分界面上可用边界条件将各层联系起来。上层是水，下层是海底，利用法向振速连续0(d)二叭d)訂/ph%厂戏+b7c®)-好帆尤/2h.p*hwpw(2.27)+ -践+b7c2(zr)-好比时/2 + 畑“h45上式形式与(2.25)式类似，因此可将两层介质各自的对称矩阵构成三对角矩阵 求解本征值。一旦求得本征值，特征向量可用反迭代法求得.目前计算本征值的方法可以分为两大类.第1类方法假设本征值的虚部很小， 忽略其虚部或采用摄动的方法，使得本征方程解耦，然后进行求解.这种方法的 计算速度快，精度高，但是由于它不能计算虚

35、部比较大的高号简正波本征值，因 而只能应用于不需要考虑高号简正波的情况。例如kraken算法.第2类方法是 直接在复数域内求解本征方程，例如krakenc算法，虽然它能够处理任意号数 的本征值，但是其计算速度非常慢，不适用于声场的快速计算。2.2抛物方程方法1977年，tapper!首次将抛物方程方法引入了水声学研究中.其后几十年中， 随着计算技术和计算机技术的迅猛发展，在一大批水声学专家的努力之下.水声 学中的抛物方程方法技术也有了很大的突破如今，抛物方程方法已是远程声传 播计算的一类重要的模型，不仅计算精度高、速度快，而且可以计算海洋环境参 数存在水平变化、耦合强情况下的三维声传播，是一种

36、有效禹声场分析方法。首 先介绍一下tappert的标准抛物方程。2. 2.1抛物方程方法基本理论对于单频点源的声传播问题，波动方程可以化为helmold方程.只耍给定了适 当的边界条件，就可以求出一个唯一的解。取柱坐标系，考虑柱对称的情况，声源 处为坐标原点，z为深度坐标，r为水平距离坐标，则柱坐标系下的helmoltz方程可 写为：+ 丄+a2(r,z)4> = 0(2.28)r其中0(r,z)为声场势函数，*2(r,2)= oi2/?(r,z),c(rfz)为声速。令(&(r,z) = i/(r,z)v(r,z)(2.23)式可写为：1 2(臨 + v j" + (

37、 +匕)/n2uv = 0(2.29)rr v此处心为设定的参考波数,满足关系式：k(r,z) = k0n(r,z)9而折射率n(ryz)n(r,z) 定义为c0/c(r,z)o用人做分离变量常数，且用-kklu分别等于上式中第一个 圆括号和方括号中的项，则上式分为下面两式：+*jv = o(2.30)ri 2(；+待 m+伽0(231)(2.30)式为零阶贝赛尔方程，可以得到v(f)的解为两个函数的线性迭加，其中一 个代表向内传播的波，另一个代表向外传播的波，忽略向内传播的部分,v(r)可以写 为：呛)=凤(力)当k.r »1对(心门做远场近似,v(r)的解可以写为：(2.32)将

38、上式代入(231)式可以得到：urr +十冷( (几 z) 1> = 0(233)tappen忽略了上式中咋的影响(认为在水平方向叭是缓变的)，于是得到了标准 抛物方程：(234)tappert的标准抛物方程(2.34)认为对声场起作用的是具有小掠射角的声线， 因此(2.34)也称为窄角抛物方程。这对许多情况下是难以满足的，为了获得更宽 范围的方法，lee和mcdaniel将(2.33)用算子的方式进行了处理得到绚：(2.35)在忽略耦合矩阵的岛阶项的询提下，利用广义算子分解技术，忽略后向做射对前向散射的影响，只讨论前向敬射，即：(236)2厂一一-q + ik0 -/ovl +x &g

39、t;m = 0 or 一/> i ° "x =n (r,z)-l + 对vftf做不同的近似可以得到各种宽角抛物方程26刀加】，早期主要是用有 理函数來近似,能够处理的角度不大，后来有人将了近似为三次有理 分式约,通过适当的选取式中的参数，可以获得较大的传播角度.dalrymple将 了写为均；jit x = j1 + “ + £ 9 式中:丄21k； dz2,£ = n2(r,z)-l(237)采用近似形式：卜“ + £ = yl +丙7比采用有理函数的误差要小。可以看出只要对岳了选取适当的近似形式，就可以获得足够宽的传播开角。2.2.

40、 2三维抛物方程方法以上考虑的都是二维情况，实际上在海洋坏境中，介质的密度，声速，以及海底地形等参数不仅随距离r变化，而且也随着&方向而变化。因此必须引入三维情况下的抛物方程方法，由三维波动方程式:1 a /加、1护a20;»0詔+尹丽+萨+ *20=0(2.38)取 <d = whjh（v）将上式代入（2.38）得到,d2u 沪+已”（心尸）卩“ 1兀九 出"伙°”協 + 7 丽 *护(239)由于kqr>>lt对上式中hankel函数取渐进形式并忽略高阶项，得到:d" i d2t/ t2, 2 it c(2.40)此方程可以

41、改写为：(2.41)伶+线魯弋卜* +（八d +古£+击韵卜0并记i a2a2将微分算符形式作为代数量解算，可将u所满足的微分方程式分解因式得:y- + ik0 + ikq jl + x + y 扌 + ikq -ik© j1 + x + y )“ = 0(2.42)第一项对应收敛波的解.第二项对应发散波的解因此近似有:+ iku = ikq jl + x + 丫u dr(2.43)但微分算符并非代数量，（2.43）式与原微分方程式并不相同，但只要满足条件:1 咖-i）。 心（宀1） dr则两者相差甚微，认为（2.43）式有较高精度。2.2.3抛物方程的数值求解阿切对于（2

42、.14）式，f0r3d®】模型中用了交替方向方法来求解:(2.44)w(r + ar,z)=2 82 u(r,09z)式中§=3,将指数算子近似成有理函数算子:""斗$ 1 + px£ $«e =1 + px歼 1 + gy1 + gy式中：p = l/4+6/4,戸是卩的共轨，q = “4&是q的共轨这样就可以得到一个有限差分表示的步进算法：由此得到了一个无条件稳定的隐式步进差分格式: (1(8 a1+ -x1-一y(4214 )(2.42)以上是lee.d.在for3d中使用的算法，算法在z方向具有较宽传播开角，在&

43、;方 向具有窄传播开角。最初对标准抛物方程进行数值求解时，只能采用分裂步进付立叶方法(split-step fourier method)后来又出现了隐式有限差分方法叫 能够更好的处理 声速和密度快速变化的情况。再后來又出现了有限元法.有限元法更容易包容垂 直网格间距可变得情况，并且更容易处理不规则界面的情况，但是有限元法的计 算最要比有限差分法大的多.而有限差分法对于等间距网格的情况，格式比较简 单.因而得到了广泛的应用。以上的隐式差分使用的是crank-nicolson格式，在d.lee的for3d中另外还 使用了 douglas格式。区别如下：对于简单的-维方程:鲁些。(2.43)(2.

44、44)u* un-1 u" f 2u* + ub i 其古典隐式格式可写为：一_一-a =0u* ul unr? +u 显式格式可写为：一_'一-a=0th2用(1,)乘以(2.44)式(0s&s1),用&乘以(2.38),两式相加得加权隐式格式:当0二1/2时上式为crank-nicolson格式。&=丄(1-)时为douglas格式 2 6axth22.3结论：在本章中详细阐述了声场计算的两种方法和数值模型简正波方法和抛 物方程方法的基本理论，并对相应的数值算法作了简要的介绍，为以后章节提供 了理论基础和数值计算的参考方法。于耦合简正波和抛物近似的

45、声场计算方法目前.计算海洋声学领域存在很多的声场计算模型，并且都有自己的适用范 围和优缺点。本文在前人的基础上，利用耦合简正波理论和抛物近似理论，探讨 一种新的声场计算方法。这种声场计算模型类似于耦合简正波一抛物方程方法，融合了简正波方法和抛物方程方法的优点。本文利用参考波导下的简正波本征函 数作为一组基，对复杂波导的简正波本征函数作线形展开，展开系数构成变换矩 阵，考虑声速扰动的影响，用矩阵分解技术來求解各水平位置的变换矩阵和水平波数，代替了耦合矩阵的求解，减少了耦合简正波计算中各点的局地本征函数和波数的计算量，将差分问题化作了求解低维矩阵问题。在水平方向采用抛物方程法求解简正波系数方程,可

46、以克服由于耦合简正波理论的分段水平均匀近似带來的缺陷。虽然某些浅海条件下，用简正波微扰法计算的复数本征值误差比较大，根据微 扰理论计算复数本征值及本征函数的传统简正波理论仍被广泛应用。为了提高简 正波理论的计算精度，很多研究人员着手研究在复平面内直接求解本征值的方法. 由于在复平面内求解本征值计算十分困难，因而tindle与chapman等人冋提出了 一种新的在复平面内寻找简正波本征值的方法，但计算量仍然十分大。levinson 与westwood等人冋提出利用airy函数来求解本征函数以提高计算速度，本文在 这方面不做深入研究。本章内容主要是二维问题和简单三维问题的理论推导。3.1基本理论3

47、丄1二维问题首先考虑简单的二维均匀海洋波导情况j p = const）,点声源位于处， 假设描述海洋声场的helmholtz方程为v2p(z;x)+c2(z9x)p(z； x) = 3(xzj(3.1)其中拉普拉斯算子wq为声源的频率，c（z,x） = c0+ &（z£,hr azcjz）是参考波导的声速剖面，而&（z.n是水平位置为x处的声速扰动。 给岀方程的试解p（z；x）二工）0,（z；x）(3.2)代入方程（3.1）,利用分离变量法，蜃终可以得到d2代(z；x)二好0(2；才)(3.3)工(仝4%e) + 2字警也认)怦也+皿)好(gg)“(3.4t dx*d

48、x dxdx9其中(3.3)式.考虑到边界条件就是典型的sturm-liouville问题，对于这样 的问题，我们可以通过数值求解技术求得其本征值饥(x)和本征函数0,(z;x)利用代(z;x)的正交性，即(m = n)0mn)用久(益力乘以(3.4)式并对z求积分，可以化简为:智 + 2工心辔+工心碍+忙。=0(3.5)写成矩阵形式为譽+2如讐+b如+ k呛)=。(3.6)其中 a(x) = (at(x),a2(x),t, m(x)祕=w(x) = j%(z;x)歿乎2fe , b(x)w =艸(zj聖严血,k(x) = diag(k：(x)用(x)，“)。引入参考波导(见图3-1),利用微

49、扰方法来对复杂海洋环境的声场方程(3.3) 求解。务:+盖如诃加(3.7)仇神此(z)m(3.8)利用的正交性可以得到(3.9)mkt = id通过 c(z,x) = c0(z) + ar(z,x),可以得到点tg(+2s)厂金yd 乞晋)(30)把(3.7人(3.8). (3.10)代入(3.3)并化简得空舊严工就(z)(边/x)此(3.11)式两端分别乘以昭，并对z求积分得：心(琐好)2心匚二疋m/x)m(3.12)其中匚=2"岸靜此昭(3.13)(3.12)式的矩阵形式为(3j4)m(x)k° 一 m(x)v(x) = k(x)m(x)(35)利用(3.9)式有m(x

50、)(k° - v(x)mt(x) = k(x)其中k。=dbg(胖尸,俗几.)，k二加g(好用,)这样，只要知道参考波导中的声场：此，疋,以及声速扰动&(z,x),通过对 (3.15)作svd (singular value decomposition=奇异值分解)分解，我们可以得到 k(x),m(x),从而利用(3.8)式得到©(z;x)。在得到上述信息之后，就可以利用绝热简正波近似來得到声压表达式，从而 来计算传播损失。同时还可以得到简正波耦合矩阵的表达公式：亦即:心 彎 x)dz fi.dx1d- /、昵dxb(x)二dx2(3.16)(3.17)(3.16?

51、(3.17)'(3.16) (3.17)，分别代入(3.6)式得空卑 + 2m(x)瞠® 处 + m(x)*m： a(x) + k(x)a(x)o(3.18)dxdx dxdx化简后得m t (x)a(x) + m t mk(x)m(x)m t (x)a(x) = 0(3.19)我们可以利用数值方法来求解方程(3.19)得到a(x).以上方法主要在求解 局地简正波上进行了改进，采用参考波导的已知信息，将求解常微方程的本征值、 本征函数问题转化为求解一个低维矩阵问题，这样就可以节省计算时间和内存。3.1.2三维轴对称问题上面讨论的方法同样可以处理三维情况，本文只给出简单情况(柱

52、对称)的 应用。假设考虑海面为自由平而,海底为水平海底的二维问题(轴对称)，介质密 度p(x,z)和声速c(x,z)随着距离和深度而变化。略去时间依赖关系简谐点源 作用下水平变化的声场波动方程为(3. 20)pv (丄 vp) + k2p = 0p式中p(x9z)为声压小=优为波数，3为圆频率。用cmpe法求解波动方程(3.20)，可得如下形式的级数解山伺:朋,2)=历门£出(功兀(羽毎(右说丄3(3.21)”1式中k产儿为本地本征值，e(z；x)为相应的本征函数,它们满足以下两个条 件：警;力 + (q - q m (z; x) = 0(3. 22)和其中"叫=此(3.2

53、3)vp)2o并且毎还满足相应的海底.海面边界条件。eq(3. 21)中碍为待求的简正波系数，将eq (3.21)代入eq (3. 20),忽略简正波的水平 导数和高阶耦合项，并利用垂直分布函数的正交性，可以得到(3. 24)(3. 25)+2 必警+(此一心)um + £ (2心將+2/x 心”)=0其中分别为简正波的耦合系数，表示为：a(x) = m(x)翌凶 axeq(3. 24)就是描述各号简正波幅度函数，写成矩阵形式为:等煖+(宀心+ 2碍“(3. 26)式中"国",则7为简正波系数矩阵，k2为本地简正波本征值矩阵。在忽 略耦合矩阵的高阶项的前提下，利用

54、广义算子分解技术，忽略后向散射对前向散 射的影响,只讨论前向散射，则(3.26)近似满足：(3. 27)-=-aui(k2yaax其中玄严以血j u=uvu2uj, m为简正波号数。eq (3. 27)可用分裂步抛物方程法7 进行求解。(327)可以近似简化为du=du-ipuiku(3. 28)式中必=-心"“二伽gg,“2“)，k=diag(krk2“jc"。进一步得到:ox(3- 29)其中石=叱"瓦，二几j""。在给定初始条件貝*歸(0),我们利用crank-nicolson 积分法求解(3.29)。当然，只要求得个水平位置的简正波水平

55、波数和垂直分布函数，就可以利用 简正波绝热近似得到声压的传播数据及传播损失.远场绝热简正波近似的表达式 为：工(z 八 x)%(z,x)tnj jk.(x)dx(330)无论是探讨的新方法，还是利用绝热简正波方法(叫(x) = 0”(z,x),只要 求得声压后，就可以利用下面的表达式求得传播损失：tl(x9 z) -20 log厉工陷(x)%(z,x)(331)或者(332)其中(3.31)计算的是相干传播损失，而(3.32)计算的是非相干传播损失。3.2小结本章从简正波理论出发，以初始水平位賈作为参考波导，初始位置的水平波 数作为参考波数，初始位賈的简正波本征函数作为基把各水平位豊的本征函数

56、作 线性展开（展开系数构成变换矩阵）我们可以得到水平波数和变换矩阵的代数方 程.再利用矩阵分解技术求得各水平位瞥的本征波数和本征函数。然后利用抛物 近似方法得到各号简正波的系数。本章旨在探讨一种声场计算方法.因此只对简 单情况进行了理论推导，分别得到了二维点源和三维轴对称时点源的声场计算表 达式.这种方法的优点主要是减少了耦合简正波计算中各点的局地本征函数和波 数的计算量，将差分问题化作了求解低维矩阵问题。4数值方法与算例众所周知，如果用解析方法来计算复杂海洋波导中的声传播问题，只能是把 问题最大限度的简化，这样不能全面的反映问题的真实情况，导致结果的局限性 和不精确性。要使计算结果更符合实际情况，数值求解技术是有效的途径，目劇, 也只有数值方法才允许我们考虑声学问题的复杂情况。随着计算机运算速度的飞 速提高及数值计算技术的进步，目前有众多的基于不同理论基础和数值方法的声 场计算数值模型，这些声场计算模型