重庆市2019年高考理科数学试题及答案

1、2aa b33重庆市 2019 年高考理科数学试题及答案（满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。）1设集合 A=x|x 5x+6>0，B=x|x1<0，则 AB=A(，1) B(2，1) C(3，1) D(3，+)2设 z=3+2i，则在复平面内 z对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3A3 B2 C2 D342019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个

2、关键技术问题是地面与探测器的通讯联 系为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日 L 点的轨2道运行 L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上设地球质量为 M ，月球质量为 M ，地月 2 距离为 R ， L 点到月球的距离为2r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M M M 1 + 2 =( R +r ) 1( R +r ) 2 r 2 R 3.设a =rR， 由 于 的 值 很 小 ， 因 此 在 近 似 计 算 中3a3+3a4 +a5 (1+a)2»3a3，则 r 的近似值为AMM2 R1BM2 R2M1C33M2 RM1D3M2 R2

3、 M15演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉 1 个最高分、1 个最低分，得到 7 个有效评分7 个有效评分与 9 个原始评分相比，不变的数 字特征是A中位数B平均数C方差D极差6若 a>b，则Aln(a b)>0 B3 <37设 ， 为两个平面，则 的充要条件是Ca1b >0 Da>b22A 内有无数条直线与 平行C， 平行于同一条直线B 内有两条相交直线与 平行 D， 垂直于同一平面8若抛物线 y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x3 p+yp=1的一个焦点，则 p=A2 B3 C 4 D89下列函数

4、中，以p2为周期且在区间(p4，p2)单调递增的是Af(x)=cos2xBf(x)=sin2xCf(x)=cosxDf(x)=sinx10已知 (0，p2)，2sin2=cos2+1，则 sin=A15B55C33D25511设 F 为双曲线 C：x 2 y 2- =1(a >0, b >0) a 2 b2的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆x 2 +y 2 =a 2交于 P，Q 两点若 PQ =OF ，则 C 的离心率为A 2B 3C2 D 512设函数f ( x )的定义域为 R ，满足f (x +1) =2 f (x )，且当 x Î(0,1 时，

5、f (x) =x (x -1)若对任意x Î( -¥,m，都有f ( x ) ³-89，则 m 的取值范围是Aæçè-¥,94ùúûBæçè-¥,73ùúûCæçè-¥,52ùúûæD çè-¥,83ùúû二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）13我国高铁发展迅速，

6、技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车所有 车次的平均正点率的估计值为_14已知f ( x )是奇函数，且当 x <0 时， f ( x ) =-eax.若f (ln 2) =8，则 a =_15 ABC的内角A, B, C的对边分别为a , b, c.若b =6, a =2c , B =，则3ABC的面积为_16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）

7、半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图 2 是一个棱数为 48 的半2正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为 1则该半正多面 体共有_个面，其棱长为_（本题第一空 2 分，第二空 3 分）三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个 试题考生都必须作答第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题（共 60 分）17（本小题共 12 分）如图，长方体 ABCDA B C D 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA 上，BEEC 1 1 1 1 1 1（1

8、）证明：BE平面 EB C ；1 1（2）若 AE=A E，求二面角 BECC 的正弦值1 118（本小题共 12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束.（1） 求 P（X=2）；（2） 求事件“X=4 且甲获胜”的概率.19（本小题共 12 分）3ra已知数列a 和b 满足 a =1，b =0， n n 1 14

9、a =3a -b +4 ， 4b =3b -a -4n +1 n n n +1 n n.（1）证明：a +b 是等比数列，a b 是等差数列；n n n n（2）求a 和b 的通项公式.n n20（本小题共 12 分）已知函数f (x)=lnx-x +1x -1.（1）讨论 f(x)的单调性，并证明 f(x)有且仅有两个零点；（2）设 x 是 f(x)的一个零点，证明曲线 y=lnx 在点 A(x ，lnx )处的切线也是曲线 0 0 0y =ex的切线.21（本小题共 12 分）已知点 A(2,0)，B(2,0)，动点 M(x,y)满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为12.记 M 的轨迹为

10、曲线 C.（1） 求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线；（2） 过坐标原点的直线交 C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限，PEx 轴，垂足为 E，连结 QE 并延长交 C 于点 G.（i）证明： PQG 是直角三角形；（ii）求PQG面积的最大值.（二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。）22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点M (r , q )( r >0) 在曲线 C : 0 0 0r=4sinq上，直线 l 过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为 P.（1）当q0=p3时，求 及

11、l 0的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程. 23选修 45：不等式选讲（10 分）已知f ( x) =|x -a | x +| x -2 | ( x -a ).（1）当 a =1 时，求不等式f ( x ) <0的解集；（2）若x Î( -¥,1)时，f ( x) <0，求 的取值范围.4x -y +z =0,参考答案一、选择题：1.A 2C 3C 4D 5A 6C 7B 8D 9A 10B 11A 12B 二、填空题130.98三、解答题：143 156 31626； 2 -117解：（1）由已知得

12、，B C 平面 ABB A ， BE Ì 平面 ABB A 1 1 1 1 1 1，故B C BE1 1又BE EC1，所以 BE 平面EB C1 1（2）由（1）知ÐBEB =90°1由题设知 ABE Rt A B E ，所以 ÐAEB =45°1 1，故 AE =AB ， AA =2 AB1以 D为坐标原点， DA 的方向为x轴正方向， | DA | 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），C CC =(0,0,2)1（0，1，2），E（1，0，1），CB =(1,0,0) 1，CE =(1,-

13、1,1)，设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则 ìïCB×n=0, ìx =0,í 即 íïîCE×n=0, î512n nn nnn nn n所以可取n=(0, -1, -1).设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则ìïCC×m=0, íïîCE×m=0,ì即 íî2z =0,x -y +z =0.所以可取m=（1，1，0）于是cos <n, m >=n ×

14、m 1=- | n | m | 2所以，二面角B -EC -C1的正弦值为3218解：（1）X=2就是1010平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者 均由乙得分因此P（X=2）=0.5×0.4+（10.5）×（10.4）=0.5（2）X=4且甲获胜，就是1010平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况 为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5×（10.4）+（10.5）×0.4×0.5×0.4=0.119解：（1）由题设得4( a +b ) =2( a +b ) n +1

15、 n +1 n n，即an +1+bn +11= ( a +b ) n n又因为a +b =l，所以1 1a +bn n是首项为1，公比为12的等比数列由题设得4( a -b ) =4( a -b ) +8 n +1 n +1 n n，即a -b =a -b +2 n +1 n +1 n n又因为a b =l，所以1 1a -bn n是首项为1，公差为2的等差数列（2）由（1）知，a +b =n n12 n -1，a -b =2 n -1 n n所以a =n1 1 1 (a +b ) +( a -b ) = +n -2 2 n 2，1 1 1 b = (a +b ) -(a -b ) = -n

16、 +2 2 n 220解：（1）f（x）的定义域为（0，1） （1，+）610x000- 0 -x0x0xï因为f ' ( x ) =1 2+ >0 ，所以 f ( x ) x ( x -1)2在（0，1），（1，+）单调递增因为 f（e）=1 -e +1e -1<0 ， f (e 2 ) =2 -ee22+1 e 2 -3 = >0-1 e 2 -1，所以 f（x）在（1，+）有唯一零点 x ，1即 f（x ）=0又 10 <1x11 x +1 <1 ， f ( ) =-ln x + 1x x -11 1=-f ( x ) =0 1，1故 f（

17、x）在（0，1）有唯一零点 x1综上，f（x）有且仅有两个零点（2）因为1x0=e-ln x1，故点 B（lnx ， ）在曲线 y=e 上x0由题设知f ( x ) =0 0，即x +1ln x = 0x -10，故直线 AB 的斜率k =1 1 x +1-ln x - 0x x x -1 1 0 = 0 0 =-ln x -x x +1 x 0 0 0x -10曲线 y=e 在点1 B ( -ln x , )x01处切线的斜率是 ，x0曲线y =ln x 在点 A( x ,ln x )0 01处切线的斜率也是 ，x0所以曲线y =ln x 在点 A( x ,ln x )0 0处的切线也是曲线

18、 y=e 的切线21解：（1）由题设得y y 1× =- x +2 x -2 2，化简得x 2 y 2+4 2=1(| x |¹2)，所以 C 为中心在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 y =kx ( k >0)ìy =kxï由 íx2 y 2 +î4 2=1得x =±21 +2 k27ïï1=-0æç÷记u =21 +2 k2，则 P (u , uk ), Q ( -u, -uk ), E (u ,0)于

19、是直线 QG的斜率为k k，方程为 y = ( x -u ) 2 2ì ky = ( x -u ), ï 2由 í 得x 2 y 2+ =1ïî4 2(2 +k 2 ) x 2 -2uk 2 x +k 2u 2 -8 =0设G ( x , y ) ，则 -u 和 G GxG是方程的解，故x =Gu(3k 2 +2) 2 +k 2，由此得y =Guk 32 +k2从而直线 PG 的斜率为uk 3-uk2 +k 2u (3k 2 +2) k-u2 +k 2所以 PQ PG，即 PQG是直角三角形（ii）由（i）得| PQ |=2u 1 +k2，|

20、PG |=2uk k 2 +1 2 +k 2，所以PQG 的面积1 8k (1+k 2 ) S = | PQPG |=2 (1+2 k 2 )(2 +k 2 )=18( +k )k1 1 +2( +k )k2设 t=k+1k，则由 k>0 得 t2，当且仅当 k=1 时取等号因为S =8t1 +2t216在2，+）单调递减，所以当 t=2，即 k=1 时，S 取得最大值，最大值为 9因此，PQG 面积的最大值为16922解：（1）因为M(r,0q0)在C上，当q0=p p时， r =4sin =2 3 3 3由已知得| OP |=|OA | cosp3=2设 Q ( r,q)为l上除P的