高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：9.2排列与组合word版含答案(精编版)

1、第二节排列与组合排列与组合(1) 理解排列、组合的概念(2) 能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式(3) 能解决简单的实际问题知识点一排列与排列数1. 排列从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素， 按照一定的顺序排成一列，叫作从 n 个不同元素中任意取出m 个元素的一个排列2. 排列数n从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有不同排列的个数，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作a m.3. 排列数公式及性质(1)排列数公式am n(n 1)(n 2)(nm1) n！* 且 m n)n(2)性质n a n n！； 0！ 1.n m ！ (m， nnn易误提醒(1

2、)计算 a m时易错算为n(n 1)( n 2)(n m)(2) 易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数 自测练习 1. a、b、c、d、e 五人并排站成一排，如果b 必须站在 a 的右边 (a、b 可以不相邻 )， 那么不同的排法共有()a 24 种b 60 种c90 种d 120 种55解析： 可先排 c、d、 e 三人，共a3种排法，剩余a， b 两人只有一种排法，由分步乘法计数原理满足条件的排法共a 3 60(种 )答案： b3222. 方程 3a x 2a x 1 6a x的解为 解析 ：由排列数公式可知3x(x 1)(x 2

3、) 2(x 1)x 6x(x 1)， x 3 且 x n* ， 3(x 1)( x 2) 2(x 1) 6(x 1)，(舍去 )，即 3x2 17x10 0，解得 x5 或23 x 5.答案： 5知识点二组合与组合数1. 组合从 n 个不同元素中任取m(m n) 个元素为一组，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2. 组合数n .从 n 个不同元素中取出m(m n)个元素的所有不同组合的个数，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作cm3. 组合数公式及性质(1)组合数公式ammnacnmmn n 1n m 1 m！n！ m！ n m ！.(2)性质n c0 1. cm

4、 cn mnn. cm cm1 cmnnn 1.易误提醒易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关必备方法排列问题与组合问题的识别方法：识别方法若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排排列列问题与选取元素顺序有关若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组组合合问题与选取元素顺序无关 自测练习 nn3. 若 a 3 6c4，则 n 的值为 解析： 因为 a3 6c4 ，所以n！ 6×n！，所以 n 3 4，所以 n 7.nn答案： 7n 3 ！n 4 ！ × 4！4. 现有 16 张不同的

5、卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4 张从中任取3 张，要求这 3 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1 张，不同取法的种数为 解析： 第一类，含有1 张红色卡片，不同的取法c12 264 种4c12124第二类，不含有红色卡片，不同的取法c3 3c3 22012 208 种由分类加法计数原理知，不同的取法共有264 208472 种 答案： 472考点一排列问题 |1室内体育课上王老师为了丰富课堂内容，调动同学们的积极性，他把第四排的8 名同学请出座位并且编号为1,2,3,4,5,6,7,8. 通过观察这8 名同学的身体特征，王老师决定，按照 1,2 号相邻， 3,4 号相邻， 5,

6、6 号相邻，而7 号与 8 号不相邻的要求站成一排做一种游戏， 则有 种排法 (用数字作答 )34解析： 把编号相邻的3 组同学每两名同学捆成一捆，这 3 捆之间有a 3 6(种)排序方法， 并且形成4 个空当， 再将 7 号与 8 号插进空当中， 有 a 2 12( 种)插法， 而捆好的3 捆中每相2邻的两名同学都有a 2 2(种)排法所以不同的排法种数为23× 6× 12 576.答案： 57626 名同学排成1 排照相， 要求同学甲既不站在最左边又不站在最右边，共有 种不同站法解析： 法一： ( 位置分析法 )先从其他5 人中安排 2 人站在最左边和最右边，再安排余下

7、4 人的位置，分为两步：54第 1 步，从除甲外的5 人中选 2 人站在最左边和最右边，有a 2种站法； 第 2 步，余下4 人(含甲 )站在剩下的4 个位置上，有a 4种站法54由分步乘法计数原理可知，共有a 2a 4 480(种)不同的站法法二： (元素分析法 )先安排甲的位置(既不站在最左边又不站在最右边) ，再安排其他5人的位置，分为两步：4第 1 步，将甲排在除最左边、最右边外的任意位置上，有a1 种站法；5第 2 步，余下5 人站在剩下的5 个位置上，有a 5种站法由分步乘法计数原理可知，共有a 15 480(种)不同的站法4a 56法三： (间接法 )6 人无限制条件排队有a 6

8、种站法，甲站在最左边或最右边时6 人排队有2a 5种站法，因此符合条件的不同站法共有a 6 2a 5480(种)565答案： 4803(2016 ·甘肃模拟 )用 0 到 9 这 10 个数字， 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 9解析： 首先应考虑 “0”，当 0 排在个位时，有a 2 9×8 72( 个)，当 0 不排在个位时，有 a 1a 1 4× 8 32(个) 当不含 0 时， 有 a 12 4× 7×8 224(个)，由分类加法计数原理，484·a8得符合题意的偶数共有72 32 224328( 个) 答案： 328

9、求解排列问题的常用方法(1) 直接法：把符合条件的排列数直接列式计算(2) 特殊元素 (或位置 )优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置(3) 捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列(4) 插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中(5) 分排问题直排处理的方法(6) “ 小集团 ”排列问题中先集体后局部的处理方法(7) 定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列考点二组合问题 |(1) 某学校为了迎接市春季运动会，从 5 名男生和

10、4 名女生组成的田径运动队中选出 4 人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1 人入选的方法种数为()a 85b 86c91d 90(2) 在 30 瓶饮料中，有3 瓶已过了保质期从这30 瓶饮料中任取2 瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为 (结果用最简分数表示) 解析(1)法一： (直接法 )由题意，可分三类考虑：第 1 类，男生甲入选，女生乙不入选，则方法种数为c12 c21 c331；3c43c43第 2 类，男生甲不入选，女生乙入选，则方法种数为c12 c21 c334；4c34c34第 3 类，男生甲入选，女生乙入选，则方法种数为c2 c11 c2 21.34c3

11、4所以男生甲与女生乙至少有1 人入选的方法种数为31 34 21 86.9法二： (间接法 )从 5 名男生和4 名女生中任意选出4 人，男、女生都有的选法有c45474c4 c4 120(种)；男、女生都有， 且男生甲与女生乙都没有入选的方法有c4 c4 34(种)所以男生甲与女生乙至少有1 人入选的方法种数为120 34 86.c2(2)所取的 2 瓶都是不过保质期的饮料的概率为27117c2 ，则至少取到1 瓶已过保质期饮30145料的概率为1 11728 .145145答案(1)b(2) 28145组合问题的常见题型(1) “ 含” 与“不含 ” 的问题： “ 含”，则先将这些元素取出

12、，再由另外元素补足；“ 不含” ，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取(2) “ 至少 ”“ 最多 ” 的问题：解这类题必须十分重视“ 至少 ” 与“ 最多 ” 这两个关键词的含义， 谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理1. 现有 10 个优秀指标分配给6 个班级， 每个班至少一个，共有 种不同的分配方法？9解析： 从结果入手， 理解相同元素的分堆问题，设计“ 隔板法分堆 ” ，将一种分配方法和一个组合建立一一对应关系，实际问题化归为组合数求解该事件的实质为将10 个相同的元素分成6 堆，每一堆至少一个元素，利用“ 隔板法分堆 ”，即

13、在 10 个相同元素构成的9 个空中插入5 个隔板，其不同的分配方案有c5 126(种)答案： 126考点三分组分配问题 |按下列要求分配6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1) 分成三份， 1 份 1 本， 1 份 2 本， 1 份 3 本；(2) 甲、乙、丙三人中，一人得1 本，一人得2 本，一人得3 本； (3)平均分成三份，每份2 本；(4) 平均分配给甲、乙、丙三人，每人2 本；(5) 分成三份， 1 份 4 本，另外两份每份1 本；(6) 甲、乙、丙三人中，一人得4 本，另外两人每人得1 本；(7) 甲得 1 本，乙得1 本，丙得4 本 解(1)无序不均匀分组问题先选 1

14、本， 有 c1种选法； 再从余下的5 本中选 2 本， 有 c2种选法； 最后余下3 本全选，653有 c3种选法653故共有 c1c2 c3 60(种 )(2) 有序不均匀分组问题由于甲、 乙、丙是不同的三人，在第 (1) 题的基础上， 还应考虑再分配，共有 c12336c5c3a 3360(种)(3) 无序均匀分组问题642先分三步，则应是c2c2c2种方法，但是这里出现了重复不妨记六本书为a， b， c，642d， e， f，若第一步取了ab ，第二步取了cd，第三步取了ef，记该种分法为(ab， cd ， ef)，则 c2c2c2种分法中还有(ab ，ef， cd )，( cd ，ab

15、， ef)， (cd ，ef， ab)， (ef，cd ，ab)，(ef，ab，cd ) ，共有 a 3种情况，而这a 3 种情况仅是ab，cd ，ef 的顺序不同，因此33c2 c2c2只能作为一种分法，故分配方式有642 15( 种)a33(4) 有序均匀分组问题在(3)的基础上再分配给3 个人，c422共有分配方式6c4c2 ·a 3 c2c2c2 90(种)a336342411(5) 无序部分均匀分组问题共有(6) 有序部分均匀分组问题在(5)的基础上再分配给3 个人，c6c2c115( 种)a 22411a 23共有分配方式c6c2c12·a 3 90(种)(7)

16、 直接分配问题，甲选1 本有 c1种方法，乙从余下5 本中选 1 本有 c1种方法，余下4654654本留给两种c4种方法，共有c1·c1c4 30(种) 解决分组分配问题的策略n(1) 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以a n(n 为均分的组数)、避免重复计数(2) 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数(3) 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等， 所以不需要除以全排列数2

17、. (2016 ·内江模拟 )某科室派出4 名调研员到3 个学校，调研该校高三复习备考近况， 要求每个学校至少一名，则不同的分配方案种数为()a 144b 72c36d 48c2c1c12解析： 分两步完成：第一步将4 名调研员按2,1,1 分成三组，其分法有421；第二步a 2c21133将分好的三组分配到3 个学校，其分法有a 3种，所以满足条件的分配方案有种4c2 c1a22·a 3 36答案： c29.模型法巧解排列组合问题【典例】把 20 个相同的球全部装入编号分别为1,2,3 的三个盒子中， 要求每个盒子中的球数不小于其编号数，则共有 种不同的放法思路点拨 本题

18、可先向1,2,3 号三个盒子中分别装入0,1,2 个球，再将剩下的17 个球随意分成三份装入盒子中即可解析题目有限制条件，不能直接运用隔板法，但可转化为隔板问题，向1,2,3 号三个盒子中分别装入0,1,2 个球后，还剩余17 个球，然后再把这17 个球分成3 份，每份至少16一球，运用隔板法，共有c2120(种)不同的放法答案120方法点评 排列与组合的根本区别在于是“有序 ”还是 “无序 ”，对于将若干个相同小球 放入几个不同的盒子中这类问题可利用“隔板法 ”求解， 实质上是最终转化为组合问题根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比构建模型是求解排列、组合问题的关键跟踪练习 (201

19、5 浙·江金华质检)4 个不同的小球放入编号为1,2,3,4 的 4 个盒中，则恰有 1 个空盒的放法共有 种 (用数字作答 )解析 ：把 4 个球分成3 组，每组至少1 个，即分成小球个数分别为2,1,1 的 3 组，有211c c c421a22c211种最后将3 组球放入4 个盒中的3 个，分配方法有a 3种，因此，放法共有4c2c1×a 3a4242144 种答案： 144a 组考点能力演练1(2016 ·大连模拟 )某校开设a 类选修课2 门，b 类选修课3 门，一位同学从中选3 门若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有()a 3 种b 6 种c

20、9 种d 18 种5解析 ：由题知有2 门 a 类选修课， 3 门 b 类选修课，从里边选出3 门的选法有c3 10 种两类课程都有的对立事件是选了3 门 b 类选修课，这种情况只有1 种满足题意的选法有 10 1 9 种所以选c.答案： c2. 某校从8 名教师中选派4 名教师同时去4 个边远地区支教(每地 1 人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案种数是()a 150b 300c600d 90054解析 ：若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的5 名教师中选2 名，有 c2× a 4 240 种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可不去，从6 名教师中选4 名，

21、共有c4× a 4 360 种64方法因此共有600 种不同的选派方案 答案： c3. 如果小明在某一周的第一天和第七天分别吃了3 个水果，且从这周的第二天开始， 每天所吃水果的个数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有() a 50 种b 51 种c140 种d 141 种解析 ：因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以中间 “ 多一个 ” 或“少一个 ” 的天数必须相同，都是0,1,2,3，共 4 种情况，所以共有c0 c11 c22 c33 141 种，故选d.答案： d66c56c46c34. 某

22、班班会准备从甲、乙等7 名学生中选派4 名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()a 360b 520c600d 720解析： 依题意进行分类计数：第一类，甲、乙两名同学中恰有一人参加，满足题意的不同发言顺序有c134 480 种，第二类，甲、乙两名同学均参加，满足题意的不同发言顺2 ·c5·a4序有 c2222 120 种因此，满足题意的不同发言顺序有480 120600 种，故选c.2·c5 ·a 2·a3答案： c5. (2016 ·昆明调研 )航空母舰

23、“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2 艘攻击型核潜艇一前一后，3 艘驱逐舰和3 艘护卫舰分列左右，每侧 3 艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为()a 72b 324c648d 1 296解析 ：核潜艇排列数为a 2， 6 艘舰艇任意排列的排列数为a 6，同侧均是同种舰艇的排列数为 a 323× 2，则舰艇分配方案的方法数为a 26 a 363 × 2) 1 296.3a 3答案： d2(a 63a36. 5 名同学站成一排，其中甲同学不站排头，则不同的排法种数是答) ( 用数字作解析： 依题意，满足题意的不同的排法种数是c14 96.4·a

24、 4答案： 9674 位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：选甲题答对得100 分，答错得 100 分，选乙题答对得90 分，答错得 90 分，若 4 位同学的总分为0 分，则这 4 位同学不同得分情况的种数是 解析 ：由于 4 位同学的总分为0 分，故 4 位同学选甲、乙题的人数有且只有三种情况：甲： 4 人，乙： 0 人；甲： 2 人，乙： 2 人；甲： 0 人，乙： 4 人对于，须2 人答对， 2 人答错，共有c2 6 种情况；对于，有c2c1c1 24 种情况；对于，与相同，4422有 6 种情况，故共有6 246 36 种不同的情况 答案： 368. (2016 ·济南模

25、拟 )航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,2,3,4,5 的六项实验，向全世界人民普及太空知识，其中 0 号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号，则实验顺序的编排方法种数为 ( 用数字作答 )解析： 本题考查排列组合，难度中等优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解由于 0 号实验不能放在第一项，所以第一项实验有5 种选择 最后两项实验的顺序确定，a 25a 5所以共有5 300 种不同的编排方法2答案： 3009. 将 7 个相同的小球放入4 个不同的盒子中(1) 不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？6解： (1)将 7

26、 个相同的小球排成一排，在中间形成的6 个空当中插入无区别的3 个“ 隔板” 将球分成 4 份，一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有c3 20 种不同的放入方式(2) 每种放入方式对应于将7 个相同的小球与3 个相同的 “ 隔板” 进行一次排列，即从1010 个位置中选3 个位置安排隔板，故共有c3 120 种放入方式10. 从 1 到 9 的 9 个数字中取3 个偶数 4 个奇数，试问：(1) 能组成多少个没有重复数字的七位数？(2) 上述七位数中，3 个偶数排在一起的有几个？(3)(1) 中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？4解： (1)分三步完成：第一步，在4 个偶数中取3 个，有 c3种情况；第二步，在5 个奇数中取 4 个，有c4种情况；第三步，3 个偶数， 4 个奇数进行排列，有a 7种情况所以符57457合题意的七位数有c3c4a 7100 800 个4553(2) 上述七位数中，3 个偶数排在一起的有c3c4 a 5a 3 14 400 个(3) 上述七位数中， 3 个偶数排在一起， 4 个奇数也排在一起的有c3c4a 3 a4a 2 5 760 个b 组高考题型专练453421 (2014 ·高考四川卷 )六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能