2019长春高三一模数学理科

1、$长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.1.复数( -1+3i )(3 -i ) =A.10B.-10C.10iD.-10i2.已知集合M =0,1，则满足条件M U N =M的集合N的个数为A.1B.2C.3D.43.函数f ( x) =sin( x +p3) +sin x的最大值为，A.3B.2C.2 3D.44.下列函数中是偶函数，且在区间(0, +¥)上是减函数的是A.y =|x | +1B.y =x-2C.y =1x-xD.y =2| x|5.已知

2、平面向量 a 、 b ，满足 | a |=|b |=1 ，若 (2 a -b) ×b=0 ，则向量 a 、 b 的夹角为A.30 °B.45 °C.60 °D.120°6.已知等差数列a n中，Sn为其前n项的和，S =54，S =209，则a =7A.-3B.-5C.3D.57.在正方体ABCD -A B C D 中，直线 A C 与平面 ABC D1 1 1 1 1 1 1 1所成角的正弦值为A.1B.3 2C.2 2D.128.要将甲、乙、丙、丁 4 名同学分到 A 、 B 、 C 三个班级中，要求每个班级至少分到一人， 则甲被分到 A

3、班的分法种数为，A.6B.12C.24D.369.某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单 位：厘米），左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 190185180175170165160155150145y =1.16x -30.75，以下结论中不正确的为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 身 高 臂 展A. 15 名志愿者身高的极差小于臂展的极差B. 15 名志愿者身高和臂展成正相关关系，C. 可估计身高为 190 厘米的人臂展大约为 189.65 厘米

4、，D. 身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米，10.我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人 三分取一，后人四分取一，余米一头五升（注：一斗为十升）.问,米几何？”如图是解决该 问题的程序框图,执行该程序框图,若输出的 S =2.5 (单位:升)，则输入的 k 值为，A.4.5 B. 6 C. 7.5D.10开始k输入n =1, S =kn <4?是 n =n +1否输出S结束S =S -Sn11.已知双曲线x 2 y 2- =1(a >0, b >0) a 2 b 2的两个顶点分别为A、B，点P为双曲线上除A、B外任意一点，

5、且点P与点A、B连线的斜率分别为k 、 k1 2，若k k =31 2，则双曲线的渐进线方程为，A.y =±xB.y =± 2 xC.y =± 3 xD.y =±2x12.已知函数f ( x)是定义在 R 上的函数，且满足f¢(x) + f ( x) >0 ，其中 f¢(x) 为 f ( x )的导数，设a = f (0)，b =2 f (ln 2)，c =ef (1)，则a、b、c的大小关系是A.c >b >a B. a >b >cC.c >a >bD.b >c >a二、填空题：

6、本题共 4 小题，每小题 5 分.13.log 4 +log 2 =2 4.14. 若椭圆C的方程为x 2 y 2+ =13 4，则其离心率为 .15.各项均为正数的等比数列a n的前n项和为Sn，已知S =306，S =709,则S =3.16.已知所有棱长都相等的三棱锥的各个顶点同在一个半径为3的球面上，则该三棱锥的表面积为 .三、解答题：共 70 份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答，第 2223 选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分17.(本小题满分 12 分)在DABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，

7、已知b =a cos C +12c.(1)求角A；(2)若uuur uuurAB ×AC =3 ,求 a 的最小值.18. (本小题满分 12 分)在四棱锥 P -ABCD 中,平面 PAD 平面 ABCD ， PA =PD =2 ,四边形 ABCD 是边 长为 2 的菱形， ÐA =60°,E 是 AD 的中点.(1)求证: BE 平面 PAD ；(2)求平面PDEPAB与平面PBC所成的锐二面角的余弦值.CA19. (本小题满分 12 分)B平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线C的方程为y 2 =2 px ( p >0).(1)过抛物线 C 的焦点

8、 F 且与 x 轴垂直的直线交曲线 C 于 A 、 B 两点，经过曲线 C 上任意一点 Q 作 x 轴的垂线，垂足为 H .求证: | QH |2=| AB | ×|OH |；(2)过点 D (2,2) 的直线与抛物线 C 交于 M 、N 两点且 OM ON ，OD MN .求抛物线C的方程.20. (本小题满分 12 分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元， 未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求 量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温

9、位于区间20,25) ，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 10,15) 15,20) 20, 25) 25,30) 30,35) 35, 40)天数2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.（1） 求六月份这种酸奶一天的需求量 X (单位:瓶)的分布列；（2） 设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位:元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时？Y的数学期望达到最大值？21. (本小题满分 12 分)已知函数

10、f ( x) =ex-12bx2+ax ( a , b ÎR ).（1）当a >-1且b =1时，试判断函数f ( x)的单调性；（2）若a <1 -e且b =1，求证：函数f ( x )在1,+¥)上的最小值小于12；（3）若f ( x ) 在 R 单调函数，求 ab 的最小值.（二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题 计分.22. (本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程选讲ì已知直线 l 的参数方程为 íîx =1 +t cos y =t sin aa（ t 为

11、参数，0a<p），以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为r2+1 =2 rcosq+4 rsinq.（1） 求圆 C 的直角坐标方程；（2） 若直线 l 与圆 C 相交于 A 、 B 两点，且 | AB |=2 3 ，求 a 的值. 23. (本小题满分 10 分) 选修 4-5 不等式选讲已知 a >0 ， b >0 ， a +b =2.(1)求证：a2 +b 22；(2)求证：2 1 2+ 1 +a b 2.长春市普通高中 2019 届高三质量监测（一） 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，

12、共 60 分）1. C【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】C( -1+3i )(3 -i ) =10i.故选 C.2. D【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】DM U N =M有N Í M.故选 D.3. A【命题意图】本题考查三角函数的相关知识.【试题解析】A 由题意可知函数最大值为 3 . 故选 A. 4. B【命题意图】本题主要考查函数的性质.【试题解析】 B 由函数是偶函数，排除 C ，在 选 B.5. C【命题意图】本题考查平面向量的相关知识.(0, +¥)上是减函数，排除 A，D.故【试题解析】C 由题意知2a ×b-b2=0,cos &

13、lt;a , b >=12.故选 C.6. C【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】CS -S =5a 9 4 7.故选 C7. D【命题意图】本题考查线面成角. 【试题解析】D 由题意知成角为p6.故选 D.8. B 【命题意图】本题主要考查计数原理的相关知识.【试题解析】B 由题意可分两类，第一类，甲与另一人一同分到 A，有 6 种；第二类， 甲单独在 A，有 6 种，共 12 种.故选 B.9. D 【命题意图】本题主要考查统计相关知识.【试题解析】D 由统计学常识可知，D 选项正确.故选 D.10. D【命题意图】本题主要考查中华传统文化.【试题解析】D 由题可

14、知k =10.故选 D.11. C【命题意图】本题考查双曲线的相关知识.【试题解析】C 由题意可知3 =x2y 2 x 2 y 2, - =1 -a 2 a 2 3a 2，从而渐近线方程为y =± 3 x.故选 C.12. A【命题意图】本题是考查导数在研究函数单调性上的应用.【试题解析】A 令g ( x ) =e x f ( x), g¢(x) =e x ( f ( x) + f¢(x) >0 ，所以 g ( x )在定义域内单调递增，从而g (0) <g (ln 2) <g (1)，得 f (0) <2 f (ln 2) <ef

15、(1)，即 a <b <c. 故选 A.二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.52【命题意图】本题考查对数运算.5【试题解析】由题意可知值为 .214.12【命题意图】本题考查椭圆的相关知识.【试题解析】a =2, b = 3, c =1, e =12.15. 10 【命题意图】本题考查等比数列的相关知识.【试题解析】由题意可得( S -S ) 6 32=S ( S -S ) ，得 S =10 3 9 6 3.ur r22( )( )16.8 3【命题意图】本题考查球的相关知识.【试题解析】由题意可知其S =4 ´1 3´(2 2)

16、 2 ´ =8 3 2 2.三、解答题17.(本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查解三角形的基本方法.【试题解析】解：（1）由b =a cos C +121c 可得 sin B =sin A cos C + sin C2，所以1 p cos A = , A =2 3.（2）由（1）及AB ×AC =3 得 bc =6 ，所以 a2=b2+c2-2bc cos A =b2+c2-6³2bc -6 =6，当且仅当 b=c 时取等号，所以 a 的最小值为 6 .18.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识. 本题考查学生的

17、空间 想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】解：（1）连接 BD ，由 PA =PD =2， E是 AD 的中点，得 PE AD ，由平面 PAD 平面 ABCD，可得 PE 平面 ABCD， PE BE，又由于四边形ABCD是边长为 2 的菱形， ÐA =60o，所以 BE AD，从而 BE 平面 PAD.（ 2 ）以 E 为原点， EA, EB , EP 为 x, y, z 轴，建立空间直角坐标系， P (0,0, 3) ，uuur uuurA(1,0,0), B (0, 3,0), C ( -2, 3,0) ， 有 PA =(1,0, - 3), PB =(0, 3

18、, - 3) ，uuur ruuur r ìïPA×n=0PC =( -2, 3, - 3) ， 令 平 面 PAB 的 法 向 量 为 n ， 由 íuuurr ， 可 得 一 个ïîPB×n=0r urn =( 3,1,1) ，同理可得平面 PBC 的一个法向量为 m =(0,1,1) ，所以平面 PAB 与平ur r| m ×n| 10面 PBC 所成锐二面角的余弦值为 = .| m | n | 519.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题考查抛物线的相关知识.【试题解析】答案：（1）设Q ( x ,

19、y ), H ( x ,0),| QH |=| y |,| OH |=x , 0 0 0 0 0| AB |=2 p ，从而 | QH | =y =2 px =| AB | OH | .0 0（2）由条件可知， MN : y =-x +4 ，联立直线 MN 和抛物线 C ，ì有 íîy =-x+4 y 2 =2 px，有y2+2 py -8 p =0 ，设 M ( x , y ), N ( x , y ) ，由 OM ON 有1 1 2 2x x +y y =0 ，有 (4 -y )(4 -y ) +y y =0 1 2 1 2 1 2 1 2，由韦达定理可求得

20、p =2 ，所以抛物线C : y2=4 x.20.(本小题满分 12 分)【命题意图】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望.【试题解析】（1）由题意知， X 所有可能取值为 200,300,500，由表格数据知P (X=200 )=2 +16 36 25 +7 +4 =0.2 ， P X =300 = =0.4 ， P X =500 =90 90 90=0.4 .因此 X 的分布列为X 200 300 500P 0.2 0.4 0.4（ 2 ）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为 500 ，至少为 200 ，因此只需考虑)11111 1( )111200 n 500 .当 300 n 50

21、0 时，若最高气温不低于25，则 Y =6n -4n =2n ；若最高气温位于区间 20,25 )，则Y =6 ´300 +2 (n-300)-4n=1200 -2n；若最高气温低于20，则Y =6 ´200 +2 (n-200 )-4n=800 -2n；因此EY =2n ´0.4 +(1200-2n )´0.4+(800-2n)´0.2=640-0.4n.当 200 n <300 时，若最高气温不低于20，则 Y =6n -4n =2n ；若最高气温低于20，则 Y =6 ´200 +2 (n-200 )-4n=800 -2n

22、；因此EY =2n ´(0.4+0.4 )+(800-2n)´0.2=160+1.2n.所以 n=300 时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520 元.21.(本小题满分 12 分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法， 考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：（1）由题可得 f¢(x)=ex-x +a ，设 g (x)=f¢(x)=ex-x+a，则g¢(x)=ex-1，所以当 x >0 时 g¢(x)>0，f¢(x)在(0,+¥)上单调递增，当 x &l

23、t;0 时 g¢(x)<0 ， f¢(x)在(-¥,0)上单调递减，所以 f¢(x)³f¢(0)=1+a，因为 a >-1，所以 1 +a >0 ，即 f¢(x)>0，所以函数 f (x)在R上单调递増.（4 分）（2）由（1）知 f ¢(x)在1,+¥)上单调递増，因为a<1-e，所以 f ¢(1)=e-1+a<0，所以存在 t Î(1,+¥)，使得 f¢(t)=0 ，即 et-t +a =0 ，即 a =t -et，所以函数

24、f (x)在1,t)上单调递减，在(t,+¥)上单调递増，所以当 x Î 1, +¥ 时， f(x)min= f(t)=et- t 2 +at =e t - t 2 +t (t-et)=et(1-t)+t 2 2 22 .令h (x)=ex(1-x)+x2,x>1，则 h2¢(x)=x(1 -ex) <0 恒成立，所以函数 h (x)在(1,+¥)上单调递减，所以h(x)<e(1-1)+´12=，2 21 1所以 et 1 -t + t 2 < ，即当 x Î2 21,+¥)时f (x)< ， min 2故函数 f (x)在1,+¥)上的最小值小于.2（8 分）（3） f (x)=ex-bx 2 +ax ，2f¢(x)=ex-bx+a由f ( x) 为 R 上的单调函数，可知f ( x)一定为单调增函数因此f¢(x)=ex-bx +a 0 ，令 g ( x ) = f¢(x)=ex-bx +a ， g¢(x) =ex-b当b =0时，ab =0；当b