2013硕士研究生入学考试数学(一)真题及解析

1、2013 硕士研究生入学考试数学一真题及解析1.已知极限0arctanlimkxxxcx，其中 k，c 为常数，且0c，则（）a. 12,2kcb. 12,2kcc. 13,3kcd. 13,3kc答案（ d）解析：用洛必达法则2221121000011arctan1111limlimlimlim(1)kkkkxxxxxxxxxcxkxkxxkx因此112,kck，即13,3kc2.曲面2cos()0 xxyyzx在点(0,1, 1)处的切平面方程为（）a. 2xyzb. 0 xyzc. 23xyzd. 0 xyz答案（ a）解析：法向量(0,1,1)(,)(2sin()1,sin(), ),

2、|(1, 1,1)xyznfffxyxyxxyz yn切平面的方程是：1(0)1(1)1(1)0 xyz，即2xyz。3.设1( )2f xx，102( )sin(1,2,)nbf xn xdx n， 令1( )s i nnnsxbn x， 则 （）a .34b. 14c. 14d. 34答案（ c）解析：根据题意，将函数在 1,1展开成傅里叶级数（只含有正弦，不含余弦），因此将函数进行奇延拓：1|,(0,1)2( )1|,( 1,0)2xxf xxx，它的傅里叶级数为( )s x，它是以2 为周期的，则当( 1,1)x且( )f x在x处连续时，( )( )s xf x。91111()()(

3、 )()44444sssf。4.设221:1lxy，222:2lxy，223:22lxy，224:22lxy为四条逆时针方向的平面曲线，记33()(2)(1,2,3,4)63iilyxiydxxdy i，则1234ma x, , ,i i i ia. 1ib. 2ic. 3id 4i答案（ d）解析：由格林公式，22(1)2iidyixdxdy14dd,在4d内22102yx，因此14ii24242222222(1)(1)(1)222ddddyyyixdxdyxdxdyxdxdy在4d外22102yx，所以24ii32 cos2sin2222230,10,22121/ 2/ 223232200

4、00001(1)(12cossin)22111122cossin22 4cossin24241!111!22 442!2422!2xryrdryixdxdyrrrdrddr drdr drdd111242883cos22sin2222240,10,22121/2/ 2232322000000(1)(1cossin)2112cossin24cossin441!11!1324422!242!24442xryrdryixdxdyrrrdrddr drdr drdd34ii5.设 a,b,c 均为 n 阶矩阵，若ab=c，且 b 可逆，则（）a.矩阵 c 的行向量组与矩阵a 的行向量组等价b 矩阵 c

5、 的列向量组与矩阵a 的列向量组等价c 矩阵 c 的行向量组与矩阵b 的行向量组等价d 矩阵 c 的列向量组与矩阵b 的列向量组等价6.矩阵1111aabaa与20000000b相似的充分必要条件为（）a. 0,2abb. 0,ab为任意常数c. 2,0abd. 2,ab为任意常数7. 设123,xxx是 随 机 变 量 ， 且1(0,1)xn，22(0,2 )xn，23(5,3 )xn，122 (1,2,3)ippxi，则（）a. 123pppb. 213pppc. 322pppd132ppp8.设随机变量( )xt n,(1, )yfn，给定(00.5)aa，常数 c 满足p xca，则2

6、p yc( ) （9）设函数y=f(x) 由方程 y-x=ex(1-y)确定，则01lim()1nn fn。(10)已知 y1=e3x xe2x，y2=ex xe2x，y3= xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3 个解，则该方程的通解y=。（11）设224sin()sincostxtd ytytttdx为参数 ，则。（12）21ln(1)xdxx。（13）设 a=(aij)是 3 阶非零矩阵，a为 a 的行列式， aij为 aij的代数余子式.若 aij+aij=0(i，j=1,2,3 ） ，则 a。（14）设随机变量y 服从参数为1 的指数分布， a 为常数且大于零，则py a+1|

7、ya= 三解答题：（15） （本题满分10 分）计算dxxxf)(10，其中 f(x).)1ln(1dtttx解：使用分部积分法和换元积分法1010222ln(1)22( )|224ln(1)4ln(1)|4ln(1)4ln 244ln 242114ln 284ln 28(1)4ln 28(arctan )11xdxdf xdxdxx dxdxdxtdtxtdtdttttt111110000011100021100f(x)f(x)xxf( x) xxxxxtxxt110|4ln 282(16)( 本题 10 分) 设数列 an满足条件：0123,1(1)0(2).nnaaan nan，s（x）

8、是幂级数0.nnna x的和函数（1）证明：( )( )0;nsxs x（2）求( ).s x 的表达式(i) 证明：由题意得11nnnsxn a x2220112nnnnnnsxn na xnnax+2120,1,2,nnannansxs x即0sxs x(ii) 解：0sxs x为二阶常系数齐次线性微分方程，其特征方程为210,从而1，于是12xxs xc ec e，由0103,01sasa，得12121231,21cccccc所以2xxs xee（17） （本题满分10 分）求函数的极值yxexyyxf)3(),(3. 解答：先求驻点，令2331()031(1)03xyxxyyfxyxe

9、fyxe，解得112433xxyy或为了判断这两个驻点是否为极值点，求二阶导数232331(22)31(1)31(2)3xyxxxyxyxyyyfxxyxefxyxefyxe在点2( 1,)3处，555333222( 1,),( 1,),( 1,)333xxxyyyafebfecfe因为20,0aacb,所以2( 1,)3不是极值点。类似的，在点4(1,)3处，111333444(1,)3,(1,),(1,)333xxxyyyafebfecfe因为2230,20aacbe，所以4(1,)3是极小值点，极小值为1133441(1,)()333fee(18)( 本题满分10 分) 设奇函数 f(x

10、) 在1,1上具有二阶导数，且f(1)=1 ，证明：（i）存在.1)(1 ,0f），使得（）存在1,1( )1.ff（），使得（ ）19.(本题满分10 分 ) 设直线 l 过 a （1,0,0） ， b （0,1,1） 两点将 l 绕 z 轴旋转一周得到曲面，与平面0,2zz所围成的立体为。（1）求曲面的方程；（2）求的形心坐标。解：20002222002022202222220022111,1,11:111, ,11+22120,016102214233zzabxyzlmx y zlmxyzxyxyxzxyzzyzxyzzxyzdvzdvdvdzdxdyzzdz对应于上的点则由得 ：即：显

11、然222320022116142282337570,05zzzdvzdzdxdyzzz dzz重心坐标，20.（本题满分11 分）设101,101aabb， 当 a,b 为何值时， 存在矩阵c 使得 ac-ca=b, 并求所有矩阵c。第 20 题解：令1234xxcxx，则1213243412110 xxxaxxaxaacxxxx1212134343110 xxxxaxacaxxxxax2312413423xa xa xxa xa cc axxxxa x，则由accab得2312413423011xaxaxxaxxxxxaxb，此为4 元非齐次线性方程组，欲使c存在，此线性方程组必须有解，于是

12、01000100101111010101010010111101110101010010010aaaaaaaaaaababab101110100000010000aab所以，当1,0ab时，线性方程组有解，即存在c，使accab。又10111011000000000000a, 所以12112121111100100010cccxcccc21.（本题满分11 分）设 二 次 型221231 122331 12233(,)2()()f x xxa xa xa xb xb xb x， 记123aaa，123bbb。（1）证明二次型f 对应的矩阵为2tt；（2）若,正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22122yy。证明：（3）1111123212321232123233332112,2222(2)22=2(2tttttttttttttaxbxfx xxaa aaxx xxbb b bxaxbxxxxxxxfaaa故 的矩阵 a=为 的对应于的特征向量又2232212)=2=1223=02.ttttararrrrfyy为 的对应于的特征向量故 在正交变换下的标准型为22.（本题满分11