衡水中学高二(上)期末数学试卷(理科)

1、衡水中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在 每小题给出的四个选项中.有且只有一项是符合题目要求 的.1. （5 分）设命题 P: ? x R, x2+2>O.则P 为（）A.丨tB. -K 宀C.丨r D. ? x R, x2+2 02. （5分）等差数列an前n项和为Sn,公差d= - 2, &=21,则a1的值为（）A. 10 B. 9 C. 6 D. 53. （5 分）“丄”是“ 一”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件4. （5 分）已知向量 沖（2, 1, 4）, b= （1,

2、 0, 2）,且 与k - 互相垂直，则k的值是（）A. 1 B. C. ： D.55315. （5 分）在厶 ABC中，若 AB=二,BC=3, C=120° 贝U AC=（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. （ 5分）若双曲线二-=1的一条渐近线经过点（3, - 4）,a b则此双曲线的离心率为（）第1页（共22页）A.77. （5分）若a, b均为大于1的正数，且ab=100,贝U lga?Igb的最大值是（）A. OB. 1 C. 2 D.匚2& （5 分）已知数列 an : a1=1 ,：亠 - * “. I二和“：，贝U an= （ ）A. 2n+1

3、- 3 B. 2n - 1C. 2n+1 D. 2n+2 - 79. （5 分）若直线 2ax+by - 2=0 （a>0, b>0）平分圆 x2+y2-2x - 4y - 6=0,则 +的最小值是（）a bA. 2二 B.匚1C. 3+2 匚 D. 3- 2 匚KJ y010. （5分）设X, y满足约束条件m> ,则Z=X- 2y的取LX+y3值范围为（）B. - 3, 3 C. - 3, 3） D. - 2, 2A. （- 3, 3）A, B, C,若| BC =2| BF ,且| AFl =3,11. （5分）如图过拋物线 y2=2px （ p> 0）的焦点F的

4、直线依 次交拋物线及准线于点2 2y = xD. y =9x12. （5分）在锐角 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a,第2页（共22页）b, c,右-a=2,.：.厂广-:,则 b 的值为（）A.=B.C.D.匚二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. （ 5 分）若厶 ABC中，AC=為，A=45° C=75° 贝U BC=.14. （5分）已知数列an满足： I，且 a2+a4+a6=9,则的值为 .T15. （5分）设不等式（X-a） （x+a- 2）v 0的解集为N,若x N是Y=I二；的必要条件，则a的取值范围为 .2 216. （5

5、分）已知椭圆一 的左、右焦点分别为Fi,a bF2，过F1且与X轴垂直的直线交椭圆于 A, B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为c,若.=2.,贝y椭圆的离心率为.三、解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （10分）已知正项数列an的前n项的和为$,且满足：6J，（n N+）（1）求 a1, a2, a3 的值（2）求数列an的通项公式.18. （12分）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b,第3页（共22 M）c, 且 bcosC= (2a- C) cosB.(1) 求角B的值；(2) 若a, b, C成等差数列，且 b=3

6、，求ABBlAI面积.19. (12分)已知递增的等比数列an满足：a2?a3=8, a1+a4=9(1) 求数列an的通项公式；(2) 设数列1：，求数列 g的前n项的和Tn .20. (12分)已知点A(-, 0), B皿0), P是平面内 的一个动点，直线 PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是-2(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 设直线I: y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段 MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线I的方程.21. (12分)如图，在以 A, B, G D, E, F为顶点的五面体中，面 ABEF为正方形，AF=2FD, AFD=90 ,且二面角 D-A

7、F- E与二面角 C- BE- F都是60°(1) 证明平面 ABEFL平面EFDG(2) 证明：CD/ EF(3) 求二面角E- BC- A的余弦值.22. (12分)已知 0是坐标系的原点，F是抛物线C: 2=4y 第4页(共22页)的焦点，过点F的直线交抛物线于 A, B两点，弦AB的中点 为M , OAB的重心为 G.(I)求动点G的轨迹方程；(H)设(I )中的轨迹与 y轴的交点为D，当直线AB与X 轴相交时，令交点为 E,求四边形DEMG的面积最小时直线 AB的方程.第5页(共22 M)2016-20仃学年广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析

8、一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在 每小题给出的四个选项中.有且只有一项是符合题目要求的.1. （ 5 分）设命题 P: ? x R, x2+2> O则P 为（）A. I t . B.二E .二.C. _ : L 一 一 D. ? x R, x2+2 O【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即 J P：宀.,：-.，故选：B2. （5分）等差数列an前n项和为Sn,公差d= - 2, S3=2i,则a1的值为（）A. 10 B. 9 C. 6 D. 5【解答】解：公差d=- 2, S3=2i,可得 3a1 + × 3× 2×

9、;（- 2） =21,2解得a1=9,故选：B.3. （ 5 分）“”是“ 一 ”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件【解答】解：当：+2k时，满足II -I '但：不一定成323立，即充分性不成立，当一.一时，丄成立，即必要性成立，32则“皿口半”是“口二”的必要不充分条件，23故选：C4. （ 5分）已知向量a=（ 2，1, 4），匚=（1，0，2），且；+匸与k I- 互相垂直，则k的值是（）A. 1 B. C. ' D.5531【解答】解:+J= （3， 1， 6）， ka -E = （ 2k - 1，k， 4k- 2）， 二

10、+ 与 k I -'互相垂直，二 3 （2k - 1） +k+6 （4k - 2） =0， 解得k=，31故选：D.5. (5 分)在厶 ABC中，若 AB=，BC=3, C=120° 贝U AC=( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【解答】解：在 ABC中，若AB=，BC=3, C=120，AB2=BC2+AC2 - 2AC?BCCoSC可得：13=9+AC2+3AC, 解得AC=I或AC=- 4 （舍去）.故选：A.2 26. （5分）若双曲线-：'.=1的一条渐近线经过点a b则此双曲线的离心率为（）A.B.匚 C. D. 3453【解答】解：双曲线J

11、=1的一条渐近线经过点/ b2可得 3b=4a,即 9 （C2- a2） =16a2,解得=【故选：D.7. （5分）若a, b均为大于1的正数，且ab=100, 的最大值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D.【解答】 解： a> 1, b> 1,lga>0, lgb>0.ga?Igb（ ；） 2=（ - 十）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga?lgb的最大值是1(3, - 4),(3, -4),则 lga?lgb故选B.& ( 5 分)已知数列 an : a = 1 ,_二：，： ： ，则 an =( )A. 2n+1 3 B. 2n - 1C.

12、2n +1 D. 2n+2 - 7【解答】解：由. ：,. / ,得 an+3=2 (an+3), a+ 3=4 0,数列an+3是以4为首项，以2为公比的等比数列， 则-J3 . 1 I- ',故选：A.9. (5 分)若直线 2ax+by - 2=0 (a>0, b>0)平分圆 2+y2-2x - 4y - 6=0,则+的最小值是()a bA. 2-二 B. U- 1C. 3+2 匚 D. 3- 2 匚【解答】 解：由题意可得直线2ax+by- 2=0 (a>0, b>0)经过圆 x2+y2 - 2x- 4y- 6=0 的圆心(1, 2),故有 2a+2b=

13、2,即 a+b=1.再根据 +- + * =3+2+ 3+2. =2+2 二，当且仅当a b a ba bya b=时，取等号，a b故二+的最小值是3+2 ,a b故选：C.第13页（共22 M）×, y010. （5分）设X, y满足约束条件,则Z=X- 2y的取LX+y3值范围为（）A. (- 3, 3) B. - 3, 3C. - 3, 3) D. - 2, 2【解答】解：由Z=X-2y得yI 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）由图象可知当直线 y=,过点C （3, 0）时，直线y=CJ222的截距最小，此时Z最大, 代入目标函数Z=X- 2y,得z=3,目标函数Z=

14、X- 2y的最大值是3.当直线y= J,过点B时，直线目=、的截距最大, 此时Z最小，由1,得（E,即 B（ 1, 2）LX+y=3尸2代入目标函数 Z=X- 2y,得z=1 - 2× 2=- 3目标函数Z=X- 2y的最小值是-3.故-3z 3,故选：B11. （5分）如图过拋物线y2=2px （ p> 0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点 A, B, C, 若| Bq =2| BF ,且I AF| =3,则拋物线的方程为（）y2='D.y2=9x【解答】解：如图分别过点 A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设| BF =a，则由已知得：| Bq =2a，

15、由定义得：| BD| =a，故 BCD=30，在直角三角形ACE中，AR=3, AC=3+3a, 2| AE =| AC|. 3+3a=6,从而得 a=1, BD/ FG. .P 一3，求得P=：,2因此抛物线方程为y2=3x,故选：B12. （5分）在锐角 ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c，若 r：,： ， a=2，.:.厂广_：，则 b 的值为（）A. =B.二 C.二 D.【解答】解：在锐角 ABC中，SinA=二SABC= , .bcsinA= bc=匚，223.bc=3,又a=2, A是锐角，.由余弦定理得：a2=b2+c2 - 2bccosA,即(b+c) 2

16、=a2+2bc (1 +cosA) =4+6 (1+ ) =12,3.b+c=2第15页（共22 M）由得:巴严, ILbC=3解得b=c=二.故选A.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（5 分） 若 ABC中，AC=乙 A=45° C=75° 贝U BC匚_ .【解答】 解：I AC=U, A=45° , C=75, B=180 - A- C=60°、 .由正弦定理 ",可得：BC=',= -=匚.SinB SinA 'SinB亜2故答案为：".14. （5 分）已知数列an满足：a I一二

17、. . I，【：.：，且a2+a4+a6=9,贝贝的值为 -5.【解答】解：由【二. I _ . I j I； H ,得 IOg 3 （ 3an）= lg3a n+1 ,.an+=3an ,且 an> 0,第19页（共22页）数列a.是公比为3的等比数列，又 a2+a4+a6=9, - I - |=35 .一 -I"l ：'TT故答案为:5.15. （5分）设不等式（X-a） （x+a-2）v 0的解集为N,若 X N是一it的必要条件，贝U a的取值范围为【解答】解：若X N是. " 1 . U的必要条件,则 M? N,若a=1时，不等式（X- a） （x+

18、a 2）v 0的解集N=?,此时不满足条件.若aV 1,则N= (a, 2- a),贝U满足ra<l2-a2a<严2ra<KO ,此时q<4若a> 1,则N= (2 a, a),则满足ra>la>2 ,得 *1 7ra>l4 ,此时 aM-a-2，综上：亍故答案为：.,2 216. （5分）已知椭圆Y -；的左、右焦点分别为Fi ,a bF2 ,过F1且与X轴垂直的直线交椭圆于 A , B两点，直线AF2 与椭圆的另一个交点为C ,若.=2 ',则椭圆的离心率为T5 【解答】解：如图,2V- =2？，一=，且 xc c=c,得 c=2c.

19、22 2 C （ 2c,丄），代入椭圆-+=l（a>b>0）,2日/ b2得苓厶.，即5c2=a2,解得e=：. az 4az故答案为：.三、解答题（本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （10分）已知正项数列an的前n项的和为 和 且满足：UJJ.，（n N）（1）求 a1, a2, a3 的值（2）求数列an的通项公式.【解答】解：（1 ）由 -. * ，取 n = 1，得（Z-.- I- .1.,V an>O,得 a1=1,取 n=2，得解得 a2=2,取 n=3，得-.二=,解 a3=3;（2）V ： -_ C +an,得（an

20、+an） （ an+1 - an - 1） =0, an>0, an+a门>0,贝U a“+1 - a“=1, an是首项为1 ,公差为1的等差数列, an =1+ （ n 1）× 1=n.18. （12分）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b,c, 且 bcosC=（ 2a C） cosB.（1）求角B的值；（2） 若a, b, C成等差数列，且 b=3 ,求ABBlAI面积.【解答】（本题满分为12分）解：（1 ）. bcosC= （2a C） cosB,由正弦定理 SinBCOSC= （2sinA- SinC） cosB,. SinBCOSC+co

21、sBsinC=2sinAcosB （2 分） Sin （ B+C） =2SinACosB, （ 3 分）又 A+B+C=, SinA=2sinAcosB,（4 分）1 . _ 一，,又B为三角形内角（5分）（6 分）（2）由题意得 2b=a+c=6, （ 7 分）F又：,第21页（共22页）-÷ . ' - 2 _. ?.2ac（9 分）. ac=9 （10 分）（12 分）19. （12分）已知递增的等比数列an满足：a2?a3=8, a1+a4=9（1）求数列an的通项公式；（2）设数列：一. I . : M'：，求数列*的前n项 的和Tn .【解答】解：（1）由

22、题意，得a2a3=a1 a4=8，又a+a4=9， 所以 a1=1， a4=8，或 a1=8， a4=1,由 an是递增的等比数列，知q> 1所以a1=1, a4=8,且q=2, 讥一 . _i . r_7，即 an=2n 1;（2）由（1）得厂：:-, 所以:> - Jl I ： : -:11 所以T -十；:-两式相减，得:- - - - . .1-'1,得-.20. （12分）已知点A （, 0）, B （，0）, P是平面内 的一个动点，直线 PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是第仃页（共22页）(1) 求动点P的轨迹C的方程；(2) 设直线I: y=kx+1与曲

23、线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=0上时，求直线I的方程.【解答】解：(1)设二町由丁整理得二+y2=i, ± ：(2)设MN的中点坐标为(xo, yo),? 2联立.W得（2k2+1） x2+4kx=0,y=kx+l所以-U 2k2+l U U 2kz÷l由 xo+2yo=O,得 k=1,所以直线的方程为：y=x+121. (12分)如图，在以 A, B, G D, E, F为顶点的五面 体中，面 ABEF为正方形，AF=2FD AFD=90 ,且二面角 D-AF- E与二面角 C- BE- F都是60°(1) 证明平面 ABEFL平面EFDC

24、(2) 证明：CD/ EF(3) 求二面角E- BC- A的余弦值.【解答】证明：(1) ABEF为正方形， AFL EF.第18页(共22页) AFD=90 , AF DF, DF EF=F AF丄平面EFDCAF?平面 ABEE平面 ABEF平面 EFDQ(2)由 AF DF, AF EE可得 DFE为二面角D- AF- E的平面角,由 CE BE, BEI EE可得 CEF为二面角C- BE- F的平面角.可得 DFE= CEF=60.TAB/ EE AB?平面 EFDC EF?平面 EFDC AB/平面 EFDC平面 EFDS 平面 ABCD=CD AB?平面 ABCD AB/ CD, CD/ EF.解：(3)以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a,则 E(0 , 0 , 0), B(0 , 2a , 0), C ( , 0,".,), A(2a ,2a, 0),=( 0 , 2a ,0