2022年4函数的单调性---拔高难度---讲义

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载函数的单调性学问讲解一.函数单调性的定义1.定义精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dfx假如函数对区间内的任意x1 、 x2 ,当 x1x2 时都有fx1fx2fxd,就称在内精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为增函数；当x1x2 时都有fx1fx2,就 fx在 d 内时减函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.等价形式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 x1 、 x2a、b,那么fx1 x1fx20x2fx在a、 b为增函数；精品学习资料精选学习

2、资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fx1 x1fx20x2fx 在a、b 为减函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1x2fx1fx20f x 在a、 b 为减函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.应用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即如 f x 在区间 d 上递增（递减）且f x1 f x2 x1x2 （x1 、 x2d ）；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 f x 在区间 d 上递递减且f x1 f

3、x2 x1x2 （x1 、 x2d ）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1.比较函数值的大小2.可用来解不等式3.求函数的值域或最值等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载二.单调性判别1.判定前留意争论函数单调性必需在其定义域内进行,因此要争论函数单调性必需先求函数的定义域,函数的单调区间为定义域的子集；2.用于判定的方法定义法：用定义法证明函数单调性的一般步骤：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取值：即设x1 ,x2 为该区间内的任意两个值,且x1x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载作差变形：通过因式分解.配方,有理化等方法,向

4、有利于判定差的符号的方向变形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定号：确定差f x1 f x2 （或f x2 f x1 ）的符号,如符号不确定,可以进行分类讨精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载论下结论：即依据定义得出结论,留意下结论时不要遗忘说明区间精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载子区间法： 假如f x在区间 d 上为增（减）函数,那么f x在 d 的任一非空子区间上也为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载增（减）函数；图象法：复合性质法： 复合函数的单调性结论：“同增异减 ” ；运算性质法： 在公共定义域内精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

5、迎下载增函数f x 增函数g x 为增函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载减函数f x 减函数g x 为减函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载增函数f x 减函数g x 为增函数；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载减函数f x 增函数g x 为减函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载特别函数： 函数yaxb a0、b0 在、b或b 、上单调递

6、增；在精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xaa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b 、0或0, b上为单调递减精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载经典例题一解答题（共16 小题）1（2021 秋.临淄区校级月考）画出函数y=x2| x| 的图象并指出其单调区间【解答】 解：由已知可得 y=| x| 2| x| ,该图象可由 y=x2 x 的图象保留 y 轴右边的部分,并作关于y 轴的对称可得由图象可得函数在（ ,）单调递减,（, 0）单调递增,（ 0, ）单调递减,（ ,+）单调递增2（2021

7、 秋.长宁区校级期末）已知函数,求：（ 1）函数的定义域,奇偶性并作出大致图象；（ 2）写出函数的单调区间精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载【解答】 解：（1）由| 2x| 10,可得 x±, 函数的定义域为 x| x± ； f（ x）=, 函数为偶函数；图象如下列图；（ 2）函数的单调递增区间为（ , ）,（ , 0）；单调递减区间为（ 0, ）,（ ,+）3（2021.利通区校级一模）已知函数f（x）=x| x 2| 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载（ ）写出 f （x）的单调区间；（ ）解不等式 f（ x） 3

8、；（ ）设 0a 2,求 f （x）在 0,a 上的最大值【解答】 解：（1）函数 f（x）=x| x2| = f（x）的单调增区间为（ , 1 和 2,+）；单调减区间为 1,2 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）不等式 f（x） 3,即 x| x2| 3,或,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 2 x3或 x 2, 不等式 f （x） 3 的解集为 x| x3 （ 3）当 0a1时, f（x）为 0, a 上的增函数,此时f（ x）在 0,a 上的最大值为f（ a） =a（2a）当 1a2 时, f（ x）在 0,1 上为增函数,在 1,a 上为减函数, 此

9、时, f（x）在 0, a 上的上的最大值为f（1）=1综上,当 0 a 1 时,此时 f（ x）在 0,a 上的 上的最大值为f（a）=a（2a）当 1a2 时, f（ x）在 0,a 上的 上的最大值为 14（2021 秋.延川县校级月考）已知函数f（ x）=| x24x+3| （ 1）求函数 f（ x）的单调区间,并指出其增减性；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载（ 2）求集合 m= m| m 使方程 f（x）=mx 有四个不相等的实根 【解答】 解：（1）f（x）=| （x2）2 1| ,函数图象如图, f（x）的单调递增区间为 （1,2）,（3,+）,单调

10、递减区间为 （ ,1）,（ 2,3）；（ 2）由图象,考虑y=mx 与抛物线相切时, m=42, y=mx 与图象有四个交点, 0 m42,即使方程 f（x）=mx 有四个不相等的实根时, 0m42, m= m| 0 m42 5（2021.禹王台区校级学业考试）证明函数在 1,+）上为增函数【解答】 证明：任取 x1, x2 1, + ）且 x1x2,就 f（ x1） f （x2）=（）=（x1x2）（5 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载 x1x20,x1x2 1 0, x1x20 f（x1） f（ x2）0, 即 f（ x1）f （x2） f（x）在 1,+

11、）上单调递增；（10 分）6（2021 秋.浦东新区期末）判定并证明函数f（x）=在区间（ 1,0）上的单调性【解答】 解：依据题意,函数f（x）=在区间（ 1, 0）上单调递增,证明如下：设 1x1 x20,就 f（ x1） f （x2）=,又由 1x1 x20,2就 x2x1 0, x2+x1 0, x1210,x 210,就有 f （x1） f（x2） 0,就函数 f（x）=在区间（ 1,0）上单调递增7（2021 秋.河东区期中）判定并证明f（x）=在（ 0, + ）的单调性【解答】 解：函数 f （x）在（ 0,+）递增,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载

12、证明如下：由 f（ x）=1, 令 x1x2 0,就 f（ x1） f （x2）=11+=, x1x20, x1x20,x1+x20,+1 0,+10, 故 f（ x1） f （x2） 0,故 f（ x）在（ 0,+）递增8（2021 秋.铜梁区校级月考）已知函数,x 5, 2 （ 1）利用定义法判定函数的单调性；（ 2）求函数值域【解答】 解：（1）任取 x1,x2 5, 2 ,且 x1x2,就=,由 x1x2 0, x1+10,x2+1 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载所以 f （x1） f（x2） 0,即 f（x1） f（ x2）,所以 y=f（x）在

13、5, 2 上单调递增（ 2）由（ 1）知,f（x）max=f（ 2）=6,所以函数 y=f（x）的值域为 ,6 9（2021 秋.鄱阳县校级期中）证明函数在 r 上为增函数【解答】 解：法 1： f（ x）=1, y=2x+1 为 r 上的增函数, y=为 r 上的减函数,y=为 r 上的增函数,就 f（ x）为 r 上的增函数法 2：任取 x1 ,x2r,且 x1 x2,就 f（ x1） f （x2）=, x1x2,就 f（ x1） f （x2） 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载即 f（ x1）f （x2）, 函数 f（x）在 r 上为增函数10（ 2021

14、 秋.南岗区校级期末）已知函数f（x）=,x 1,+）,且 a1（ 1）判定 f（x）的单调性并证明；（ 2）如 m 满意 f（3m） f（52m）,试确定 m 的取值范畴【解答】 解：（1）函数 f（x）=x+a+,x 1,+）,且 a1, 当 x1 时, f （ x） =10,故函数 f（x）在 1,+）上单调递增（ 2）如 m 满意 f（ 3m） f（52m）,结合函数 f（x）在 1,+）上单调递增,可得 3m52m1,求得 1m2,故实数 m 的取值范畴为（ 1,2 11（2021 春.红岗区校级期末） 已知函数 f（ x）=ax22ax+2+a（a0）,如 f（ x）在区间 2,3

15、 上有最大值 1（ 1）求 a 的值；（ 2）如 g（x）=f（x） mx 在 2,4 上单调,求数 m 的取值范畴【解答】 解：（1）由于函数的图象为抛物线,a0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载所以开口向下,对称轴为直线 x=1, 所以函数 f（ x）在 2,3 单调递减, 所以当 x=2 时, ymax=f（2）=2+a=1, a=1（5 分）（ 2）由于 a=1,f（x）=x2+2x+1,所以 g（x）=f（x） mx=x2+（2m）x+1, 的图象开口向下,对称轴为直线, g（ x）在 2,4 上单调,或, 从而 m 6,或 m2所以, m 的取值范畴为

16、（ , 6 2, + ）（ 10 分）,12（ 2021 秋.碑林区期中）设函数f（x）=,其中 ar（ 1）如 a=1,f （x）的定义域为区间 0,3 ,求 f （x）的最大值和最小值；（ 2）如 f（ x）的定义域为区间（ 0,+）,求 a 的取值范畴,使f（ x）在定义域内为单调减函数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下载【解答】 解： f（x） =a,设 x1,x2 r,就 f （x1） f（x2） =（ 1）当 a=1 时, f（x） =1,设 0 x1 x23,就 f（ x1） f （x2）=,又 x1x2 0, x1+10,x2+1 0, f（x1） f

17、（ x2）0, f（x1） f（ x2） f（x）在 0,3 上为增函数, f（x）max=f（3）=1 =,f（ x） min=f（0）=1 = 1（ 2）设 x1 x20,就 x1 x20,x1+1 0, x2+10如使 f （x）在（ 0,+）上为减函数,只要f（x1） f（ x2）0,而 f（ x1） f（ x2）=, 当 a+1 0,即 a1 时,有 f（x1） f（ x2）0, f（x1） f（ x2） 当 a 1 时, f （x）在定义域（ 0,+）内为单调减函数13（ 2021 春.杜集区校级月考）对于区间 a,b 和函数 y=f（x）,如同时满意：精品学习资料精选学习资料 -

18、 - - 欢迎下载精品资料欢迎下载 f（x）在 a,b 上为单调函数； 函数 y=f（x）,x a,b 的值域仍为 a,b ,就称区间 a,b 为函数 f（x）的“不变”区间（ 1）求函数 y=x2（x0）的全部 “不变”区间（ 2）函数 y=x2+m（ x 0）为否存在 “不变”区间？如存在,求出实数m 的取值范畴；如不存在,说明理由【解答】 解：（1）易知函数 y=x2（x 0）单调递增,故有,解得 a=0 或 1,b=0 或 1,又 a b, 所以函数 y=x2（x0）的“不变”区间为 0,1 （ 2）易知函数 y=x2+m（x0）单调递增,如函数y=x2+m（x0）存在 “不变”区间,就有 ba0,且,消去 m 得 a2 b2=ab,整理得（ a b）（a+b1）=0由于 ab,所以 a+b1=0,即 b=1 a又由 ba0,得 1 a a 0, 所以,综上,当时,函数 y=x2+m（x0）存在 “不变”区间14（ 2021 秋.覃塘区校级月考）已知定义在（1,1）上的函数f （x）为减函精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品资料欢迎下