考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤

1、2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲行列式、基本概念定义1逆序一设i,j是一对不等的正整数，若i j，则称（i,j）为一对逆序。定义2逆序数一设iii2 in是1,2, ,n的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为（hi? i），逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列Dj1j2 jna11a12a21a22an1an2(jj定义3行列式一称D2Cna2n称为n阶行列式,annJn)a1 j1 a2j2anjin规定定义4余子式与代数余子式一把行列式aij所在的i行元素和j列元素去掉，剩下的素原来的排列次序构成的nMj，称Aj（ 1）j

2、Mj为元素a11a21an1厲2a22an21行和na1 na2nann中元素1列元素按照元1阶行列式，称为元素aj的余子式，记为aj的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式一形如a100a2称为对角行列式，anai000a2000anaa2an。ana12a1nan002、上（下）三角行列式一称0a22a2n及a21a220为上00a nnan1an2annana12a1n（下）三角行列式0a22a2n玄11玄22ann>00a nn0aiia21a22aiia22annanian 2a nn3、|A| |B| ,|A| |B|,|A|B|114、范得蒙行列式一形如V(a1

3、,a2,an)a1a2n 1a1na2111得蒙行列式，且V（a1,a2,an )a1a2anna11n 1a2n 'anann 1an称为n阶范(aiaj)。1 j i n【注解】V（aa2，©） 0的充分必要条件是ai,a2, , an两两不等。三、行列式的计算性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质 1、行列式与其转置行列式相等，即 D Dt2、对调两行（或列）行列式改变符号 3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论1行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。推论2行列式某两行（或列）相同，行列式为零。推论3行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列

4、式为零4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列式可分5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变,aiiai2ainaiiai2ainaiiai2ainaii ka jiai2ka j2ain ka jna jiaj2ajna jia j2a jnanian2a nna nia n2ann【例题u设，i, 2, 3为4维列向量,且|A| |B| , i,32,3 |2i，求 | A B|。n 2,，其中k为任意常数。3| 4，解为两个行列式a11ai2ai nai1ai2ai nai1ai2ai naiibiiai2bi2Qinbinaiiai2Qinbibi 2

5、binanian 2annan1an2annanian2annO32 i【例题2】用行列式性质i5计算i23kJ24825i2【例题3】计算行列式D37i4。592746i2【例题4】计算Dn1a1111a2111a3,其中 ai 0(1 i n) oan（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即ai1Ai1ai2Ai2ain Ain (i1,2,n)，a1j A1 ja2 j A2 janj Anj ( j 1,2, n) o7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。【例题1】用行列式按行或列展开的性质计算【例题

6、2】设DM 31 M 32 o2354579611212472，求（1）M 21M 22M 23M24 ；（ 2）四、行列式的应用一克莱姆法则对方程组a1 Xa12X2CnXn0a?1 Xa?2 X2a2n Xn0(I)an1 X1an2X2Knh0a1 X1Q2X2Q nXnb821X1a22X2a2 nXnb2(II)an1 X1an2X2RnnKnbn其中（II）称为非齐方程组，（I）称为（II）对应的齐次方程组或（II）的导出定理1 (I)只有零解的充分必要条件是D0 ； (I)有非零解(或者(I)有方程组。ana12a1 nba12a1 na11a12令Da21a22a2n,D1b2

7、a22a2n,Dna21a22b2，其中an1an2anntnan2annan1an2bnD称为系数行列式，我们有am1am2a mn无穷多个解)的充分必要条件是D 0。定理2 (II )有唯一解的充分必要条件是D 0，且人R(i 1,2,n)；D当D 0时，(II)要么无解，要么有无穷多个解。第二讲矩阵一、基本概念及其运算(一)基本概念aii1、矩阵一形如a21ai2a22a2n称为m行n列的矩阵，记为A(aij )m nam1am2amn行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵(1) 若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为0。(2) 对A (aj)mn，若m n，称

8、A为n阶方阵。1(3) 称E为单位矩阵。1(4) 对称矩阵一设A (aj)nn，若aij aji (i, j 1,2, ,n)，称A为对称矩a11a12a1na11a21am1(5)转置矩阵设 Aa21a22a2n，记 ATa12a22a m2 ，am1am2amna1na2namn称at为矩阵A的转置矩阵。2、同型矩阵及矩阵相等若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵 为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵 相等。3、伴随矩阵一设A (aj)nn为n矩阵，将矩阵A中的第i行和j列去掉,余下的元素按照原来的元素排列次序构成的 n 1阶行列式，称为元素 aij 的余子式，记为

9、M ij ，同时称 Aij ( 1)i j Mij 为元素 aij 的代数余子式，这 样 矩 阵 中 的 每 一 个 元 素 都 有 自 己 的 代 数 余 子 式 ， 记A11 A21A12 A22AAn2，称为矩阵A的伴随矩阵A1nA2nAnn二)矩阵的三则运算a11 a12a1nb11b12b1n1、矩阵加减法设Aa 21 a 22a2n ，Bb21b22b2n ，则am1 am 2amnbm1bm2mna11 b11a12b12a1nb1na21 b21a22b22a2nb2nA 21 21。a m1 bm1am2bm2abmnmna11a12a1n2 、 数 与矩阵的乘法设Aa21a

10、22a2n ，则ka11ka21ka12ka22ka1nka2nkA。kam1kam2kamn3、矩阵与矩阵的乘法：a11 a12a1nb11b12b1s设A a 21 a22a2n ， Bb21b22b2s ，则am1a m2amnbn1bn2bnsc11c12c1sCc21c22c2n ，其中 cina ik bkj(i 1,2, m; j 1,2, , s )k1cm1cm2cms【注解】(1) A O,B O推不出AB O。( 2) AB BA 。( 3)矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换若 AB BA，则 A2 3AB 2b2 (A B)(A 2b)，再如A2 A

11、 6E (A 3E)(A 2E)。( 4)方程组的三种形式形式一： 基本形式a11 x1a12 x2a1n x n0a11 x1a12 x 2a1n xnb1a21 x1a22x2a2n xn0 (I)与a21 x1a 22 x2a2n xnb2( II )a m1 x1a m2 x2amn xn0am1x1am2 x2a mn xnbmI )( II )分别称为齐次与非齐线性方程组。a11a12a1nx1b1记 A a21a22a2n , Xx2 , bb2 ,则方程组(1 )、(II)可改写am1am2amnxnbm形式二：方程组的矩阵形式AX0，（I）AXb（II）ana12a1nX1b

12、1令1,2>> n,X,b，则有amiam2amnXnbm形式三:方程组的1勺向量形式x11x2 2xn nO（I）x11x2 2xn nO（II）二、矩阵的两大核心问题一矩阵的逆矩阵与矩阵的秩【背景】初中数学问题：对一元一次方程ax b（a 0），其解有如下几 种情况（1）当a 0时，ax b两边乘以-得x -。aa（2）当a 0,b 0时，方程ax b的解为一切实数。（3） 当a 0, b 0时，方程ax b无解。矩阵形式的线性方程组解的联想：对线性方程组AX b，其解有如下 几种情况（1）设A为n阶矩阵，对方程组AX b，存在n阶矩阵B，使得BA E， 则 X Bb。（此种情

13、况产生矩阵的逆阵理论）（2 ）设A为n阶矩阵，对方程组 AX b，不存在n阶矩阵B，使得BA E，方程组AX b是否有解？（3）设A是m n矩阵，且m n ,方程组AX b是否有解？（后两种情况取决于方程组的未知数个数与方程组约束条件的个数 即矩阵的秩）（一）逆矩阵1、逆矩阵的定义一设A为n阶矩阵，若存在B，使得BA E，称A可 逆，B称为A的逆矩阵，记为B A 1。【例题1】设A为n阶矩阵，且A A 2E O，求A1,（A E） 1。【例题2】设A为n阶矩阵，且Ak O ,求（E A） 1。2、关于逆矩阵的两个问题【问题1】 设A为n阶矩阵，A何时可逆？【问题2】若A可逆，如何求A 1 ？3

14、、逆阵存在的充分必要条件定理 设A为n阶矩阵，则矩阵A可逆的充分必要条件是|A| 0。4、逆阵的求法（1） 方法一：伴随矩阵法A1丄A。|A|（2） 初等变换法（A|E）初等行变换（EIA1）。5、初等变换法求逆阵的思想体系第一步，方程组的三种同解变形（1）对调两个方程；（2）某个方程两边同乘以非零常数；（3）某个方程的倍数加到另一个方程，以上三种变形称为方程组的三种同解变形。第二步，矩阵的三种初等行变换(1) 对调矩阵的两行；(2) 矩阵的某行乘以非零常数倍；(3) 矩阵某行的倍数加到另一行，以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列变换，矩阵的初

15、等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。第三步，三个初等矩阵及性质(1) Ej 将E的第i行与第j行或者单位矩阵E的第i列与第j列对调1 0 0所得到的矩阵，如0 0 1 E23。0 1 0性质：1)|Ej |1 ； 1)Ej1 Ej ；3) Eij A即为矩阵A的第i行与第j行对调，AEij即为矩阵A的第i列与 第j列对调，即Ej A是对A进行第一种初等行变换，AEj是对A进行第 一种初等列变换。(2) Ej(c)(c 0)将E的第i行乘以非零常数c或E的第i列乘以非零1 0 0常数c所得到的矩阵，如0 10 E3( 5)。0 05性质：1)|Ei(c)| c ； 2)Ei1(c) EM1

16、)；c3) Ei (c)A即为矩阵A的第i行非零常数c， AEi (c)即为矩阵A的第i列 非零常数c,即Ei(c)A为对A进行第二种初等行变换，AEi(c)为对A进 行第二种初等列变换。(3) Ej(k)将E第j行的k倍加到第i行或E的第i列的k倍加到第j列所得到的矩阵。性质：1) Ej(k)A即A第j行的k倍加到第i行，AEj(k)即A第i列的k倍加到第 j列；2) |Ej(k)| 1 ; 3) Ej1 (k) Ej( k)。第四步，三个问题【问题1】 设A是n阶可逆矩阵，A可都经过有限次初等行变换化为E ？【问题2】 设A是n阶不可逆矩阵，A是否可以经过有限次初等行变 换化为Er 0 ？

17、0 0【问题3】设A是n阶不可逆矩阵，A是否可以经过有限次初等变换化 为 Er 0 ？0 0第五步，初等变换法求逆阵的理论定理1设A是n阶可逆矩阵，则A经过有限次初等行变换化为E，且(A E) (E A1)。定理2设A是n阶不可逆矩阵，则存在 n阶可逆矩阵P和Q，使得PAQEr 00 06、逆矩阵的性质(1)(A 1) 1 A。( 2)(kA) 1 丄 A 1。 k(3)(AB) 1 B 1A 1，更进一步(A1A2 An) 1An1An11 A11。4)(AT)矩阵秩的定义一设A是m n矩阵，A中任取r行和r列且元素按原 有次序所成的r阶行列式，称为A的r阶子式，若A中至少有一个r阶 子式不

18、等于零，而所有r 1阶子式(如果有)皆为零，称r为矩阵A的 秩，记为 r(A) r 。 (A 1)T。1 1 1 1A O A 1 O O A O B 1 5)1 ， 1 。O B O B 1 B O A1 O【例题1】设可逆矩阵A的i,j行对调所得的矩阵为B1)证明： B 可逆。(2)求 A 1B。【例题2】设A,B分别为m,n阶可逆矩阵,|A| a,|B| b，求【例题3】设可逆阵A的1,2两行对调得矩阵B，讨论A与B之间的关系。a11a12a13a 21a 22a 23【例题 4】设 Aa21a22a 23, Ba11a12a13,a31a32a 33a 31a11a32a12a33a1

19、30 1 0100P11 0 0 , P2010则001101()111【例题 5】设 A011且 A矩阵秩的求法一将A用初等行变换化为阶梯矩阵，阶梯矩阵的非 零行数即为矩阵A的秩。 AB E ，求 B 。001二)矩阵的秩注解】(1)设 A 为 m n 矩阵，贝卩 r(A) minm, n。2) r(A) 0的充分必要条件为 A O。3) r(A) 1的充分必要条件为 A O。4) r(A)2的充分必要条件是A至少有两行不成比例5)(a1,a2 , ,an)T ，贝 r( )1,0,3、矩阵秩的性质1) r(A) r(AT ) r(AAT ) r(ATA)。【例题1】设A是m n矩阵，证明：

20、若A A 0,则A O。2) r (A B) r (A) r (B) 。a1b1【例题2】设,，A T T，证明：r(A) 2。anbn3) r(AB) minr(A),r(B) ,等价于 r(AB) r(A)。r (AB) r (B)口诀：即矩阵的乘法不会使矩阵的秩升高)【例题3】设A,B分别为m n与n m矩阵，且AB E，求r(A),r(B)。(4) 设 Amn,Bns，且 AB 0，则 r(A) r(B) n。【例题4】设A为可逆矩阵，证明其逆矩阵唯一。【例题5】设A2 A，证明：r(A) r(E A) n。(5) 设 P,Q 为可逆矩阵，则 r(A) r(PA) r(AQ) r(PA

21、Q)。n, r(A) n6) r(A )1,r(A) n 1(n 2)。0,r(A) n 1A7)r B r(A) r(B) 。8)r(A) 1 存在非零向量 , ，使得 A第三讲 向量、向量基本概念1、向量 n 个实数 a1, a2,an所构成的一个数组称为向量，其中a1(ai,a2, ,an)称为n维行向量,称为n维列向量，构成向量的所有元an素皆为零的向量称为零向量。2、向量的内积：(,)naibi 。i1注解 (1)(, ) ( ,2)(,n22)ai2 | |2；i13) ( ,) (, ) (4)(k , ) k( , ) 。5)当 ( ,) 0 ，即aibii10时，称向量正交，

22、记为注意零向量与任何向量正交注解】方程组的向量形式齐次线性方程组可以表示为x1O；非齐线性方程组可以表示为x1b，a11a12a1nb1其中 1, 2a m1am2,bamnObn3、线性相关与线性无关对齐次线性方程组 x1 1x2xn nO，1) x1 1x2 2xnO当且仅当x1x 2xn 0 时成立，即齐次线性方程组只有零解，称向量组 1, 2, , n 线性无关；(2)若有不全为零的常数ki,k2, ,kn，使得ki 1 k2 2 kn n O成 立，即齐次线性方程组有非零解，称 1,2, n 线性相关。4、向量的线性表示对非齐线性方程组 x1 1 x2 2xn n b ，(1) 存在

23、一组常数ki,k2, ,kn，使得ki 1 k2 2 kn n b成立，即非齐线性方程组有解，称 可由 1 ,2, n 线性表示；(2) 若Xi 1 X2 2 Xn n b不能成立，即非齐线性方程组无解，称 不可由 1, 2, n 线性表示。5、向量组的秩与矩阵的秩的概念( 1)向量组的极大线性无关组与向量组的秩设 1 , 2, n 为一个向量组，若 1 , 2, n 中存在 r 个线性无关的子向量组， 但任意 r 1个子向量组(如果有)线性相关，称 r 个线性无关的子向量组为向量组 注解 ( 1 )若一个向量组中含有零向量，则该向量组一定线性相关。12n 的一个极大线性无关组，r 称为向量组

24、 1, 2的秩( 2)两个向量线性相关的充分必要条件是两个向量成比例。( 3)向量组的极大线性无关组不一定唯一。6、向量组的等价设A ： 1, 2 , m 与 B ： 1, 2 , n 为两个向量组， 若1 k11 1 k12 2k1n n2 k 21 1 k22 2k2 nnm km1 1 k m2 2kmn n则称向量组 A: 1, 2,m可由向量组B： 1, 2, n 线性表示，若两个向量组可以相互线性表示，称两个向量组等价。、向量的性质 （一）向量组的相关性与线性表示的性质1、若 1, 2, , n 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表出2、设 1, 2, , n 线性无关

25、，而 1, 2, , n, 线性相关，则 可由 1, 2,线性表出，且表示方法唯一。3、若一个向量组线性无关，则其中任意一个部分向量组也必然线性无关；4、若一个向量组的一个部分向量组线性相关，则此向量组一定线性相关；5、 设1, 2, , n为n个n维向量，则1, 2, , n线性无关| 1, 2, , n| 0<6、若一个向量组的个数多于维数。则此向量组一定线性相关。7、 若1, 2, , n为一个两两正交的非零向量组，则1, 2, , n线性无关。8设1, 2, , n为两两正交的非零向量组，则 1, 2, , n线性无关，反之不对。例题 1】 设123 线性无关，234 线性相关，

26、 证明：4可由123线性表示。例题 2】设123 线性无关，令 13 1 ，讨论123的相关性。例题 4】设124 线性无关，令1 ，讨论4 的相关性。二）向量组的秩的性质1、设 A :1, 2, m, B : 1, 2,n为两个向量组，若A 组可由 B 线性表出，则A组的秩不超过B组的秩。2、等价的向量组由相等的秩3、矩阵的秩、矩阵的行向量组的秩、矩阵的列向量组的秩三者相等。【注解】(1)设 1, 2, , n 线性无关， 1, 2, , n,b 线性无关的充分必要条 件 是 b 不 可 由 向 量 组 1, 2, , n 线 性 表 示 ， 等 价 于 r( 1, 2, , n,b) r

27、( 1, 2, , n) 1。(2)设A： 1, 2, m,B： 1, 2, n，若向量组A可由向量组B线性表示，而向量组B不可由向量组A线性表示，则r ( A) r(B)。第四讲 方程组一、线性方程组的基本概念a11 x1a12 x2a1n x n。,方程组a21 x1a22 x 2a 2n xn0, ( I ),称(1 )为n元齐次线性方程am1 x1am 2 x2amn xn。.组。a11 x1a12 x2a1n x nb1,方程组a21 x1a22 x 2a 2n xnb2,( II )称( II )为 n 元非齐线性方程am1 x1am 2 x2amn xnbm.组，方程组(I )又

28、称为方程组( II )对应的齐次线性方程组或者导出方程组。二、线性方程组解的结构1 、 设 X1,X2, ,Xs 为 齐 次 线 性 方 程 组 AX O 的 解 ， 则 kiXi k2X2 ksXs为AX O的解，其中心匕，ks为任意常数。特殊 情形，Xi X2及kXi( k为任意常数)都是AX O的解。2、设X。为齐次线性方程组AX O的解，为非齐线性方程组AX b的 解，则X。 为方程组AX b的解。3、设1, 2为非齐线性方程组AX b的解，则i 2为AX O的解。4、设 1, 2, , t 为 AX b 的一组解，则 ki 1 k2 2kt t为AX b的解的充分必要条件是ki k2

29、kt 1。三、线性方程组解的基本定理定理1( 1)齐次线性方程组 AX O只有零解的充分必要条件是r(A) n ;(2)齐次线性方程组AX O有非零解(或者无穷多个解)的充分必要条件是r(A) n。定理2( 1)非齐线性方程组AX b无解的充分必要条件是r(A) r(A)。(2)AX b有解的充分必要条件是r(A) r(A)。更进一步地，当r(A) r(A) n时，方程组AX b有唯一解；当r(A) r(A) r n时，方 程组AX b有无穷多个解。四、线性方程组的通解(一)齐次线性方程组AX O的基础解系与通解【例题1】求方程组X x2 x3 x4 8x502X1 X2 7X5 0的通解。x

30、2 x3 5x50XX3X4X50【例题2】求方程组x-ix22x3 x4x502x1 2x2 2x3 4x50。x-ix2x32x42x50【注解】齐次线性方程组基础解的的三大条件一个向量组为齐次线性方程组的基础解系的充分必要条件是(1)该向量组为方程组的解。(2)该向量组线性无关。(3)该向量组的向量个数与方程组自由变量个数相等。(二)非齐线性方程AX b的通解1 2 1 x1 1例题 1】设方程组 2 3 a 2 x2 3 无解，求 a1 a2 x3 0【例题2】a,b取何值时，方程组x1 x2 x3 x4 0x2 2x3 2x4 1x2 (a 3)x3 2x4 3x1 2x2 x3 a

31、x4有解，并求出b1其解【例题3】（1）设A为n阶阵，且A的各行元素之和为0, R（A） n 1,则AX 0 ,求AX 0的通解。（2）设A为n阶阵，且|a| 0,Aki 0，求AX 0的通解。（ 3）设 AX b 为四元非齐方程组， R（A） 3, 1, 2, 3为其 3 个解向量，且 i （1,9,9,8）t， 23 （1,9,9,9）T，求 AX b 的通解。（ 4 ）1, 2, 3 设 为 4 维 列 向 量 组 ，1, 2 线 性 无 关 ，3 3 1 2 2,且A（1,2, 3），求 AX 0的一个基础解系。（ 5）设 A（ 1,2,3,4）,2,3,4 线性无关，且 13 23,

32、12 24 ，求 AX 的通解。ai1【例题3】设i9i2 （i 1,2, ,r,r n）为n维向量组，且1, 2, , r线性无关，ainb1a11x1a1nxn0b2 为a21x1a2nxn0的非零解，问 1, 2, r , 线性相关性。bnar 1x1arn xn0方程组补充（一）理论拓展定理1若AB O，则B的列向量组为方程组AX O的解【例题 1】设 AB O ，证明： r(A) r(B) n。【例题2】设A为三阶非零矩阵，A的第一行元素a,b,c不全为零，123B 2 4 6，且AB O，求方程组 AX O的通解。 36k定理2若AX O与BX O同解，贝卩r(A) r(B)。【例

33、题 1】证明： r(A) r(ATA)。【例题2】设A为n s矩阵，B是m n矩阵，且r(B) n，证明: r(B) r(BA)。(二)方程组的公共解定理AX O与BX O的公共解即为AXBO 的解。【例题1】设A,B都是n阶矩阵，且r(A)r(B) n，证明：AX O 与BX O有公共的非零解。【例题 2】设线性方程组(1) x1x20与方程组(2) x1 x2 x3 0 。x2x40x2 x3 x40(1)求两个方程组的基础解系。(2)求两个方程组的公共解。第五讲 特征值与特征向量一、基本概念1、矩阵的特征值、特征向量一设 A为n阶矩阵，若存在 和非零向量 X，使得AX X，称 为矩阵A的

34、特征值，称X为矩阵A的属于特征 值 的特征向量。【问题1】设A为n阶矩阵，如何求A的特征值？【问题2】设A为n阶矩阵，°为A的特征值，如何求矩阵A的属于o 的特征向量？a11 a12a1 n2、特征多项式、特征方程令Aa21 a22a2nan1an2anna11a12a1n称I E A|a21a22a2n为矩阵A的特征多项式，an1an2ann| E A| 0称为矩阵A的特征方程。【注解】(1)设A为实矩阵，则A的特征值不一定是实数。(2) 1 2nai1a22ann tr(A)。(3) 1 2 n 1 A1。【问题1】设r(A)n，则0是A的特征值，问A的非零特征值个数是(4) r

35、(A) n的充分必要条件是i 0(1 i n)1 2 2【例题1】设A2 1 2，求A的特征值及每个特征值对应的线性无2 2 1关的特征向量。0 1 1【例题2】设A0 0 1 ，求A的特征值及每个特征值对应的线性无0 0 1关的特征向量否与A的秩相等?【问题2】问每个特征值的重数与其对应的线性无关的特征向量个数 是否一致?3、矩阵相似一设A,B为两个n阶阵，若存在可逆阵P，使得P 1AP B，则称A与B相似，记为AB【注解】(1) A A。(2)若 A B ,贝卩 B A。( 3)若 A B , B C，贝卩 AC。(4) A B | E A| | E B|，反之不对。(5) A B r(A

36、) r(B)，反之不对。(6) A B AT BT; A 1 B 1 (其中 A,B 可逆)。(7) 若 A B，贝卩 tr(A) tr(B) , | A| |B|。4、矩阵的对角化一若一个矩阵和对角矩阵相似 ，则称矩阵可以对角 化，设A是n阶矩阵，所谓A可对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 P 1AP ，其中为对角矩阵。二、特征值与特征向量的性质(一)一般矩阵特征值与特征向量的性质1、(重要性质)不同特征值对应的特征向量线性无关。2、 设A为n阶矩阵，°是矩阵A的特征值，X。是矩阵A的对应于°的 特征向量，则(1) 若A可逆，则o1是矩阵A 1的特征值，X°是矩阵

37、A1的对应于o1 的特征向量。(2) 若A可逆，则凶为矩阵A的特征值，Xo是矩阵A的对应于血00的特征向量。(3)设 f (x) anXn an 1Xn 1a1X ao为一元n次多项式，称f(A) anAn amAn1a“A aoE为关于矩阵A的矩阵多项式，则有f( 0)为矩阵f(A)的特征值，Xo是矩阵f(A)的对应于f( o)的特征向 量。3、矩阵A可对角化的充分必要条件是 A有n个线性无关的特征向量。(二)实对称矩阵特征值特征向量的性质1、设A为实对称阵，则A的特征根都是实数。2、设A为实对称阵，则A的不同特征根对应的特征向量正交。3、A可对角化 A有n个线性无关的特征向量。4、 设A为

38、实对称阵，1, 2, , n为其特征根，则存在正交阵Q，使得1qtaq。n三、矩阵的对角化(一) 非实对称矩阵(二) 实对称矩阵典型问题(一) 特征值、特征向量的性质【例题1】设A为四阶矩阵，AB，且A的特征值为丄2丄，则2 3 4 51|B E| _。【例题2】设A为可逆矩阵，°为A的一个特征值，则(A )2 2E的一 个特征值为。【例题3】设1，2为A的两个不同的特性根，X.X2分别为1，2所对 应的特征向量，则X1 X2不是特征向量。(二) 特征值、特征向量的求法【思路分析】特征值的求法常见有三种方法：（1）公式法，即通过| E A| 0求A的特征值。（ 2）定义法（ 3）关联

39、矩阵法【例题1】设矩阵A,B的每行元素之和分别为a,b，其中A可逆。（1）求A1的每行元素之和；（2）求AB的每行元素之和。【例题2】设A为n阶矩阵，且A2 2A O，求A的特征值。a1 b1【例题3】设，且（，）3，令AT，求A的特征anbn值及重数。【例题4】A是三阶矩阵，1, 2, 3线性无关，A 12 3, A 23 1,A 3 1 2，求矩阵A的特征值。三）矩阵对角化问题 思路分析】判断矩阵对角化常见思路有： 1）矩阵的特征值是否为单值。（2）矩阵是否存在n个线性无关的特征向量。3）矩阵是否为实对称矩阵。【例题1】设A ab且adbcO，证明A可对角化 cd3 1 1例题 2】设 A7 5 1 ，证明 A 不可以对角化6 6 2122【例题3】A 2 1 2，求A的特征根、特征向量，以及是否可以对221角化？【例题4】设A为非零矩阵，且存在正整数k，使得Ak O，证明A不可以对角化。【例题 5】设 A00x1101y 有三个线性无关的特征向量，求0x, y 满足的条件。11a1【例题 6】 A1a1 ,1 , AX, 有解但不唯一,(1)求a的a112值；（2）求可逆阵P ,使得P 1AP为对角阵；（3）求正交阵Q ,使得QtAQ 为对角阵。（四）求矩阵 A 【思路分析】特征值与特征向量部分求未知矩阵的思路为：（1）求A的特征值。（2）求A的不同特征值对应的线性无关的