2022年2022年高中数学基本不等式知识点归纳及练习题

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点高中数学基本不等式的巧用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1基本不等式：abab 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1基本不等式成立的条件：a 0, b 0. 2等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号2 几个重要的不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1a2 b2 2aba,br；2 ba2a,b 同号；3ab a b ab22a, br；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2 b242ab 22a, br精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3 算术平均数与几何平均数设 a0,b0

2、,就 a,b 的算术平均数为a b2,几何平均数为ab,基本不等式可表达为两个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4 利用基本不等式求最值问题已知 x0,y0,就1假如积 xy 为定值 p,那么当且仅当 xy 时, x y 有最小值为 2p.简记：积定和最小 p22假如和 xy 为定值 p,那么当且仅当x y 时, xy 有最大值为 4 .简记：和定积最大 一个技巧运用公式解题时,既要把握公式的正用,也要留意公式的逆用,例如a2b22ab 逆用就为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aba2 b22；ab2aba, b 0逆用就为 a

3、ba b 22a, b 0等仍要留意 “ 添.拆项 ”精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧和公式等号成立的条件等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载两个变形a2 b212ab 2aba,br,当且仅当 ab 时取等号 ； 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2b222a b2ab121a0,b0,当且仅当 a b 时取等号 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ba这两个不等式链用处很大,留意把握它们三个留意1使用基本不等式求最值,其失误的真正缘由为其存在前提“一正.二定.三相等” 的忽精品学习资料精选

4、学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点视要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不行2在运用基本不等式时,要特殊留意“ 拆”“ 拼”“ 凑”等技巧,使其满意基本不等式中 “ 正 ”“ 定 ”“ 等 ” 的 条 件 3连续使用公式时取等号的条件很严格,要求同时满意任何一次的字母取值存在且一样应用一：求最值例 1：求以下函数的值域211精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） y 3x解题技巧： 技巧一：凑项 2x 2（ 2） y x x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1：已知 x5,求函数y44x214x5的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

5、迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧二：凑系数例 1.当时,求技巧三 ： 分别yx82x 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3.求 yx27x10 x1 的值域；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1；技巧四 ：换元精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧五：留意：在应用最值定理求最值时,如遇等号取不到的情形,应结合函数f xxa 的单调性；x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例：求函数yx25x24的值域；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载练习求以下函数的

6、最小值,并求取得最小值时,x 的值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1） yx23x x1 、 x0（2） y2x1、 xx333y2sin x1、 x sin x0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2已知 0x1,求函数yx1x 的最大值 . ；3 0x2 ,求函数3yx23x 的最大值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载条件求最值1. 如实数满意ab2 ,就3a3b 的最小值为.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

7、 - - 欢迎下载变式：如log 4 xlog 4 y2 ,求11的最小值 . 并求 x、 y 的值xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时,要留意取等号的条件的一样性,否就就会出错；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2：已知 x0、 y0 ,且 191,求 xy 的最小值；xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式：（ 1）如x、 yr且 2 xy1 ,求 1 x1 的最小值y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 已知a、 b、 x、 yr且

8、 abxyy221 ,求 xy 的最小值2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧七.已知x, y 为正实数,且x 2 1,求 x1 y的最大值 .1技巧八：已知a, b 为正实数, 2b ab a 30,求函数y ab 的最小值 .技巧九.取平方5.已知 x, y 为正实数, 3x 2y 10,求函数 w3x 2y 的最值 .应用二：利用基本不等式证明不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1已知a、 b、 c 为两两不相等的实数,求证：a 2b 2c 2abbcca精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1）正数 a, b, c 满意 a bc 1,求证： 1

9、a1 b1 c 8abc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 6：已知 a.b.cr ,且abc1；求证：1111118精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abc应用三：基本不等式与恒成立问题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例：已知 x0、 y0 且 191 ,求使不等式xym 恒成立的实数m 的取值范畴；xy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载应用四：均值定理在比较大小中的应用：1ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例：如 ab1、 plg alg b 、qlg a2lg b、 rlg ,就2p、 q、 r 的大小关系为.精品学习资

10、料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（ 1） y 3x 212 23x 2x121· 26值域为 6 , +） 2x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）当 x 0 时, y xx 2x· x 2；111当 x0 时,y x x =（x x） 2x · x = 2值域为（,2 2 ,+）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 因 4x50 ,所以第一要 “调整” 符号, 又 4 x214x不为常数, 所以对 4x52 要进

11、行拆. 凑项,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x5 、54x0 ,y4 x2154x13231精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载44 x554x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当且仅当54 x1,即 x54x1时,上式等号成立,故当x 1 时,ymax1 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评注：此题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值；解析：由知,利用基本不等式求最值,必需和为定值或积为定值,此题为两个式子精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载积的形式, 但其和不为定值；留意到 2 x82x8 为定值, 故只需将y x8

12、2x 凑上一个系数即可；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当,即 x2 时取等号当 x2 时,yx82 x的最大值为8；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评注： 此题无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值；解析一：此题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有（x 1）的项,再将其分别；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当、 即时、 y2 （ x14x159 （当且仅当x 1 时取“”号）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析二：此题看似无法运用基本不等式,可先换元,令t =x 1,化简原式在分别求

13、最值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载yt127t1）+10t 25t=4t45精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ttt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当、 即 t =时、 y2t459 （当 t =2 即 x 1 时取“”号）；t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载评注：分式函数求最值,通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值；即化为ymg xag xb a0、 b0 ,g x 恒正或恒负的形式,然后运用基本不等式来求最值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

14、下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：令x24t t2 ,就 yx5x411t t2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22x24x24t精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载因 t0、 t11 ,但 t t11解得 tt1 不在区间2、,故等号不成立,考虑单调性；5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 yt在区间1、单调递增,所以在其子区间2、为单调递增函数,故y；t2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以,所求函数的值域为5 、；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：“和”到“积”为一个缩小的过程,而且3a3b 定

15、值,因此考虑利用均值定理求最小值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：3a 和3b 都为正数,3 a3b 23a3b23a b6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 3a3b 时等号成立,由ab2 及 3a3b 得 ab1即当 ab1时, 3 a3b 的最小值为6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载错解：x0、 y0 ,且 191 ,xy19xy22xy12故xy12；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9xyxyxymin精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载错因：解法中两次

16、连用基本不等式,在xy2xy 等号成立条件为xy ,在 1929等号成立精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载条件为 19 即 yxyxyxy9 x 、 取等号的条件的不一样,产生错误；因此,在利用基本不等式处理问题时,列出精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载等号成立条件为解题的必要步骤,而且为检验转换为否有误的一种方法；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载正解 ：x0、 y0、 191,xyxy19y9 x1061016精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyxyxy精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y当且仅当9x时,上式等号成立,又191,

17、可得 x4、 y12 时,xy16；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyxya2 b 2min精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：因条件和结论分别为二次和一次,故采纳公式ab2；22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22121 y1y精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同时仍应化简1 y2中 y 前面的系数为,x1y2 x2·2 x·222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载下面将 x,1 y分别看成两个因式：22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22y121y 22精品学习资料精选学习资料 - -

18、- 欢迎下载1y 2x·2 22x 2 22x 2 232 4即 x1 y 2 2 · x1y 232 2 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析：这为一个二元函数的最值问题,通常有两个途径,一为通过消元,转化为一元函数问题,再用单调性或基本不等式求解,对此题来说,这种途径为可行的；二为直接用基本不等式,对此题来说,因已知条 件中既有和的形式,又有积的形式,不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后,再通过解不等式的途径进行；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法一： a30 2bb1,ab30 2bb 1·b 2 b2 30b b 1精

19、品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2由 a 0 得, 0 b 152t 34t 31161616精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 t b+1, 1 t 16, ab1 2（ t t） 34 t t 2t · 8tt精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 ab 18 y当且仅当t 4,即 b3, a 6 时,等号成立；18精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载法二：由已知得：30 ab a2b a2b 22 ab 30 ab 22 ab令 uab就 u222 u30 0, 52 u 321ab 32 ,ab 18, y 18精品学习资料精选学习

20、资料 - - - 欢迎下载点评： 此题考查不等式ab2ab（ a、 br ）的应用. 不等式的解法及运算才能；如何由已知不等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载式 aba2b30（ a 、br ）动身求得 ab 的范畴, 关键为查找到ab与ab 之间的关系, 由此想到不等精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载式 ab 2ab（a 、 br ）,这样将已知条件转换为含ab 的不等式,进而解得ab 的范畴 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式： 1. 已知 a>0,b

21、>0, ab a b 1,求 a b 的最小值；2. 如直角三角形周长为1,求它的面积最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解法一：如利用算术平均与平方平均之间的不等关系,a b2a 2 b22,此题很简洁精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备精品学问点3x 2y2（3x ） 2（2y ） 2 23x 2y 25解法二：条件与结论均为和的形式,设法直接用基本不等式,应通过平方化函数式为积的形式,再向“和为定值”条件靠拢；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2w 0, w 3x 2y 23x ·2y 10 23x ·2y 10 3x w20 252· 2y 2 10 3 x 2y 20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变式 :求函数 y2x152 x 1x5 的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：留意到2 x221与 52x 的和为定值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y 22 x152 x 2422 x152x42 x152 x8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 y0 ,所以 0y22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载