2022年2022年高中数学选修4-5知识点

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载高中数学选修 4-5 学问点1不等式的基本性质1实数大小的比较 1数轴上的点与实数之间具有一一对应关系2设 a.b 为两个实数,它们在数轴上所对应的点分别为a.b.当点 a 在点b 的左边时, a<b；当点 a 在点 b 的右边时, a>b3两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系不等式的意义 a>b. a b>0ab. a b 0 a<b. ab<04两个实数比较大小的步骤作差；变形；判定差的符号；结论2不等关系与不等式1不等号有, >, <,共 5 个2相等关系和不等关系任意给定两个实数,它们之间要么相等,要

2、么不相等现实生活中的两个量从严格意义上说相等为特别的.相对的,不等为普遍的.确定的,因此绝大多数的量都为以不等关系存在的3不等式的定义：用不等号连接起来的式子叫做不等式4不等关系的表示：用不等式或不等式组表示不等关系 3.不等式的基本性质1对称性： a>b. b<a；2传递性： a>b, b>c. a>c；3可加性： a>b, c r. ac>b c；4加法法就： a>b, c>d. a c>bd；5可乘性： a>b, c>0. ac>bc；a>b, c<0. ac<bc；6乘法法就： a>b

3、>0,c>d>0. ac>bd； 7乘方法就： a>b>0,nn 且 n2. an >bn ；8开方法就： a>b>0,nn 且 n2.n a> n b.（ 9）倒数法就,即a>b>0. 1 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1重要不等式a<b.2基本不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载定理 1：假如 a, br,那么 a2 b2 2ab,当且仅当 ab 时,等号成立2基本不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1定理 2：假如 a,b>0,那么 ab时,等号成立2ab

4、ab2ab,当且仅当 a b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2定理 2 的应用：对两个正实数x,y,假如它们的和s 为定值,就当且仅当xy 时,它们的积p 取得最大值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.最大值为 s4假如它们的积p 为定值,就当且仅当xy 时,它们的和s 取得最小值,最小值为 2p.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3基本不等式abab2的几何说明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如图,ab 为 o 的直径,c 为 ab 上任意一点,de 为过 c 点垂直 ab 的弦如abaca,bcb,就 ab ab, o 的半径 r2,

5、rt acd rt dcb,2cd2ac·bcab,cdab,cdr.ab ab当且仅当 c 点与 o 点重合时, cdrab ,即abab22.4几个常用的重要不等式1假如 a r,那么 a20,当且仅当 a 0 时取等号；（ a b） 22假如 a, b>0,那么 ab4,当且仅当 ab 时等号成立1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3假如 a>0,那么 aa 2,当且仅当 a1 时等号成立 ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab4假如 ab>0,那么 2,当且仅当 a b 时等号成立3三个正数的算术 -几何平均不等式3331假如 a

6、.b.cr ,那么 a b c 3abc,当且仅当 a b c 时,等号成立精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2定理 3假如 a.b.cr ,那么abc3 3 abca b c33abc,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当且仅当 a b c 时,等号成立即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3假如 a1,a2, an r,那么a1 a2 annna1a2an,当且仅当精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1 a2 an 时,等号成立即对于n 个正数 a1,a2, an,它们的算术平均不小于它们的几何平均二确定值

7、不等式1确定值三角不等式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1确定值及其几何意义a（ a0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1确定值定义： |a|a（a<0）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2确定值几何意义：实数a 的确定值 |a|表示数轴上坐标为a 的点 a 到原点o 的距离 |oa|.3数轴上两点间的距离公式：设数轴上任意两点a,b 分别对应实数x1,x2,就|ab | |x1x2|2确定值三角不等式1定理 1：假如 a,b 为实数,就 |a b| |a| |b|,当且仅当 ab0 时,等号成立推论 1： 假如 a, b 为实数,那么 |a|b|

8、 |ab|a|b|.推论 2： 假如 a, b 为实数,那么 |a|b| |ab|a|b|.2定理 2： 假如 a,b,c 为实数,那么 |ac|a b|bc|,当且仅当 a bbc0 时,等号成立2确定值不等式的解法1|x|<a 与|x |>a 型不等式的解法设 a>0,就1|x |<a. a<x<a； 2|x|a. axa； 3|x|>a. x<a 或 x>a； 4|x|a. x a 或 xa2|axb|cc>0与|ax b|cc>0型不等式的解法1|axb| c. c axbc；2|axb| c. axb c 或 ax b

9、 c3|xa|x b|c 与|x a| |x b| c 型不等式的解法1利用确定值不等式的几何意义求解,表达数形结合思想,懂得确定值的几何意义,给确定值不等式以精确的几何说明2以确定值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零点分段法”求解,表达分类争论的思想确定各个确定值号内多项式的正.负号,进而去掉确定值号3通过构造函数,利用函数的图象求解,表达了函数与方程的思想正确求出函数的零点并画出函数图象有时需要考察函数的增减性为关键注： 确定值的几何意义1|x|的几何意义为数轴上点x 与原点 o 的距离； 2|x a|x b|的几何意义为数轴上点x 到点 a 和点 b 的距离之和； 3|x a|

10、x b|的几何意义为数轴上点x 到点 a 和点 b 的距离之差 2 绝 对 值 不 等 式 的 几 何 意 义 1|x|aa>0的几何意义为以点a 和 a 为端点的线段, |x| a 的解集为 a,a2|x|>aa>0的几何意义为数轴除去以点a 和 a 为端点的线段后剩下的两条射线, |x|>a 的解集为 , aa, 3解含确定值不等式的关键为去掉确定值变形为不含确定值的不等式组精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求解例题：例如：分类争论法：即通过合理分类去确定值后再求解；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 1： 解不等式 x1x25 ；精品学习

11、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载分析 : 由 x10 , x20 ,得 x1 和 x2 ；2 和1把实数集合分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载成三个区间,即 x2 ,2x1, x1,按这三个区间可去确定值,故可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载按这三个区间争论；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解: 当 x-2 时,得x2 x1 x25,解得：3x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当-2 x 1 时,

12、得2x1、,解得：2x1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 x1 x25精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x1时,得x1、 x1x25.,解得： 1x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载综上,原不等式的解集为x3x2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 2：解不等式 |2x 4|3x9|<1.解： 当 x>2 时,原不等式可化为 x>2,（2x4）（ 3x 9） <1, 解得 x>2.当 3x2 时,原不等式可化为3 x2,（ 2x 4）（ 3x9）<1,

13、6解得 5<x2.当 x< 3 时,原不等式可化为x<3,（ 2x 4）（ 3x9）<1, 解得 x< 12.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5综上所述,原不等式的解集为x|x< 12 或 x> 6 其次讲证明不等式的基本方法一比较法比较法主要有 1.作差比较法2.作商比较法 1 作 差 比 较 法 简 称 比 差 法 1作差比较法的证明依据为： a>b. ab>0；ab. a b0；a<b. ab<0. 2基本步骤为：作差；变形；判号；结论 2作商比较法 简称比商法 aaa1作商比较法的证明依据为： 当 b>

14、;0 时,b>1. a>b； 1. ab； <1. a<b.bb2基本步骤为：作商；变形；比较与1 的大小；结论留意： 对作差比较法的懂得1在证明不等式的各种方法中,作差比较法为最基本.最重要的方法作差比较法为通过确定不等式两边的差的符号来证明不等式的,因而其应用特别广泛2不等式差的符号为正为负,一般必需利用不等式的性质经过变形才能判定,其中变形的目的在于判定差的符号,而不必考虑差的值为多少变形的方法主要有配方法.通分法.因式分解法等3作差比较法,主要适用于不等式两边为整式或分式型的有理不等式的证明4在判定不等式两边的式子同号的条件下,假如直接作差不易变形,可以借助不等

15、式性质作平方差或立方差,进行证明2对作商比较法的懂得 1使用作商法证明不等式a>b 时,肯定要留意 b>0 这个前提条件 如 b<0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab<1. a>b,a1. a b, bab>1. a<b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2当欲证明的不等式的两边为乘积形式.指数幂形式,不同底的对数式形式时,常用作商法证明精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1综合法二综合法与分析法精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一般地,从已知条件动身,利用定义.公理.定理.性质等,经过一系列的推理.

16、论证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法综合法又叫顺推证法或由因导果法2分析法证明命题时,从要证的结论动身,逐步寻求使它成立的充分条件,直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实定义.公理或已证明的定理. 性质等 ,从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法这为一种执果索因的思考和证明方法留意:1用综合法证明不等式的规律关系a. b1. b2. bn. b由已知逐步推演不等式成立的必要条件,从而得结论2用分析法证明不等式的规律关系精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.b1.b2.bn .b由结论步步寻求不等式成立的充分条件,从而到已知 3综合法和分析法的比较 1相同点：都为直

17、接证明 2不同点：综合法：由因导果, 形式简洁,易于表达；分析法：执果索因,利于摸索,易于探究4证明不等式的通常做法常用分析法找证题切入点,用综合法写证题过程三反证法与放缩法1反证法证明不等式时,第一假设要证的命题不成立,以此为动身点,结合已知条件,应用公理.定义.定理.性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件或已证明的定理.性质.明显成立的事实等冲突的结论,以说明假设不正确,从 而证明原命题成立我们把它称之为反证法2放缩法证明不等式时, 通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法3换元法将所证的不等式的字母作适当的代换,以达到简化证题过程

18、的目的,这种方法称为换元法注 意 ： 1关于反证法 1反证法的原理为否定之否定等于确定即 第一次否定 在假设中,否定了结论其次次否定 通过推理论证,又否定了假设2反证法的使用范畴一般以下几种情形相宜使用反证法：结论本身为以否定形式显现的一类命题；有关结论为以“至多”或“至少”的形式显现的一类命题；关于唯独性.存在性的命题；结论的反面为比原结论更详细.更简洁争论的命题3使用反证法的主要步骤4精确地作出反设为反证法证题的前提,下面为常用词语的反设精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载原结论反设原结论反设为不为至少有一个一个也没有至少有一个都为至多有一个至少有两个不为大于小于等于至少有 n

19、个至多有 n 1个小于大于等于至多有 n 个至少有 n 1个精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对全部 x成立至少有一个 x不成立p 或 q非 p 且非 q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对任何 x不成立至少有一个 x成立p 且 q非 p 或非 q精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5运用反证法的五点说明反设时肯定不能把“假设”写成“设”当结论的反面有多种可能时,必需全部列出,否就证明为不完整的必需从结论的否定动身进行推理,就为肯定把结论的否定作为推理的条件,只要推理中没有用到“假设”就不为反证法最终导出的冲突为多样的,可能与已知冲突.与假设冲突.与定义.定理

20、.公式冲突.与已知的事实冲突等,但冲突必需为明显的反证法为一种间接证明的方法 2关于放缩法 1放缩法证明不等式的理论依据有：不等式的传递性；等量加不等量为不等量其中减去一个正数值变小缩,加上一个正数值变大 放；同分子 分母异分母 分子的两个分式大小的比较；基本不等式与确定值三角不等式；三角函数的有界性等2运用放缩法证题的关键为：放大或缩小要适当,千万不能放缩过头,否就问题无法获证 3使用放缩法的常用变形放缩法为不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必需有目标,而且要恰到好处,目标往往从要证明的结论考虑常用的放缩法有增项.减项.利用分式的性质.利用不等式的性质.利用已知不等式.利用函数的性质等进

21、行放1 231 21111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n2n缩比如：a24> a2；<（ n 1）nn 且 n2； n2>n（ n 1）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n n* ； 1 <2nn 且 n 2, 1 >2；当 a>b>0,m>0 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载nabb m,nn1am等nnn 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a<a mb> mb第三讲柯西不等式与排序不等式1二维形式的柯西不等式如 a, b,

22、c, d 都为实数,就 a2 b2c2 d2 ac bd2,当且仅当adbc时,等号成立2柯西不等式的向量形式设 ,为两个向量, 就|·|,当且仅当 为零向量, 或存在实数 k,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载使 k时,等号成立3二维形式的三角不等式1122设 x1 ,y1,x2,y2 r,那么x2 y2x2y2（x1 x2）2（ y1 y2）2.留意：1二维柯西不等式的三种形式及其关系定理 1 为柯西不等式的代数形式, 定理 2 为柯西不等式的向量形式,定理 3为柯西不等式的三角形式依据向量的意义及其坐标表示不难发觉二维形式的柯西不等式及二维形式的三角不等式均可看作为

23、柯西不等式的向量形式的坐标表示2懂得并记忆三种形式取“ ”的条件1代数形式中当且仅当adbc 时取等号2向量形式中当存在实数k,k或 0 时取等号3三角形式中当p1,p2, o 三点共线且 p1, p2 在原点 o 两旁时取等号1a2 b2·c2d2 |ac bd|.2a2 b2·c2d2 |ac| |3a2 b2·c2d2 acbd.3把握二维柯西不等式的常用变式bd|.4abcd acbd2.4基本不等式与二维柯西不等式的对比1基本不等式为两个正数之间形成的不等关系二维柯西不等式为四个实数之间形成的不等关系,从这个意义上讲,二维柯西不等式为比基本不等式高一级的

24、不等式2基本不等式具有放缩功能,利用它可以比较大小,证明不等式,当和或积为定值时,可求积 或和的最值,同样二维形式的柯西不等式也有这些功能, 利用二维形式的柯西不等式求某些特别函数的最值特别有效二一般形式的柯西不等式1三维形式的柯西不等式123123设 a1,a2, a3, b1, b2, b3 为实数,就 a2a2a2b2b2 b2a1b1a2 b2 a3b32,当且仅当 bi 0i 1, 2,3或存在一个数 k,使得 ai kbi i 1, 2, 3时,等号成立2一般形式的柯西不等式设 a1, a2, a3, an,b1, b2, b3, bn 为实数,就 a2 a2 a2b212n122

25、2 b2 bn a1b1 a2b2 anbn ,当且仅当bi 0i1,2, n或存在一个数 k,使得 ai kbi i 1, 2, n时,等号成立留意：1对柯西不等式一般形式的说明：一般形式的柯西不等式为二维形式.三维形式.四维形式的柯西不等式的归纳与推广, 其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结,左边为平方和的积,右边为积的和的平方运用时的关键为构造出符合柯西不等式的结构形式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2关于柯西不等式的证明：对于函数fxa1 xb12 a2x b22 an x bn2,明显fx0 时xr 恒成立,n即 fx a21 a2 a2x2 2a1b1 a2b2 a

26、nbn x b12 b2 nb20 对 x r 恒成立,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4a1b12 22222222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a b anbn 4a1a2 anb1 b2 bn 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4a21a2221221 12 2n n 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载除以得 an ·bb bn ab ab a b .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3一般形式柯西不等式成立的条件：由柯西不等式的证明过程可知0. f xmin 0. a1x b1 a2x b2 精品学习资料

27、精选学习资料 - - - 欢迎下载anxbn 0. b1b2 bn 0,或 4柯西不等式的几种常见变形：a1a2anbb.12bn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222221设 a1a2 anb1b2 bn 1,就 1a1b1a2b2 anbn1；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a12n222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2设 ai r i1,2, 3, n,就a ana1 a2 ann；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载aa22123设 ai r,bi>0i1,2,3, ,n,就2（

28、 a1a2 an） 2an；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b1b2aa12bb4设 ai bi>0i 1,2,3, n,就12bnb1 b2 bnan（a1a2 an） 2bna1b1 a2b2 anbn.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三排序不等式1乱序和.反序和.次序和设 a1 a2 an,b1b2 bn 为两组实数,c1,c2, ,cn 为 b1,b2, ,bn 的任一排列,称a1c1a2c2 a3c3 an cn 为乱序和, a1bn a2 bn 1a3bn 2 anb1 为反序和, a1b1 a2b2a3b3 an bn 为次序和2排序不等式 又称

29、排序原理 设 a1 a2 an,b1b2 bn 为两组实数,c1,c2, ,cn 为 b1,b2, ,bn 的任一排列,那么a1bn a2bn 1 anb1a1c1a2c2 ancn a1b1a2b2 anbn,当且仅当 a1a2 an 或 b1b2 bn 时,反序和等于次序和3排序原理的简记反序和乱序和次序和第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法1数学归纳法的定义一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0 的全部正整数n 都成立时,可以用以下两个步骤：1证明当 nn0 时命题成立2假设当 n kk n且 kn0时命题成立,证明当 nk1 时命题也成立 在完成了这两个步骤后,就可以确定命

30、题对于不小于n0 的全部正整数都成精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载立,这种证明方法称为数学归纳法2数学归纳法的适用范畴适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题3数学归纳法的步骤1归纳奠基 验证当 nn0n0 为命题成立的起始自然数时命题成立；2归纳递推 假设当 nkkn ,且 k n0 时命题成立,推导nk1 时命题也成立3结论：由 12可知,命题对一切n n0 的自然数都成立留意：用数学归纳法证明,关键在于两个步骤要做到“递推基础不行少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”,因此必需留意以下三点：1验证为基础数学归纳法的原理说明：第一个步骤为要找一个数n0,这 个 n0 就为我们要

31、证明的命题对象的最小自然数,这个自然数并不肯定就为“1”,因此“找准起点,奠基要稳”为正确运用数学归纳法要留意的第一个问题2递推为关键数学归纳法的实质在于递推, 所以从 “k”到“ k 1”的过程,必需把归纳假设“ nk”时命题成立作为条件来导出“ n k1”时命题成立, 在推导过程中,要把归纳假设用上一次或几次,没有用上归纳假设的证明不为数学归纳法3正确寻求递推关系数学归纳法的其次步递推为至关重要的,那么如何查找递推关系呢？在第一步验证时,不妨多运算几项,并正确写出来,这样对发觉递推关系为有帮忙的；探求数列的通项公式时,要善于观看式子或命题的变化规律,观看n 处在哪个位置；在书写fk 1时,肯定要把包含fk 的式子写出来,特别为fk中的最终一项除此之外,多了哪些项,少了哪些项 都要分析清晰二用数学归纳法证明不等式举例1数学归纳法证明不等式1用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤证明：当 n 取第一个值 n0 时结论成立；假设当 n kk n,且 kn0时结论成立,证明当nk 1 时结论也