2022年2022年高中数学复习专题讲座充要条件的理解及判定方法

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载高中数学复习专题讲座充要条件的懂得及判定方法高考要求充分条件.必要条件和充要条件为重要的数学概念,主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系本节主要为通过不同的学问点来剖析充分必要条件的意义,让考生能精确判定给 定的两个命题的充要关系重难点归纳1 要懂得“充分条件” “必要条件” 的概念当 “如 p 就 q”形式的命题为真时,就记作 pq, 称 p 为 q 的充分条件, 同时称 q 为 p 的必要条件, 因此判定充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假2 要懂得 “充要条件” 的概念,对于符号“”要熟识它的各种同义词语“等价于”,“当且仅当

2、”,“必需并且只需”,“,反之也真”等3 数学概念的定义具有相称性,即数学概念的定义都可以看成为充要条件,既为概念的判定依据,又为概念所具有的性质4 从集合观点看,如ab ,就 a 为 b 的充分条件,b 为 a 的必要条件；如a=b ,就 a .b 互为充要条件5 证明命题条件的充要性时,既要证明原命题成立即条件的充分性,又要证明它的逆命题成立 即条件的必要性典型题例示范讲解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x例 1 已知 p|131|2、q:x2 2x+1 m20m>0、 如.p 为 .q 的必要而不充分条件,求实数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m 的取值

3、范畴命题意图此题以含肯定值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象,同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用,强调了学问点的敏捷性学问依靠此题解题的闪光点为利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化,使考生对充要条件的难懂得变得简洁明白错解分析对四种命题以及充要条件的定义实质懂得不清楚为解此题的难点,对否命题,同学本身存在着语言懂得上的困难技巧与方法利用等价命题先进行命题的等价转化,搞清楚命题中条件与结论的关系,再去解不等式,找解集间的包含关系,进而使问题解决解由题意知命题如 .p 为. q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为p 为 q 的充分不必要条件精品学习资料精选学习资料 -

4、 - - 欢迎下载xp:|131x| 2 231x 1 2 131 3 2x 10精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q:x2 2x+1 m2 0x 1 m x 1+m 0*p 为 q 的充分不必要条件,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x不等式 |131| 2 的解集为x2 2x+1 m2 0m>0 解集的子集精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 m>0不等式 *的解集为1 m x 1+m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1m21m10m1m9 , m 9,精品学习资料精选

5、学习资料 - - - 欢迎下载实数 m 的取值范畴为9, + 例 2 已知数列 an 的前 n 项 sn=pn+qp 0、p1、求数列 an 为等比数列的充要条件命题意图此题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性学问依靠以等比数列的判定为主线,使此题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系,严格利用定义去判定错解分析由于题目为求的充要条件,即有充分性和必要性两层含义,考生很简洁忽视充分性的证明s1 n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载技巧与方法由 an=snsn 1 n2) 关系式去查找an 与 an+1 的比值, 但同时要留意充分性精品学习资料精

6、选学习资料 - - - 欢迎下载的证明解 a1=s1=p+q当 n 2 时, an=snsn 1=pn 1p 1pn p1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p 0、p1、p n 1 p1 =p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2如an 为等比数列,就a1an 1an=p精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p pp1q=p、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p 0, p 1=p+q , q= 1这为 an 为等比数列的必要条件下面证明q= 1 为 an 为等

7、比数列的充分条件当 q= 1 时, sn=pn 1p 0、p 1, a1=s1=p 1当 n 2 时, an=snsn 1=pn pn 1=pn 1p 1an=p 1pn 1p 0、p 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载anan 1 p1 p n p1 p n12=p 为常数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q= 1 时,数列 an 为等比数列即数列an 为等比数列的充要条件为q=1例 3 已知关于 x 的实系数二次方程x2+ax+b=0 有两个实数根 . ,证明 | |<2 且| |<2 为 2|a|<4+b 且|b|<4 的充要条件证明 1

8、）充分性由韦达定理,得|b|=| · |=| |· | | 2× 2=4设 fx=x2+ax+b、 就 fx 的图象为开口向上的抛物线又| | 2、| | 2、f ± 2>0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4即有42ab02ab04+b>2a> 4+b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载又|b| 44+b>02|a| 4+b2 必要性由 2|a| 4+bf ± 2>0 且 fx 的图象为开口向上的抛物线方程 fx=0 的两根 , 同在 2, 2）内或无实根 , 为方程 fx=

9、0 的实根, , 同在 2, 2）内,即 | |2 且| | 2例 4 写出以下各命题的否定及其否命题,并判定它们的真假.（1）如 x.y 都为奇数,就x+y 为偶数；（2）如 xy=0 ,就 x=0 或 y=0 ；（3）如一个数为质数,就这个数为奇数.解：（ 1）命题的否定：x .y 都为奇数,就x+y 不为偶数,为假命题.原命题的否命题：如x. y 不都为奇数,就x+y 不为偶数,为假命题.（2）命题的否定：xy=0 就 x 0 且 y 0,为假命题 .原命题的否命题：如xy 0,就 x 0 且 y 0,为真命题 .（3）命题的否定：一个数为质数,就这个数不为奇数,为假命题.原命题的否命题

10、：如一个数不为质数,就这个数不为奇数,为假命题.例 5 有 a .b.c 三个盒子,其中一个内放有一个苹果,在三个盒子上各有一张纸条. a 盒子上的纸条写的为“苹果在此盒内”,b 盒子上的纸条写的为“苹果不在此盒内”,c 盒子上的纸条写的为“苹果不在a 盒内” .假如三张纸条中只有一张写的为真的,请问苹果到底在哪个盒子里？解：如苹果在a 盒内,就 a .b 两个盒子上的纸条写的为真,不合题意.如苹果在 b 盒内,就 a .b 两个盒子上的纸条写的为假,c 盒子上的纸条写的为真,符合题意,即苹果在b 盒内 .同样,如苹果在c 盒内,就b.c 两盒子上的纸条写的为真,不合题意.综上,苹果在b 盒内

11、 .同学巩固练习1 函数 fx=x|x+a|+b 为奇函数的充要条件为aab=0ba+b=0ca=bda2+b2=02 “ a=1”为函数y=cos2ax sin2ax 的最小正周期为“ ”的 a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既非充分条件也不为必要条件3 a=3 为直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+a 1y=a 7 平行且不重合的 4 命题 a 两曲线 fx、y=0 和 gx、y=0 相交于点px0、y0、 命题 b 曲线 fx、y+ gx、y=0 为常数 过点 px0、y0、 就 a 为 b 的 条件5 设 , 为方程 x2 ax+b=0 的两个实根,试分析a&g

12、t;2 且 b>1 为两根 . 均大于 1 的什么条件？精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a16 已知数列 an .bn 满意 bn=12a223nan n、求证数列 an 成等差数列的充要条件为数精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载列 bn 也 为 等 差 数 列7 已知抛物线cy= x2+mx 1 和点 a3 , 0, b0 , 3,求抛物线c 与线段 ab 有两个不同交点的充要条件8 p:2<m<0、0<n<1;q: 关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有 2 个小于 1 的正根, 试分析 p 为 q 的什么精品学习资料精选学习资料

13、- - - 欢迎下载学习必备欢迎下载条件 充要条件 参考答案1 解析如 a2+b2=0、即 a=b=0、此时 f x= x|x+0|+0= x · |x|= x|x+0|+b= x|x+a|+b= fxa2+b2=0 为 fx 为奇函数的充分条件,又如fx=x|x+a|+b为奇函数,即f x= x| x+a|+b= fx、 就必有 a=b=0、 即 a2+b2=0a2+b2=0 为 fx 为奇函数的必要条件答案d2 解析如 a=1、就 y=cos2x sin2x=cos2x、 此时 y 的最小正周期为故 a=1 为充分条件, 反过来,由 y=cos2ax sin2ax=cos2ax

14、故函数 y 的最小正周期为、就 a=± 1、故 a=1 不为必要条件答案a3 解析当 a=3 时,直线l1:3x+2y+9=0; 直 线 l2:3x+2y+4=0l1 与 l2 的 a1 a2=b1 b2=1 1,而 c1 c2=9 4 1、即 c1c2、 a=3l1 l2答案充要条件4 解析如 px0、y0 为 fx、y=0 和 gx、y=0的交点,就 fx0、y0+ gx0、y0=0 ,即 fx、y+ gx、y=0 ,过 px0、y0;反之不成立答案充分不必要5 解依据韦达定理得a= + 、b= 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a判定的条件为p:b211 ,结论为q

15、:1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意 p 中 a.b 满意的前提为 =a2 4b 011 由1,得 a= +>2、b= >1、 qp111精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 为证明 pq、可以举出反例取 =4、 = 2、它满意a= +=4+ 2 >2、b= =4× 2=2>1、 但精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载q 不成立综上争论可知a>2、b>1 为 >1、>1 的必要但不充分条件6 证明必要性设an 成等差数列,公差为d、 an 成等差数列精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b

16、a12a2nnana1 12nd1 22 3n1n精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载123n1nn精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1n1) 2 d3222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载从而 bn+1bn=a1+n · 3 d a1 n 13 d= 3 d2故bn 为等差数列,公差为3 d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载充分性 :设bn 为等差数列,公差为d 、就 bn=n 1dbn1+2+n=a1+2a2+nanbn 11+2+n 1=a1+2a2+n 1an精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载得na

17、n=n n1b2nnn21bn 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1n1n1n13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载anbnbn 1b1n1d b1n2d b1n1d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222223从而得 an+1an= 2 d为常数,故an 为等差数列综上所述,数列an 成等差数列的充要条件为数列bn 也为等差数列7 解 必要性由已知得,线段ab 的方程为 y= x+30 x3由于抛物线c 和线段 ab 有两个不同的交点,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y所以方程组yx2mx1x30x3) * 有两个不同的实数解精品学习资料

18、精选学习资料 - - - 欢迎下载消元得 x2 m+1x+4=00 x 3设 fx=x2 m+1x+4、 就有精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m12440精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载f 040f 393m140精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0m1323m103精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载充分性10当 3 x 3 时,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m1x1=m1 2162m1m21 2>0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m1 mx221 216101

19、310321 2163精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方程 x2 m+1x+4=0有两个不等的实根x1、x2、 且 0x1 x2 3、方程组 * 有两组不同的实数解因此,抛物线y= x2+mx 1 和线段 ab 有两个不同交点的充要条件为103 m 38 解 如关于 x 的方程 x2+mx+n=0 有 2 个小于 1 的正根,设为x1、x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载学习必备欢迎下载就 0 x1 1、0 x2 1、有 0x1+x2 2 且 0 x1x2 1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载依据韦达定理x1x2 x1 x2nm0m2得0n1精品学习资

20、料精选学习资料 - - - 欢迎下载有 2 m 0;0 n 1 即有 qp精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1、n反之,取m= 31211、 xx0、 23211492 0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载方程 x2+mx+n=0 无实根,所以pq 综上所述, p 为 q 的必要不充分条件课前后备注1.已知 p 为 r 的充分不必要条件,s 为 r 的必要条件, q 为 s 的必要条件,那么p 为 q 成立的a. 充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分也不必要条件解析：依题意有pr, rs, sq, prsq.但由于 rp, qp.答案： a精品学习资

21、料精选学习资料 - - - 欢迎下载32. “ cos2 =25”为“ =k + 12, k z ”的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a. 必要不充分条件b. 充分不必要条件c.充分必要条件d. 既不充分又不必要条件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3解析： cos2 =2答案： a52 =2k ±65=k ± 12 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3.在 abc 中,“ a b”为“ cosa cosb”的a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c.充要条件d. 既不充分也不必要条件解析：在 abc 中, a bcosa cosb（余弦函数单调性）.答案： c4.命题 a ：两曲线f（x , y ） 0 和 g（ x , y） =0 相交于点p（x0, y0）,命题b：曲线 f（x , y ） +g（x,