2022年2022年高中数学习题解析精编---平面向量

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载平面对量题解精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载一.挑选题1（安徽卷） 假如a1b1c1 的三个内角的余弦值分别等于a2 b2c2 的三个内角的正弦值,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就aa1 b1c1 和a2 b2 c2 都为锐角三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ba1 b1c1 和a2 b2 c2 都为钝角三角形ca1 b1c1 为钝角三角形,a2b2c2 为锐角三角形da1 b1c1 为锐角三角形,a2 b2 c2 为钝角三角形精品学习资料精选学习资料 - - - 欢

2、迎下载解：a1 b1c1 的三个内角的余弦值均大于0,就a1b1c 1 为锐角三角形,如a2 b2 c2 为锐角精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三角形,由sin a2 sin b2cos a1 cos b1sin2sin2a1a2b1 ,得b2a12b1 ,那么,a22b2c2,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin c2cosc1sin2c1 c2c12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以a2 b2c2 为钝角三角形；应选d；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（福建卷） 已知 oa =1,

3、 ob =3 、 oamob =0、 点 c 在 aob 内,且 aoc =30°,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 oc =m oa +n ob m.nr ,就等于n13精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.b.3c.33d.3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析： oa1、 ob3、 oa.ob0、 点 c 在 ab 上,且aoc30 o ；设 a 点坐标精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为 1 , 0 , b点 的 坐 标 为 0 ,3 , c点 的 坐 标 为 x , y=3,

4、3 ,44精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ocmoanobm、 nr ,就m=3 , n=1 , m =3,选 b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载44n以 | oc |、 m | oa |、 n | ob | 为三边作一个三角形,就为直角三角形；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载tan 30n| ob |m | ob |tan 303精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载m| oa |n | oa |精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3（福建卷） 已知向量 a 与 b 的夹角为 120o , a3、 ab13、 就 b 等于精品学习

5、资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ a） 5（ b） 4（ c） 3（ d） 1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：向量 a 与 b 的夹角为 120o , a3、 ab13、ab| a | | b | cos1203 | b | ,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| ab |2| a |22a b| b |2 ,1393|b | b |2 ,就 b = 1舍去 或 b =4,选 b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4（湖北卷） 已知向量 a3、1 ,

6、 b 为不平行于x 轴的单位向量,且a b3 ,就 b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a（3 、 1 ）b（ 1 、3 ）c（ 1 3 3）d（01、）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载、222244精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 设 b （ x , y）,就有3xy3且x2y21y0 解得 x1, y23,选 b2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a5（湖北卷） 已知非零向量a.b,如 a2b 与 a2b 相互垂直,就b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11a.b.4c.42d

7、. 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 由 a 2b 与 a2b 相互垂直（ a 2b） （ a2b） 0a2 4b2 0即|a|2 4|b|2|a| 2|b|,应选 d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6（湖南卷） 已知 | a |2|角的取值范畴为b |0 、 且关于 x 的方程x2| a | xa b20 有实根 、 就 a 与 b 的夹精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a.0、b.、c.63、 33d.、 6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：| a |2 | b |0、且关于 x

8、的方程 x 2| a | xa b0 有实根,就| a |24a b 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设向量a、 b 的夹角为, cos= a b| a | | b |1 | a |241 | a |221, 、23 ,选 b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7 （ 辽 宁 卷 ）abc的 三 内 角a、 b 、c所 对 边 的 长 分 别 为a、 b、 c设 向 量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pac、 b

9、、 qa6ba、ca 、如b3p / q 、就角 c 的大小为c22d3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【 解 析 】p / qacca1bba b2a 2c2ab , 利 用 余 弦 定 理 可 得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 c o sc,1 即coscc,故挑选答案b ；23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载8 （辽宁卷）设 o 0、0 、 a1、0 、 b 0、1 、 点 p 为线段ab 上的一个动点、 apab 、 如opabpa pb 、就实数的取值范畴为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1(a) 1(b) 1211c12d

10、1212精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载222222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【解析】apabop1oaob1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pbabap1 ab1、1、 apab、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载opabpa pb1、1、1、1、122410精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得 : 1221、因点 p 为线段ab 上的一个动点、所以 01、 即满意条件的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载实数的取值范畴为1221、故挑选答案b.精品学习资料

11、精选学习资料 - - - 欢迎下载【点评】此题考查向量的表示方法、向量的基本运算、定比分点中定比的范畴等等.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9（辽宁卷） 已知等腰 abc的腰为底的2 倍,就顶角a 的正切值为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载323151587精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 依题意,结合图形可得atan15 ,故 tana2 tan a22151515 ,选 d精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2151tan2 a115 27精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21510（全国卷i ）abc 的内角 a.b

12、. c 的对边分别为a. b.c ,如 a.b.c 成等比数列,且 c2a ,就 cos b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 14b 34c 24d 23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：abc 中, a.b.c 成等比数列,且c2 a ,就 b=2 a,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosba2c2 2acb2a2=4a24a22a23,选 b.4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11（四川卷） 如图,已知正六边形p1p2 p3p4 p5p6 ,以下向量的数量精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载积中最大的为精品学习资料精选

13、学习资料 - - - 欢迎下载（ a ） p1p2p1p3（b ） p1p2p1p4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ c）p1p2p1p5（d ） p1p2p1p6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解 析 ： 如 图 , 已 知 正 六 边 形p1 p2p3 p4 p5 p,633a 2设 边 长| p1p2 |a , 就 p2 p1p3=. ,6精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载| p1p3 |3a、p1p2 、 p1p3=a3a, 1 21 522p2p1p4

14、=,| p1p43|2a,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1p1p2 、 p1p4 = a 2a2选 a.a2 , pp 、 pp =0,p1p2 、 p1p6 <0,数量积中最大的为p1p2 、 p1p3 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载12（四川卷）设a、 b、 c 分别为abc 的三个内角a、 b、 c 所对的边,就a2b bc为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a2b 的（ a ）充要条件（ b）充分而不必要条件（ c）必要而充分条件（ d）既不充

15、分又不必要条件精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析： 设 a 、b、 c 分别为abc 的三个内角a、 b、 c 所对的边,如a2b bc,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就 sin2 asin bsin bsin c ,就1cos 2a1cos 2 bsinb sin c ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 cos 2 b2cos2 asin22b sin c , sin basinab sinb sin c ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

16、又 sin ab sin c ,sin absinb ,abb , a2 b ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如 abc 中, a2 b ,由上可知,每一步都可以逆推回去,得到a2b bc,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以 a2b bc为 a2b 的充要条件,选a.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载13（浙江卷） 设向量a、b、 c 满意abc0 、 ab、| a |1、| b |2 、就 | c |2精品学习资

17、料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1b2c4d5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 由 abc0abc ,故 | c |2ab 2| a |22a b| b |2 5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载14 重庆卷 与向量 a=7、 1、 b1、 7的夹解相等,且模为1 的向量为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a4、32 22 2b4 、3或4 、 3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载555555精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ c）22 、133（ d）22 、1或33221

18、、33精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：与向量a7 、 1、b1 、7的夹角相等,且模为1的向量为x , y ,就精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x2y21x4x4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载7117,解得5或5 ,选 b.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xyxy 2222y3y355精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二.填空题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载15.（北京卷） 如三点a2、2、b a、0、c

19、 0、 b ab0 共线, 就11的值等于 .ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： ab（ a2, 2）, ac（ 2, b2） ,依题意,有（ a2） （ b 2） 4 0,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 ab 2a 2b 0 所以111ab2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载16（北京卷） 如三点 a2 , 2 ,b a、0、c0、4共线,就a 的值等于；解： ab （ a 2, 2）, ac （ 2, 2）,依题意,向量ab 与 ac 共线,故有2（ a2） 40,得 a 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载17. （北京卷）

20、在abc 中,如 sina : sinb : sin c5: 7 :8,就b 的大小为 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：sina : sin b : sin c5: 7 :8a b c 5 7 8 设 a5k , b 7k, c 8k,由余弦定理可精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解得b 的大小为.318. （北京卷） 已知向量 a =cos、sin、 b =cos、sin、 且 ab ,那么 a +b 与 a- b的夹角的大小为.解： a+b（ cos cos, sin sin）, a - b （ cos cos,

21、 sin sin）,设a+b 与 a- b 的夹角为,就 cos0,故2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载19.（江西卷） 已知向量 a1,sin , b1,cos ,就 ab 的最大值为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： ab |sin cos |2 |sin（ 4 ） |2 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载20.（全国ii ） 已知 abc的三个内角a.b.c 成等差数列,且ab 1,bc 4,就边bc上的中线 ad 的长为解析 : 由abc 的三个内角a .b.c 成等差数列可得a+c=2b而 a+b+c=可得b3ad 为边 bc 上的中线可知

22、bd=2、 由余弦定理定理可得ad3 ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载21（.2浙江卷） 设向量 a、b、c 满意 a+b+c=0、a-b c、a b、如 a =1、就 a| b |2 + c 2 的精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载值为【考点分析 】此题考查向量的代数运算,基础题；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab cacbc0acbc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 ： abc、 abab0ab ab0ab0ab1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料

23、 - - - 欢迎下载22cab2222 ,所以abc4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载留意 a+b+c=0、 a-b c 就cab ab ab精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.解答题精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22.（ 湖北卷） 设函数f xa bc ,其中向量 asinx、cos x ,bsinx、3cos x ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ccos x、sin x , xr ；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）.求函数f x 的最大值和最小正周期；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精

24、选学习资料 - - - 欢迎下载（）.将函数f x 的图像按向量d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载求长度最小的d ；点评：本小题主要考查平面对量数量积的运算方法.三角公式.三角函数的性质及图像的基本学问,考查推理和运算才能；解： 由题意得, fx a·b+c=sinx、 cosx s·inx cosx、sinx3cosx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2sinx2sinxcosx+3cosx2+cos2x sin2x2+2 sin2x+ 3.24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以,

25、 fx 的最大值为2+2 ,最小正周期为2.2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）由sin2x+ 343 0 得 2x+4k.,即 x k23、k z ,8精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载于为 d（ k23, 2）, d8 k3 2284 、k z.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由于 k 为整数,要使d 最小,就只有k 1,此时 d（, 2）即为所求 .823.（湖北卷） 设向量 a sinx, cosx , b cosx, cosx , x r,函数 fx a·a b.（）求函数fx 的最大值

26、与最小正周期；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）求使不等式fx3 成立的 x 的取值集；2222精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载fxaaba aa bsinxcos xsin x cos xcos x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（）1132精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1sin 2x（cos2x1）sin2x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22224精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 fx的最大值为32222,最小正周期为；2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）由（）知3323fxsin

27、2 xsin2 x02224243精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2k2 x2kkxk488、 kz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 fx3 成立的 x 的取值集合为23x | kxk88、kz精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载24 （湖南卷） 如图 3、d 为直角 abc 斜边 bc 上一点 、ab=ad、 记 cad=、 abc=.a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载(1) 证明sincos 20 ;(2) 如 ac=3 dc、求的值 .b图 3dc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎

28、下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解： 1 如图 3,222、sinsin22cos 2,2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 sincos 20 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 2）在abc 中,由正弦定理得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载dcac、dc3dc.sin3sin精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sinsinsinsin精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由1 得 sincos 2,sin3cos2312sin 2、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - -

29、 欢迎下载即 23 sin2sin30.解得sin33或 sin精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载23精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载0、sin3 、.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载223精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载25. （四川卷） 已知a、 b 、 c 为三角形abc 三内角, 向量 m1、3 、 ncos a、sin a,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载且 m n1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）求角a ；1sin 2b（）如223 ,求 tan b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载c

30、osbsinb解： 本小题主要考察三角函数概念.同角三角函数的关系.两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式,考察应用.分析和运算才能；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（） m n1 1、3cos a、sin a1即3sin acos a1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 sin a3cos a 11、sina1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2262精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 0a、a5 a a666663精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）由题知12sin b cos b3 ,整理得sin2 bsinb cos b

31、2cos 2 b0精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cos2 bsin 2 b精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 cos b2 或 tan b11 使 cos2bsin2 b0 ,舍去tan b2 tan b而 tan b0 tan2 btan b20精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 tan ctanabtanabtan atan b23853精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1tan a tan b12311精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

32、载26（ 江西卷）在锐角 abc中,角 a, b, c所对的边分别为a, b, c ,已知 sin a22 ,3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（1）求tan2 bcsin 2a的值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）如 a2 , s abc2 ,求 b 的值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：（ 1）由于锐角 abc 中, a b c, sin a221,所以 cosa ,就33精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 -

33、 - - 欢迎下载tan2b c sin 2asin2b c 2 sin 2 a精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22cos2 bc22精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 （ ） 1 cos（ b c）11cos a1 cos a17精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1 cos（ b c）21 cosa3311221精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）由于 sabc2,又 sabcbcsin abc,就 bc3；将 a 2,cosa ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2233精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3c代入

34、余弦定理：ba 2 b2 c22bccos a 中得b 46b290 解得 b3精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载227.（全国 ii ） 已知向量 asin , 1,b 1, cos, 2 （）如 a b,求 ；（）求 a b的最大值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解1.ab、a b0sincos04精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2. absin1、cos1sin12cos12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin22sin1cos22cos12

35、sincos 322 sin34精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 sin =1 时 ab 有最大值 、此时最大值为2232144 ,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载28（天津卷） 如图,在abc 中, ac（1）求 ab 的值；2 , bc1 , cos c3 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（2）求sin 2 ac 的值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载本小题考查同角三角函数关系.两角和公式.

36、倍角公式. 正弦定理.余弦定理等基础学问,考察基本运算才能及分析解决问题的才能.满分 12 分.（）解：由余弦定理,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ab2ac 2bc 22 ac .bc .cos c精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载那么, ab4122132.42.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）解：由cosc3,且 0c4、 得 sin c1cos2 c7 .由正弦定理,4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载abbc、 解得sin abc sin c14；所以,cos a52；由倍角公式精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin csin aab88精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载sin