2022年2022年高中数学二轮专题复习——数形结合思想总结

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载思想方法专题数形结合思想【思想方法诠释】一.数形结合的思想所谓的数形结合,就为依据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数含义,又揭示其几何意义,使数量关系和空间形式奇妙.和谐地结合起来,并充分利用这种“结合”,查找解题思路,使问题得到解决,数形结合为依据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法；数形结合思想通过“以形助数,以数解形”,使复杂问题简洁化,抽象问题详细化,从形的直观和数的严谨两方面摸索问题,拓宽明白题思路,为数学的规律性与敏捷性的有机结合数形结合的实质为将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,关键为代数

2、问题与图形之间的相互转化,它可以使代数问题几何化,几何问题代数化二.数形结合思想解决的问题常有以下几种：1构建函数模型并结合其图象求参数的取值范畴；2构建函数模型并结合其图象争论方程根的范畴；3构建函数模型并结合其图象争论量与量之间的大小关系；4构建函数模型并结合其几何意义争论函数的最值问题和证明不等式；5构建立体几何模型争论代数问题；6构建解析几何中的斜率.截距.距离等模型争论最值问题；7构建方程模型,求根的个数；8争论图形的外形.位置关系.性质等；三.数形结合思想为解答高考数学试题的一种常见方法与技巧,特殊为在解挑选题.填空题时发挥奇妙功效,详细操作时,应留意以下几点：1精确画出函数图象,

3、留意函数的定义域；2用图象法争论方程（特殊为含参数的方程）的解的个数为一种行之有效的方法,值得留意的为第一把方程两边的代数式看作为两个函数的表达式（有时可能先作适当调整,以便于作图）然后作出两个函数的图象,由图求解；四.在运用数形结合思想分析问题和解决问题时,需做到以下四点：1要清晰一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特点；2要恰当设参,合理用参,建立关系,做好转化；3要正确确定参数的取值范畴,以防重复和遗漏；4细心联想“数”与“形”,使一些较难解决的代数问题几何化,几何问题代数化,以便于问题求解；第页 共 17 页- 1 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载【核心要点突破】要点

4、考向1：利用数学概念或数学式的几何意义解题2例 1： 实系数一元二次方程x +ax+2b=0 有两个根,一个根在区间（0, 1）内,另一个根在区间（ 1, 2）内,求：（1）点（ a、b ）对应的区域的面积；（ 2）的取值范畴；22（3） a-1+b-2的值域22思路精析： 列出 a、b 满意的条件画出点a、b对应的区域求面积依据的几何意义求范畴依据 a-1+b-2的几何意义求值域22解析：方程 x +ax+2b=0 的两根在区间 （ 0,1）和（ 1,2）上的几何意义分别为： 函数 y=fx=x +ax+2b与 x 轴的两个交点的横坐标分别在区间（0, 1）和（ 1, 2）内,由此可得不等式

5、组由,解得 a（ -3 , 1）由,解得 c（ -1 ,0）在如下列图的aob 坐标平面内,满意条件的点a、b对应的平面区域为abc（不包括边界） （1） abc的面积为（ h 为 a 到 oa轴的距离）（2）几何意义为点a、b和点 d1、2 边线的斜率由图可知精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（3） a-1+b-2表示的区域内的点a、b与定点 1、2之间距离的平方,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2第页 共 17 页- 2 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载注： 假如等式.代数式的结构包蕴着明显的几何特点,就要考虑用数形结合的思想方法来解题,即所谓的

6、几何法求解,比较常见的对应有：（1） 连线的斜率；（2） 之间的距离；（3） 为直角三角形的三边；（4） 图象的对称轴为x=只要具有肯定的观看才能,再把握常见的数与形的对应类型,就肯定能得心应手地运用数形结合的思想方法要点考向2：用数形结合求方程根的个数,解决与不等式有关的问题2例 2：（1）已知：函数fx满意下面关系：fx+1=fx-1;当 x -1、1时, fx=x、 就方程 fx=lgx解的个数为（）a5b7c9d102 设有函数fx=a+和 gx=、 已知 x -4、0时,恒有 fx gx ,求实数 a 的范畴思路精析：（ 1）画出 fx的图象画出y=lgx的图象数出交点个数（ 2）

7、fx gx 变形为画出的图象画出的图象查找成立的位置解析：（ 1）选 c由题间可知,fx为以 2 为周期,值域为0 ,1 的函数又fx =lgx,就 x（ 0,10 ,画出两函数图象,就交点个数即为解的个数由图象可知共9 个交点（ 2 ） fx gx ,即,变形得,令,第页 共 17 页- 3 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载变形得,即表示以（ -2 , 0）为圆心, 2 为半径的圆的上半圆；表示斜率为,纵截距为1-a 的平行直线系设与圆相切的直线为at,其倾斜角为,就有tan=、要使 fxgx 在 x -4、0时恒成立,就成立所表示的直线应在直线at的上方或与它重合,故有 1

8、-a 6、 a -5 注：（ 1）用函数的图象争论方程（特殊为含参数的指数.对数.根式.三角等复杂方程）的解的个数为一种重要的思想方法,其基本思想为先把方程两边的代数式看作为两个熟识函数的表达式（不熟识时,需要作适当变形转化为两熟识的函数）,然后在同一坐标系中作出两个函数的图象,图象的交点个数即为方程解的个数（2）解不等式问题常常联系函数的图象,依据不等式中量的特点,挑选适当的两个（或多个） 函数,利用两个函数图象的上.下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题,往往可以防止繁琐的运算,获得简捷的解答（3）函数的单调性常常联系函数图象的升.降；奇偶性常常联系函数图象的对称性；最值（值域）常常

9、联系函数图象的最高.最低点的纵坐标要点考向2：数形结合在解析几何中的应用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 3：已知椭圆 c 的中心在原点,一个焦点f 0、2,且长轴长与短轴长的比为2 :1 精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）求椭圆c 的方程；（）如椭圆c 在第一象限的一点p 的横坐标为 1,过点 p 作倾斜角互补的两条不同的直线pa ,pb 分别交椭圆c 于另外两点a , b ,求证：直线ab 的斜率为定值；（）求pab 面积的最大值精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析：（ ）设椭圆y2c 的方程为a2x2b21ab0 精品学习资料精选学习资料 -

10、 - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由题意a 2b2 a : bc2.c2 、2 :1、2 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第页 共 17 页- 4 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载22解得a4 , b2 y2x21精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以椭圆 c 的方程为424分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）由题意知,两直线pa , pb 的斜率必存在,设pb 的斜率为 k ,就 pb 的直线方程为精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y2k x1 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

11、载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y2y2x2k x1.1、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由42得精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2k 2 x22k2k x2k240 .6 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xbk 222k2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 axa 、y a ,b xb 、 yb ,就1 xb2k 2,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载k 222k242 k8 k精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载xa同理可得2 k2kabxaxb,

12、就y ayb22k 2 , y aybk x a1k xb12k 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以直线ab 的斜率xaxb为定值 .8 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）设ab 的直线方程为y2xm .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y2xm、y2x2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由421.得 4 x222mxm240 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载由22m216 m240 ,得m28 .10 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x axb此时2mxaxb2,m244.精品学习资料精选学习资料

13、 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载md2232m12精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p 到 ab 的距离为3 , ab xaxb yayb 2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载1132m1111m2m28精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载s pabab d12mm2 m282精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就222322222.第页 共 17 页- 5 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2由于 m4 使判别式大于零,所以当且仅当m2 时取等号, 所以pab 面积的最大值为2 13 分注： 1数形

14、结合思想中一个特别重要的方面为以数辅形,通过方程等代数的方法来争论几何问题,也就为解析法,解析法与几何法结合来解题,会有更大的功效2此类题目的求解要结合该类图形的几何性质,将条件信息或结论信息结合在一起,观看图形特点,转化为代数语言,即方程（组）或不等式（组）,从而将问题解决要点考向2：数形结合在立体几何中的应用精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载例 4：如图 1、 在直角梯形abcd 中 、adc90、cd / / ab 、 ab4、 adcd2 、m 为线精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载段 ab 的中点 . 将adc 沿 ac 折起 、 使平面 adc平面 abc、

15、 得到几何体dabc 、 如图 2 所示 . 求证 : bc平面 acd ； 求二面角acdm 的余弦值 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解析 : （）在图1 中、 可得acbc22 、 从而ac 2bc 2ab 2 、 故 acbc .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载取 ac 中点 o 连结 do 、 就 doac 、 又面 adc面 abc 、面 adc i面 abcac 、 do面 acd 、 从而 od平面 abc .4 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 odbc , 又 acbc 、 ac iodo .精品学习资料精选学习资料 - - -

16、 欢迎下载 bc平面 acd .6 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）建立空间直角坐标系oxyz 如下列图 、 就 m0、2、0、 c 2、0、0、 d 0、0、2精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuur cmur2、2、0uuur、 cd2、0、2 .8 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 n1 x、 y、 z 为面 cdm 的法向量 、第页 共 17 页- 6 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uruuuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n1 cm02 x2 y0yx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下

17、载uruuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载就n1 cd0 即2 xur2 z0 、 解得zx .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载令 x1 、 可得n11、1、1 .uruururuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uurcosn 、 nn1n213精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 n20、1、0 为面 acd 的一个法向量,12uruur| n1 | n2 |33 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载3二面角acdm 的余弦值为3.注： 1应用空间向量可以解决的常见问题有空间角中的异面直线所成的角.线面角.二面角；位置

18、关系中的平行.垂直及点的空间位置其一般思路为：尽量建立空间直角坐标系,将要证.要 求的问题转化为坐标运算2立体几何问题的求解往往将题目所给信息先转换成几何图形性质,结合该类图形的几何性质,将条件信息和结论信息结合在一起,观看图形特点,为代数法求解找到突破口【跟踪模拟训练】一.挑选题（每道题6 分,共 36 分）1. 方程 lgx=sinx的根的个数 a1 个b2 个c3 个d4 个2已知全集u=r,集合 a=x|x2-3x-10<0、b=x|x>3、就右图中阴影部分表示的集合为a3、5b -2、+c-2、5d 5、+3在平面直角坐标系xoy 中,已知平面区域a=x、y|x+y 1、

19、 且x 0、y 0 ,就平面区域精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载b=x+y、x-y|x、y a 的面积为（）a2b1c12d1 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4函数f xx3bx2cxd 图象如图, 就函数yx22 bxc的单调递增区间为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a 、2x1a2b 3、c 2、333d 1 、2y03 2x精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载5不等式组x42a 有解,就实数a 的取值范畴为（）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第页 共 17 页- 7 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

20、a 1、3b 、1 u 3、c 3、1d 、3 u 1、6已知 fx为定义在（ -3 ,3）上 的奇函数,当 0<x<3 时,fx的图象如下列图, 那么不等式fx·cosx<0 的解集为（）二.填空题（每道题6 分,共 18 分）7复数 x-2+yi,其中 x.y 均为实数,当此虚数的模为1 时,的取值范畴为8. 已知关于x 的方程 x 2-4|x|+5=m有四个不相等的实根,就实数m的范畴为 .9. 设 a=x、y|x2+y-12=1、b=x、y|x+y+m 0 ,就使 ab 成立的实数m的取值范畴为 .三.解答题（10.11 题每题 15 分, 12 题 16

21、分,共 46 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10如图,已知四棱锥pabcd 的底面为正方形,pa 底面 abcd ,且paad2 ,点 m .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 分别 在侧棱 pd . pc 上,且 pmmd（）求证：am 平面 pcd ；uuur1 uuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）如pnnc 2,求平面amn 与平面 pab 的所成锐精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载二面角的大小精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11如图,l1 , l 2 为通过某市开发区中心0 的两条南北和东西走向的道路,连

22、接m .n 两地的铁路精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载为一段抛物线弧,它所在的抛物线关于直线l1 对称 m 到 l1.l2 的距离分别为2 km.4km ,n 到 l1.l2 的距离分别为3 km .9 kin 第页 共 17 页- 8 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（ 1）建立适当的坐标系,求抛物线弧mn 的方程；（）该市拟在点0 的正北方向建设一座工厂,考虑到环境问题,要求厂址到点0 的距离大于5km而不超过8km ,并且铁路上任意一点到工厂的距离不能小于6 km 求此厂离点0的最近距离 （注：工厂视为一个点）12已知函数fx=-x2+8x、gx=6lnx+

23、m.(1) 求 fx在区间 t、t+1上的最大值ht;(2) 为否存在实数m、使得 y=fx的图象与y=gx 的图象有且只有三个不同的交点？如存在,求出m的取值范畴；如不存在,说明理由.参考答案1【解析】 选 c.在同一坐标系中作出y=lgx与 y=sinx的图象,如图. 其交点数为3.2答案： b3作出不等式组表示的平面区域b,如下列图,依据图形可知该区域为等腰直角三角形,可求出面积精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4答案： d5答案： a,所以平面区域b 的面积为1第页 共 17 页- 9 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载6【解析】 选 b. 依据对称性画出fx

24、在（ -3、0 ）上的图象如图, 结合 y=cosx在-3、0、 0、3上函数值的正负、易知不等式fxcosx<0的解集为227【解析】由题意知,设,就 k 为过圆 x-2+y =1上的点及原点的直线斜率,作图如下：又由对称性,可得答案：答案：8【解析】 令 fx=x2-4|x|+5=|x|-22+1,其图象如图 .画直线 y=m、 由图象知当1<m<5时,方程有四个不相等的实根.答 案 ：（1, 5） 9【解析】 由于集合a,b 都为点的集合、 故可结合图形进行分析.求解 . 集合 a 为一个圆x 2+y-12=1上的点的集合、 集合 b 为一个不等式x+y+m0 表示的平

25、面区域内的点的集合、要使 ab,就应使圆被平面区域所包含（如图）,第页 共 17 页- 10 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即直线 x+y+m=0 应与圆相切或相离 在圆的下方 ,而当直线与圆相切时有故 m的取值范畴为m-1. 答案： m-1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载10解：（）建立如下列图的空间直角坐标系axyz、 又精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载pa=ad=2,就有 p（ 0, 0,2）, d（ 0, 2, 0）m 0、1、1、 c 2、2、0.精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载

26、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuur pc2、2、2.uuuur am0、1、13 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuur uuuruuuur uuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（） qam gcd0、 am gpc0amcd 、 ampc精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载又 pc icdc、amuuur平面 pcd.1 uuur7 分x01 2x、x2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载（）设n x、 y、 z、qpnnc 、2就有23精品学习资料精选学习资料 -

27、 - - 欢迎下载.y2 、 z4 .n 2 、 2 、 4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载同理可得33 即得33 39 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载uuuruuurpcan由4480、333uuurpcan.uuur精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载平面amn的法向量为 pc2、2、2. 而平面 pab的法向量可为ad0、 2、0、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载cosuuur uuur pc、 aduuur uuur pc aduuuruuur43 .精品学习资料精选学习资料 - -

28、- 欢迎下载pcad1243精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载故所求平面amn与 pab所成锐二面角的大小为arccos3 .312 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11解析：（1）分别以l1 . l 2 为 x 轴. y 轴建立如下列图的平面直角坐标系,就m （ 2, 4）,n（ 3,精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载9）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载设 mn 所在抛物线的方程为yax 24c ,就有94aca1 9ac ,解得c0精品学习资料精

29、选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所求方程为y2x（ 2 x 3）5 分（说明：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载第页 共 17 页- 11 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载如建系后直接射抛物线方程为x 22 py p0 ,代入一个点坐标求对方程,本问扣2 分）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2（ 2）设抛物线弧上任意一点p（ x , x）（ 2 x 3）精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载厂址为点a （ 0, t ）（ 5 t 8 ,由题意得| pa |x2x 22t6精品学习资料精选学习资料 -

30、 - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载4 x12t x2t 26 07 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2令 ux 2 , 2 x 3, 4 u 9精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载对于任意的u 4、9,不等式 u12t ut 26 0 恒成立（ * ）8 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2设 f uu12tut 26 , 59t 8 212t215 2 .精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载要使（ * ）恒成立,需0,即2

31、t1 24t 26 010 分精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载25解得 t 425, t 的最小值为4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以,该厂距离点o 的最近距离为6.25km12 分 12【解析】（ 1）fx=-x2+8x=-x-42+16.当 t+1<4 即 t<3 时, fx在 t、t+1上单调递增 如图 . ht=ft+1=-t+12+8t+1=-t2+6t+7.当 t 4 t+1 即 3 t 4 时, fx的最大值为ht=f4=16如图 当 t>4 时, fx在 t、t+1上单调递减（如图）

32、, ht=ft=-t2+8t.第页 共 17 页- 12 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2 函数 y=fx的图象与 y=gx 的图象有且只有三个不同的交点,即函数 x=gx-fx的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点. x=x 2-8x+6lnx+m、当 x 0、1时 x>0、 x 为增函数 ;当 x 1、3时、 x<0、 x 为减函数 ;当 x 3、+ 时、 x>0、 x 为增函数 ;当 x=1 或 x=3 时,（ x） =0. x 极大值 =（ 1） =m-7、 x 微小值 =（ 3） =m+6ln3-15.当 x 充分接近0 时,（ x） <0,当 x 充分大时 、 x>0、要使 x 的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点,即 7<m<15-6ln3.所以存在实数m,使得函数y=fx与y=gx 的图象有且只有三个不同的交点、m 的取值范畴为7、15-6ln3.【备课资源】第页 共 17 页- 13 -精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载关系为