2022年2022年高中常见数学模型案例

1、精选学习资料 - - - 欢迎下载高中常见数学模型案例中华人民共和国训练部2003 年 4 月制定的一般高中数学课程标准中明确指出： “数学探究.数学建模.数学文化为贯穿于整个高中数学课程的重要内容”,“数学建模为数学学习的一种新的方式,它为同学供应了自主学习的空间,有助于同学体验数学在解决问题中的 价值和作用, 体验数学与日常生活和其他学科的联系,体验综合运用学问和方法解决实际问 题的过程, 增强应用意识； 有助于激发同学学习数学的爱好,进展同学的创新意识和实践能 力； ”教材中常见模型有如下几种:一.函数模型用函数的观点解决实际问题为中学数学中最重要的.最常用的方法； 函数模型与方法在处理

2、实际问题中的广泛运用,两个变量或几个变量,凡能找到它们之间的联系,并用数学形式表示出来, 建立起一个函数关系（数学模型） ,然后运用函数的有关学问去解决实际问题, 这些都属于函数模型的范畴；1.正比例.反比例函数问题例 1：某商人购货,进价已按原价a 扣去 25%,他期望对货物订一新价,以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利,就此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y之间的函数关系为 ；分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式,关键为要弄清原价. 进价.新价之间的关系；如设新价为b,就售价为b（ 1 20%）,由于原价为a,所以进价为a（ 1 25）精品学习资料精选

3、学习资料 - - - 欢迎下载解 ： 依 题 意 , 有5b10.2a 1a0.25b10.20.25化 简 得 b5a , 所 以4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载y0.2bxa0.24x ,即 yx、 xn4精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2.一次函数问题例 2：某人开汽车以60km/h 的速度从a 地到 150km 远处的 b 地,在 b 地停留 1h 后,再以 50km/h 的速度返回a 地,把汽车离开a 地的路 x （ km）表示为时间t（ h）的函数,并画出函数的图像；分析：依据路程速度×时间,可得出路程x 和时间 t 得函数关系式x （ t）

4、；同样,可列出 vt 的关系式；要留意vt 为一个矢量,从b 地返回时速度为负值,重点应留意如何画 这两个函数的图像,要知道这两个函数所反映的变化关系为不一样的；解 ： 汽 车 离 开a地 的 距 离xkm与 时 间th之 间 的 关 系 式 为 ：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载60 t、 tx150、 t 0、2.52.5、3.5,图略；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载15050t3.5、 t3.5、6.5精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载速度 vkm/h 与时间 t h 的函数关系式为：v60、t0、t

5、0、2.5 2.5、3.5,图略；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载50、 t3.5、6.53.二次函数问题例 3：有 l 米长的钢材,要做成如下列图的窗架,上半部分为半圆,下半部分为六个全等小矩形组成的矩形,试问小矩形的长.宽比为多少时, 窗所通过的光线最多,并详细标出窗框面积的最大值；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解：设小矩形长为x ,宽为 y ,就由图形条件可得：11 xx9 yl精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载 9 yl11 x要使窗所通过的光线最多,即要窗框面积最大,就：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载2sx6 xy 2x 22

6、23 lx11 x 2 44 x 62l 2442l 2344精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载当 x2l 44时, yl119 x22l9 44精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即： x18y22此时窗框面积s 有最大值sm ax2l 2；344精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可见, 一般的设自变量为 x,函数为 y,并用 x 表示各相关量,然后依据问题已知条件, 运用已把握的数学学问. 物理学问及其它相关学问建立函数关系式, 将实际问题转化为数学问题,实现问题的数学化,也就为建立数学模型；二.数列模型数列模型有增长率问题和银行中的储蓄与贷款问题；在高一

7、年级教材中就有这类数学问题,下面以一个例题来分析银行中的数学建模问题；例 4：某银行设立了训练助学贷款,其中规定一年期以上贷款月均等额仍本付息,假如贷款 10000 元,两年仍清,月利率为0.4575,那么每月应仍多少钱呢？分析与假设：依据规定,偿仍贷款既要偿仍本金,仍要支付利息；在上述问题中,到贷 款两年（即24 个月）付清时,10000 元贷款的本金与它的利息之和为多少呢？引导同学通过填表来回答：10000 元贷款的本金（元）与它的利息之和1 个月后2 个月后3 个月后23 个月后24 个月后通过对例子的分析,与同学沟通使同学熟悉到：到期偿仍贷款的含义即各月所付款连同 到贷款付清时所生利息

8、之和,等于贷款本金及到贷款付清时的利息之和,运算每月应对款额；精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载x1.004575 x1.004575 23 x100001.004575 24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载可以发觉,上述等式为一个关于x 的一次方程,且等号左边括号内为一个首项为1,公比为 1.004575 的等比数列的前24 项的和,于为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载11.004575 24x11.004575100001.004575 24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载即 x10000

9、241.00457511.004575精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载解之得 x1440.911.004575 24精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载提出问题：假如采纳上述分期付款方式贷款a 元, m 个月将款全部付清,月利率为r,那么每月付款款额的运算公式为什么？明显问题转化为建立关于x 的方程；设采纳分期付款方式贷a 元,m 个月将款全部付清,月利率为r,每月付款x 元,那么：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载a1r mmx 1rx1x1m 21rr m12.1 xrx 1rx精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载把右边求和,得a 1r m,r

10、精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载ar 1r m精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载所以： x1r m万元；1精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载三.初等概率模型古典概率不仅要求基本实践的显现具有等可能性,而且要求样本空间为有限集,但实际问题中却常常会遇到无限样本空间的情形,对于无限样本空间的情形,常可转化为几何概率来解决；例 5：将 n 个球随机地放入n 个盒子中去,求每个盒子恰有一个球的概率；分析与求解： 由于每一个球都可以放进n 个盒子中的任一个盒子,共有 n 种不同的放法,nn 个球放进n 个盒子就有n× n×× n= n种

11、不同的放法,而每种放法就为样本空间中的一精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载个元素,所以样本空间中元素的总数为n n 个；现在来求每个盒子恰有一个球时,球的不同精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载放法的种数；第一个球可以放进n 个盒子之一,有n 种放法；其次个球只能放进余下的（n-1）个盒 子之一,有（ n-1）种放法,最终一个球只可以放进唯独余下的盒子,所以n 个球放进精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载n 个盒子中要使每个盒子中都恰有一个球,共有a nn.种不同的放法,因而所求得概率为：精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载p an；n几何概率所描述的

12、随机试验满意：试验的样本空间为一个可度量的几何区域（这个区域可以为一维.二维甚至n 维）；试验中每个基本领件发生的可能性都一样,即样本点落入某一个可度量的子集a 的可能性与a 的几何测度成正比,而与a 的外形及位置无关；如下面的例子 “会面问题 ”为几何概率的典型例子；例 7：两位网友相约见面,商定在下午4:00 到 5:00 之间在某一街角相见,他们约好当其中一人先到后,肯定要等另一人20 分钟,如另一人仍不到就离去,试问这两位伴侣能相遇的概率为多少？（假定他们到达商定地点的时间为随机的,且都在商定的一小时内）解：以 x .y 分别表示两人到达的时刻,就两人相遇必需满意以下条件：x y 20,两人到达时刻的全部可能结果可用边长为60 的正方形区域上的任意点（x , y）表示,该正方精品学习资料精选学习资料 - - - 欢迎下载形上的全部点的集合构成了样本空间；如下图的阴影部分（满意不等式x y 20 的点的集合）表示“两人能相遇 ”这一大事的概率应等于图中阴影部分的面积与正方形的面积之比；精品学习资料精选学习资料