无穷级数与微分方程相关知识简介

1、 无穷级数无穷级数一、数项级数二、幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。1.数项级数及收敛定义数项级数及收敛定义：给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即1nnunuuuu321称上式为无穷级数， 其中第 n 项nu叫做级数的一般项,级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和.nuuuu321次相加, 简记为,lim存在若SSnn收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和和。时当1qpppn131211 等比级数(又称几何级数)0(20aqaqaqaaqannn( q 称为公比 ). 级数收敛 ,;1 qa,1时当q级数发散 .其和为发散。收敛，当11ppP-

2、级数级数2.无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 ,1nnuS1nnv)(1nnnvu 性质性质1. 若级数1nnu收敛于 S ,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛 ,即其和为 c S .性质性质2. 设有两个收敛级数则级数也收敛, 其和为.S说明说明:(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则)(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 ,)(1nnnvu 不一定发散.(1) 性质2 表明收敛级数可逐项相加或减 .(用反证法可证)性质性质3.,1nnuS在级数前面加上或去掉有限项有限项, 不会影响级数的敛散性.性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和.推论

3、推论: 若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.性质性质5：设收敛级数则必有.0limnnu可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .*例例1.判断级数的敛散性:.,21211收敛收敛的等比级数的等比级数是是 qnn)3121()3121()3121()3121(3322nn解解:该级数是下列两级数之差故原级数收敛.,31311收敛收敛的等比级数的等比级数是是 qnn (比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有(1) 若强级数1nnv则弱级数1nnu(2) 若弱级数1nnu

4、则强级数1nnv则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnvku 是两个正项级数, (常数 k 0 ),3.正项级数审敛法正项级数审敛法的敛散性。判别级数例1) 1(12nnn11) 1(1) 1(12nnnn (比较审敛法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,的敛散性. n1例例3. 判别级数11sinnn解解:nlim1根据比较审敛法的极限形式知21n1sin1nn11sinnn发散比值审敛法 (

5、 Dalembert 判别法)设 nu为正项级数, 且,lim1nnnuu则(1) 当1(2) 当1时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 . 根值审敛法 ( Cauchy判别法)设 1nnu为正项,limnnnu;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 级数, 且则时上述定理失效。注：1nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此级数12nnen收敛. 412的敛散性判别级数例nnen解解:4.交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数nnuuuu1321) 1(称为交错级数交错级数 . ( Leibnitz 判别法 ) 若

6、交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 。,2, 1,0nun设5.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数,1nnu若若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级1nnu收敛 ,1nnu数1nnu绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 . 绝对收敛的级数一定收敛 .由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知由绝对收敛概念和莱布尼兹定理知:交错级数11) 1(npnn.1;10绝对收敛当条件收敛当pp例例5. 证明下列级数绝对收敛 :证证: ,1sin44nnn而141nn收敛 ,14sinnnn收敛因此14sinnn

7、n绝对收敛 .14sinnnn判断数项级数敛散的方法判断数项级数敛散的方法1、利用已知结论：等比级数、P-级数及级数性质2、利用必要条件：主要判别发散3、求部分和数列的极限4、正项级数的审敛法1）比值审敛法（根值审敛法）2）比较审敛法（或极限形式）5、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛ox发 散发 散收 敛收敛 发散 1.Abel定理定理 若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 ,则

8、对满足不等式二、求幂级数收敛域二、求幂级数收敛域*例例6.已知幂级数0nnnxa在3x处收敛，则该级数在1x处是收敛还是发散？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？解：由Abel定理 ，该幂级数在3x处绝对收敛，故在1x绝对收敛。例例7. 已知nnnxa00 xx 在处条件收敛 , 问该级数收敛半径是多少 ?答答:根据Abel 定理可知, 级数在0 xx 收敛 ,0 xx 时发散 . 故收敛半径为.0 xR 若0nnnxa0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,则 的收敛半径为1limnnnaaR2.求收敛半径求收敛半径对端点 x

9、=1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点 x = 1, 级数为交错级数,1) 1(11nnn收敛; 级数为,11nn发散 . . 1, 1(故收敛域为例例8.8.求幂级数 limn 例例9. 求下列幂级数的收敛域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在 x = 0 处收敛 .规定规定: 0 ! = 1! ) 1(1n例例10.12) 1(nnnnx求幂

10、级数的收敛域.解解: 令 ,1 xt级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当 t = 2 时, 级数为,11nn此级数发散;当 t = 2 时, 级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛;因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为,212x即.31x三、求函数的幂级数展开式三、求函数的幂级数展开式1、对函数作恒等变形（如果需要的话）2、利用已知结论，用变量代换或求导积分得所求函数的幂级数3、写出收敛范围 x11nxxxx321) 1 , 1(xe! 212nxxxn),(xsin)!12() 1(! 5! 3121253n

11、xxxxnn),( )1ln(x1) 1(32132nxxxxnn 1 , 1(的幂级数展开式展开成解：例例10.求函数求函数1yx2x1122)yxx（112212x012( 1) ()22nnnx10(2)( 1)2nnnnx2122042xxx 微分方程微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念二、解微分方程二、解微分方程三、微分方程应用三、微分方程应用含未知函数及其导数的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程一、微分方程的基本概念一、微分方程的基本概念的阶阶.,xyyx例如：例如：一阶微分方程yxyx 2)1(2二阶微分方程 使方程成为恒等式

12、的函数.通解通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件.初始条件初始条件( (或边值条件或边值条件) ):的阶数相同.特解特解微分方程的解解 不含任意常数的解, 定解条件定解条件 其图形称为积分曲线积分曲线. .例例1. 验证函数是微分方程tkCtkCxsincos2122ddtx的解.解解: 22ddtxt kkCsin22)cossin(212t kCt kCk20k xtkCtkCxsincos21是方程的解 .),(21为常数CCt kkCcos2102xk二、解微分方程二、解微分方程1. 一阶微分方程可分离变量，一阶线性2. 高阶微分方程可降阶微分方程，二阶线

13、性常系数齐次，二阶线性常系数非齐次只要求写出特解形式。分离变量方程的解法分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(2)两边积分 yygd)(xxfd)(CxFyG)()()(yG)(xF(3)得到通解称为方程的隐式通解, 或通积分.(1)分离变量*例例2. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分离变量得xxyyd3d2两边积分xxyyd3d2得Cxylnln3即3xeCy ( C 为任意常数 )因此可能增、减解.一阶线性微分方程一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若 Q(x) 0, 0)(ddyxPxy若 Q(x) 0, 称为非齐次方程非齐次方程 .1.

14、 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程齐次方程 ;对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得.sin1的通解求方程xxyxy,1)(xxP,

15、sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解* *例例3.3.利用一阶线性方程的通解公式得：利用一阶线性方程的通解公式得：例例4. 解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解: 先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法常数变易法求特解. 令,) 1()(2xxuy则) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1()()(xfyn令,) 1( nyz

16、)(ddnyxz则因此1d)(Cxxfz即1) 1(d)(Cxxfyn同理可得2)2(d Cxyn1d)(Cxxfxd xxfd)(依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 ., )(xf21CxC型的微分方程型的微分方程 例例5. .cos2xeyx 求解解解: 12cosCxdxeyx 12sin21Cxexxey241xey2811121CC此处xsin21xC32CxCxcos21CxC),(yxfy 型的微分方程型的微分方程 设, )(xpy ,py 则原方程化为一阶方程),(pxfp 设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分, 得原方程的通解21d),(Cx

17、Cxy例例6. 求解yxyx 2)1(2,10 xy3 0 xy解解: ),(xpy 设,py 则代入方程得pxpx2)1(2分离变量)1(d2d2xxxpp积分得,ln)1(lnln12Cxp)1(21xCp即,3 0 xy利用, 31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy利用,10 xy, 12C得133xxy因此所求特解为),(yyfy 型的微分方程型的微分方程 令),(ypy xpydd 则xyypddddyppdd故方程化为),(ddpyfypp设其通解为),(1Cyp即得),(1Cyy分离变量后积分, 得原方程的通解21),(dCxCyy例例7. 求解.02 yyy代入

18、方程得,0dd2 pyppyyyppdd即两端积分得,lnlnln1Cyp,1yCp 即yCy1(一阶线性齐次方程)故所求通解为xCeCy12解解:),(ypy 设xpydd 则xyypddddyppdd*例例8. 解初值问题解解: 令02 yey,00 xy10 xy),(ypy ,ddyppy 则代入方程得yeppydd2积分得1221221Cepy利用初始条件, 0100 xyyp, 01C得根据yepxydd积分得,2Cxey, 00 xy再由12C得故所求特解为xey1得二阶线性齐次方程解的结构二阶线性齐次方程解的结构)(),(21xyxy若函数是二阶线性齐次方程0)()( yxQy

19、xPy的两个解,也是该方程的解.)()(2211xyCxyCy则),(21为任意常数CC定理定理1.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.)(),(21xyxy若是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解, 则)()(2211xyCxyCy数) 是该方程的通解.例如例如, 方程0 yy有特解,cos1xy ,sin2xy 且常数,故方程的通解为xCxCysincos21(自证) xytan21y为任意常21,(CC),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(

20、21xCxCeyx特 征 根通 解二阶线性常系数齐次微分方程求解例例9.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例10. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为tets)24(22C*例例11.052 yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 0522rr特征根:ir212,1因此原方程通解为)2sin2cos(43xCxCeyx例例12.32线性方程数齐次为一个特解的二阶常系写出以xxey 解：因xxey23是一个特解，所以2是特征方程的重根，故特征方程为：0440)2(22rrr所对应微分方程为044 yyy二阶线性非齐次方程解的结构二阶线性非齐次方程解的结构 )(* xy设是二阶非齐次方程的一个特解, )(*)(xyxYyY (x) 是相应齐次方程的通解,定理定理 3.)()